Álgebra linear/Autovetores

Autovetores e autovalores

Um significado prático:

• Os autovetores são vetores que, sob a ação de um operador linear, resultam num vetor de mesma direção. Os autovetores estão sempre ligados ao operador linear, ou seja, cada operador linear admite um conjunto específico de autovetores.
• Para cada autovalor $\lambda$, podem existir vários autovetores $v$ tais que $T(v)=\lambda v$. Dizemos que esses são autovetores associados ao autovalor $\lambda$. Haverá infinitos autovetores associados a cada autovalor, exceto no caso do corpo K ser um corpo finito.

Prove:

• Se v é um autovetor de T associado ao autovalor $\lambda$, e $a\in K$ é um escalar não-nulo, então $av$ também é um autovetor associado a $\lambda$.
• O conjunto $V_{\lambda }=\{v\in V|T(v)=\lambda v\}$ é um subespaço vetorial de V (ele é chamado de autoespaço). Note que $V_{\lambda }$ é o conjunto de todos os autovetores associados a $\lambda$ unido ao vetor nulo.

Autovetores de uma matriz quadrada

Predefinição:Definição $X=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right)$

Polinômio característico

Predefinição:Definição Prove:

• Seja $\alpha =\{v_1,\dots ,v_n\}$ uma base de V, e v um autovetor de T associado ao autovalor $\lambda$. Então $[v{]}_{\alpha }$ é um autovetor da matriz $[T{]}_{\alpha }$ associado ao autovalor $\lambda$ de $[T{]}_{\alpha }$
• Se $\alpha$ e $\beta$ são duas bases quaisquer de V, então o polinômio característico de $[T{]}_{\alpha }$ é igual ao polinômio característico de $[T{]}_{\beta }$.

Operador diagonalizável

Predefinição:Definição Predefinição:Definição Predefinição:Definição Prove:

• Se $\alpha =\{v_1,\dots ,v_n\}$ são autovetores de T associados, respectivamente, aos autovetores ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n$ tais que ${\lambda }_i\ne {\lambda }_j$ se $i\ne j$, então $\alpha$ é LI.
• Seja $\alpha =\{v_1,\dots ,v_n\}$ uma base de V. A matriz $[T{]}_{\alpha }$ é diagonal $⟺\alpha$ é uma base de V formada por autovetores de T
• Se T é auto-adjunto e $\lambda$ é um autovalor de T, então $\lambda \in R$.
• Se T é auto-adjunto e $v_1,\dots ,v_n$ são autovetores de T associados aos autovalores ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n$ (distintos), respectivamente, então $v_i\perp v_j$, se $i\ne j$.
• Se T é unitário e $\lambda$ é um autovalor de T, então $|\lambda |=1$.
• Se $\lambda$ é um autovalor de T e T é normal, então $\bar{\lambda }$ é autovalor de $T^{*}$.
• $V_{\lambda }$ é T-invariante.
• $V_{\lambda }^{\perp }$ é $T^{*}$-invariante.
• Se T é normal e $\lambda$ é autovalor de T, então $V^{\perp }$ é $T^{*}$-invariante.
• Se T é normal, então $V_{\lambda }^{\perp }$ é T-invariante.