Álgebra abstrata/Subgrupos

Submonóides e subgrupos gerados por um subconjunto

Quando dizermos monóide podemos trocar por grupo, e quando dizermos submonóide podemos trocar por subgrupo na explicação abaixo, porque é válido para os dois tipos de objetos.

Dado um subconjunto S de um monóide M, nós precisamos do menor submóide de M que contém S. O que queremos é um submóide contendo S e contido em cada submóide contendo S. Se tal objeto existir, ele é único. Vamos supor que existem dois, H(S) e H'(S), assim $H(S)\subset H^{\prime }(S),H^{\prime }(S)\subset H(S),⟹H(S)=H^{\prime }(S)$

Seja S um subconjunto dado do monóide M e seja $M_S=\{P/S\subset P\subset M\}$, i é, $M_S$ é o conjunto de todos os submonóides P de M que contém S. Agora tomemos $<S>=\cap M_S$. $<S>$ é um submonóide se $\cap M_S$ é um submóide. Como todos os P contém S, é claro que $S\subset <S>$. Assim vemos que $S\subset <S>\subset P$. Podemos chamar $<S>$ de submonóide gerado por S.

Quando $<S>=M$, dizemos que M é gerado pelo conjunto S e S é um conjunto gerador do monóide M.

Agora vamos separar monóides de grupos, para estudar cada caso.

Submonóides gerados por um subconjunto

Seja $S=\{s_1,s_2,\mathrm{...},s_n\}$. Temos que $<S>$ é um submonóide que contém 1 de M e é fechado para o produto(p), de M, dos elementos de S. Assim se tomarmos S' como sendo o conjunto $\{1,s_1,s_2,\mathrm{...},s_n\}$, $<S^{\prime }>=\{apb;a,b\in S^{\prime }\}$. Assim $S\subset <S^{\prime }>$, temos um monóide que contém S, como consequência contém $<S>$. Mas a construção de ambos os geradores possui o mesmo conceito: contém uma cópia de S e contém 1 de M e é fechado para o produto p, de M, dos elementos de S. Assim só lhes restam ser iguais. $<S><S^{\prime }>$

Grupo Cíclico (Subgrupos gerados por um subconjunto)

Quando $G=<a>$ é um grupo G gerado por um subgrupo $<a>$, chamamos de grupo cíclico com gerador a. Exemplo: Podemos ter um subgrupo gerador $<t>=\{t^k/k\in \mathbb{Z}\}$. Neste caso temos um grupo abeliano. Exemplo: o que um número pode gerar? Seja S = 1, e seja p = +. Assim $<1>=(G,+,1)$, é um subgrupo que gera os inteiros, assim $<1>=(\mathbb{Z},p,1)$

O tipo de gerador que vai nos interessar é o do tipo $<t>=\{t^k/k\in \mathbb{Z}\}$.

A aplicação $\varphi :n\mapsto t^n$ é uma aplicação bijetora.

Pois pra todo $\varphi (m+n)=t^{m+n}=t^m{t}^n=\varphi (m)\varphi (n),\varphi (0)=1$ a aplicação é sobretiva

Dado $\varphi (m)=\varphi (n)⟹t^m=t^n⟹t^n{t}^{-}m=1⟹t^{n-m}=1.existsp=n-m⟹t^p=1$, logo a aplicação é injetiva e por final bijetiva. Portanto é isomorfa

Assim temos que $<t>=\{1=t^0,t^1,\mathrm{...}{t}^{r-1}\}$, onde a ordem de $<t>$ é r.

Teorema: Qualquer dois grupos cíclicos de mesma ordem são isomorfos.

Teorema: Qualquer subgrupo de um grupo cíclico $<a>$ é cíclico.