Álgebra abstrata/Permutação

Teorema de Lagrange

Seja G um grupo de ordem finita, e H um subgrupo de G. Então a ordem de H divide a ordem de G.

Observação

O número de elementos de um conjunto A é representado por |A|

Demonstração

Considere-se, para o grupo G, a seguinte relação:

$x\sim y⟺\mathrm{\exists }h\in H,x=yh$

Esta é uma relação de equivalência; basta mostrar:

1. Reflexiva: $1\in H⟹x=x1⟹x\sim x$
2. Simétrica: $x\sim y⟹\mathrm{\exists }h\in H,x=yh⟹y=x{h}^{-1},h^{-1}\in H⟹y\sim x$
3. Transitiva: $x\sim y\wedge y\sim z⟹\mathrm{\exists }{h}_1,h_2\in H,x=y{h}_1\wedge y=z{h}_2⟹$ $x=(z{h}_2)h_1⟹x=z(h_2{h}_1)⟹x\sim z$

Seja, então G:H o conjunto das classes de equivalência deste relação de equivalência, e escolha-se, para cada classe, um elemento de G, formando o conjunto G₁. Este passo, no caso do conjunto G ser infinito, requer o axioma da escolha.

Note-se que, por construção, se $g_1,g_2\in G_1$ e $g_1\sim g_2$, então $g_1=g_2$

Considere-se agora a função:

$f:G_1\times H\to G,f(x,h)=xh$

Esta função é bijetiva:

1. Injetiva: $f(x_1,h_1)=f(x_2,h_2)⟹x_1{h}_1=x_2{h}_2⟹x_1=x_2(h_2{h}_1^{-1})⟹$ $x_1\sim x_2⟹x_1=x_2⟹x_1{h}_1=x_1{h}_2⟹h_1=h_2$
2. Sobrejetiva: Seja g um elemento de G, então escolha-se a classe de equivalência [g]. Existe um elemento em G₁ nesta classe, x, então temos $g\sim x⟹\mathrm{\exists }h\in H,g=xh⟹f(x,h)=g$

Ou seja, |G₁ x H| = |G|, ou seja, |G:H| x |H| = |G|.

Note-se que esta relação vale, inclusive, no caso de ordem infinita. No caso particular da ordem de G ser finita, temos o Teorema de Lagrange.