Álgebra abstrata/Números inteiros

Inteiros $\mathbb{Z}$

Se nós estendermos $\mathbb{N}$ acrescentando $0$ podemos chegar a noção de uma

• identidade para a adição, dada por:
  • $\mathrm{\exists }0:\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N},n+0=n$

  Afirmando que existe um número 0, que somado a um número natural dá o próprio número.

Aqui temos uma escolha a fazer, onde em nossa ordenação se encaixa o $0$? A escolha usual é 0 < 1 e é o que vamos fazer aqui, mas vale a pena salientar a curiosa natureza desta escolha. Tendo definido zero, a possibilidade de uma inversão de $\mathbb{N}$ surge, que denota o conjunto de inversas como $\mathbb{-}\mathbb{N}$ satisfazendo o seguinte axioma.

• Inverso Aditivo

  $\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N},\mathrm{\exists }(-n)\in \mathbb{-}\mathbb{N}:n+(-n)=0$.

Combinando os três obtemos os inteiros $\mathbb{Z}=\{\mathbb{N}\}\cup \{0\}\cup \{\mathbb{-}\mathbb{N}\}=\{\dots ,-3,-2,-1,0,1,2,3,\dots \}$. Os inteiros nos permitem acompanhar as dívidas, bem como contar as coisas, em outras palavras, para realizar contagem. Se você assumir que os axiomas estão bem ordenados assumindo a forma

• $(\mathrm{\forall }z\in \mathbb{Z})(\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}),z<z+n$.

E que a identidade, fechamento e distributividade da multiplicação para segurar os inteiros $\mathbb{Z}$ então a operação multiplicação também pode ser expandida para incluir todos os inteiros $\mathbb{Z}$

Eles podem ser construídos facilmente a partir dos números naturais. Eles podem ser cada classe de equivalência de pares ordenados (a, b) onde a e b são dois números naturais. Em seguida, pode-se dizer que (a, b) e (c, d) são iguais quando a + d = b + c, a soma (a, b) + (c, d) = (a + c, d + b). E o produto (a, b)(c, d) = (ac + bd, ad + bc), onde as definições da soma e produto de números naturais são utilizados. Existe uma identidade aditiva(elemento) na forma (a, a) porque (a, a) + (b, c) = (a + b, a + c), o que é equivalente a (b, c) porque a + b + c = a + b + c. Todos estes elementos da forma (a, a) são obviamente equivalentes. Todos os elementos (a, b) tem um inverso aditivo (b, a) porque (a, b) + (b, a) = (a + b, a + b). A melhor maneira de pensar destes pares ordenados (a, b) é de pensar como eles a-b. Assim, (a, a) podem ser consideradas como "0".

Valor absoluto

Normalmente, nós pensamos nos inteiros como uma extensão para positivos e negativos infinito. Uma vez que este conceito geométrico é tão fundamental para a nossa compreensão, nós gostaríamos de falar sobre propriedades geométricas. Em particular, nós precisamos saber o que se entende pela distância entre dois inteiros. Para este fim, definimos o símbolo | x | como a função dá distância de zero por mapeamento $\mathbb{-}\mathbb{N}$ para seus respectivos inversos em $\mathbb{N}$ e mapeamento zero para si.

$|x|=\{\begin{array}{cc}x& \text{se }x\ge 0\\ -x& \text{se }x<0\end{array}$

Podemos definir agora a distância entre dois inteiros, a que chamamos pontos geométrica em qualquer contexto, tomando o valor absoluto da sua diferença: $d(x,y)=|x-y|$. Esta função distância satisfaz algumas propriedades geométricas:

1. Positividade

   $d(x,y)\ge 0$ e é igual a 0 se $x=y$.

2. Simetria

   $d(x,y)=d(y,x)$

3. Desigualdade triangular

   $d(x,y)+d(y,z)\ge d(x,z)$

   Preste bastante atenção a desigualdade triangular, uma vez que será utilizado frequentemente em capítulos posteriores.

Em geral, qualquer conjunto com uma função distância satisfazendo essas propriedades é chamado um espaço métrico. É fácil demonstrar que os inteiros formam um espaço métrico sob a métrica d:

1. Positividade
   • Se $x\ge 0$, então $|x|=x\ge 0$.
   • Se $x<0$, então $|x|=-x>0$.
2. Simetria
   • Se $x-y\ge 0$, então $y-x\le 0$, também $|x-y|=x-y=-(y-x)=|y-x|$.
   • Se $x-y<0$, então $y-x>0$, também $|x-y|=-(x-y)=y-x=|y-x|$.
3. Desigualdade Triângular
   • Se $x\ge 0$, então $|x|=x\ge 0>-|x|$.
   • Se $x<0$, então $|x|>0>x=-|x|$.
   • Isto dá-nos $-|x|\le x\le |x|$ e $-|y|\le y\le |y|$.
   • Adicionando, vemos que $-(|x|+|y|)\le x+y\le |x|+|y|$.
   • Se $x+y\ge 0$, então $|x+y|=x+y\le |x|+|y|$.
   • Se $x+y<0$, então $|x+y|=-(x+y)\le |x|+|y|$.
   • Assim, em todos os casos $|x+y|\le |x|+|y|$.
   • Trocando $x$ por $x-y$ e $y$ por $y-z$ teremos $|x-y|+|y-z|\ge |x-z|$.

Outra propriedade fundamental do valor absoluto é que é multiplicativo:

• $|x||y|=|xy|$

A prova é deixada como um exercício. Tal como referido, é simplesmente uma questão de verificar todos os casos.

Divisor

Dizemos que o inteiro b é divisor ou fator do inteiro a se existe um c inteiro tal que a = bc. Também a é dito um múltiplo de b e denotamos a relação b|a (lê-se b divide a).

Primo

Um número inteiro p é chamado primo se os seus divisores são {-p, -1, 1, p}

Teorema fundamental da Aritmética

A fatoração de um número se dá pelo produto de primos que resulta naquele número. Seja a = bcd onde b,c,d são primos. Se t é um primo que divide a, logo ele deve dividir pelo menos um dos seus fatores. O teorema fundamental da Aritmética diz que todo inteiro pode ser fatorado de modo único. Seja m um inteiro qualquer, sua fatoração é dada por:

• $m=q_0^{s_0}{q}_1^{s_1}{q}_2^{s_2}\mathrm{...}{q}_n^{s_n},0\le s_i,q_i\le q_{i+1},q_i$ são todos primos, $s_i$ são inteiros positivos

Máximo divisor comum

O máximo divisor comum de a e b é um inteiro d, tal que é o maior divisor que divide a e b. Assim a e b têm vários divisores em comum, e queremos o maior deles

• Os divisores de a: $\{1,t_0,d_0,t_1,\mathrm{...},t_n,\mathrm{...},d_n,\mathrm{...},d,\mathrm{...},a\}$
• Os divisores de b: $\{1,u_0,d_0,u_1,\mathrm{...},u_n,\mathrm{...},d_n,\mathrm{...},d,\mathrm{...},b\}$

Os divisores em comum $\{1,d_0,d_1,\mathrm{...},d_n,\mathrm{...},d\}$. Assim d é um divisor de a e de b.

• No último conjunto os ${d_i}^{\prime }s$ são submúltiplos de d, logo qualquer divisor de a e b é divisor de d;

Definimos d = mdc(a,b); Podemos dizer que d/a, d/b, d/ab, d/ap e d/bp para qualquer p inteiro

Quando mdc(a,b)=1, dizemos que a e b são relativamente primos

Seja p,q,r,s todos inteiros, mdc(p,q)=1 e p/qr, logo p/r

• Como nenhum divisor de p divide q e p/qr, portanto p deve dividr r

Algoritmo da divisão em $\mathbb{Z}$

Se a e b são inteiros e b diferente de zero então existem inteiros q e r, $0\le r<|b|$ tal que $a=bq+r$.

• Tome $c=m_{0}a+m_{1}b$. Sabemos que $d/m_{0}aed/m_{1}b\Rightarrow d/m_{0}a+m_{1}b\Rightarrow d/c$.
• Podemos dizer que se $d/m_{0}a+m_{1}b$, então existe um $m_2$ tal que

$d=(m_{0}a+m_{1}b)m_2=(m_0{m}_2)a+(m_1{m}_2)b$