Álgebra abstrata/Monóides

Monóide

Definição geral: Monóide é um conjunto com a propriedade associativa e uma unidade.

Monóide

Um Monóide é um triplo $(M,\cdot ,1)$ na qual M é um conjunto não-vazio, $\cdot$ é uma composição binária associativa em M e 1 é um elemento unidade de M tal que $1\cdot a=a=a\cdot 1$ para todo a em M.

Se retirarmos a hipótese que $\cdot$ é associativo temos um Monad. Ou se tirarmos a hipótese que possui uma unidade 1, teremos um conjunto com uma composição binária ao qual chamamos de semi-grupo. Assim Monóide é um semi-grupo com unidade.

Um monóide é dito finito se ele possui uma número finito de elementos.

Exemplo 1 de Monóide

Seja M(S) o conjunto de todas as aplicações de S em si mesma; $1_S:S\mapsto S(s\mapsto s),s\in S$ uma aplicação identidade.

Exemplo: Seja $\alpha ,\beta ,\gamma :S\mapsto SeS=\{1,2\};$

$M(S)=\{1_S=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 1& 2\end{array}\right),\alpha =\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 1\end{array}\right),\beta =\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 1& 1\end{array}\right),\gamma =\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 2\end{array}\right)\},\begin{array}{ccccc}\circ & 1_S& \alpha & \beta & \gamma \\ 1_S& 1_S& \alpha & \beta & \gamma \\ \alpha & \alpha & 1_S& \gamma & \beta \\ \beta & \beta & \beta & \beta & \beta \\ \gamma & \gamma & \gamma & \gamma & \gamma \end{array}$

M(S) é um exemplo de um monóide, que é um conjunto não-vazio, com uma composição binária associativa e uma unidade. M(S) é o monóide de todas as transformações do conjunto S.

Exemplo 2 de Monóide

$(\mathbb{N},+,0),(\mathbb{N},\cdot ,1),(𝕀,\cdot ,1),(\mathbb{Z},+,0),(P(S),\cup ,\varnothing ),(P(S),\cap ,S)$

em que $𝕀$ é o conjunto dos números naturais ímpares e P(S) é o conjunto das partes de S.

Fechado

Seja $(N,\cdot ,1)$ e $(M,\cdot ,1)$. Quando dizemos que N é fechado sobre o produto em M significa que $n_1\cdot n_2\in N,\mathrm{\forall }{n}_1,n_2\in N$.

Exemplo da expressão N é fechado sobre o produto em M.

no monóide $(\mathbb{N},+,0)$, o subconjunto dos números pares é fechado sobre a operação binária, mas o subconjunto dos números ímpares não é.

Submonóide

Um conjunto N é um Submonóide de M, se (i) N é um subconjunto do monóide M, (ii) N contém a unidade de M e (iii) N é fechado sobre o produto em M

Exemplos de Submonóide, sendo $𝕀$ o conjunto dos números naturais ímpares:

$(𝕀,\cdot ,1)$ é um submonóide de $(\mathbb{N},\cdot ,1)$, por sua vez, é um submonóide de $(\mathbb{Z},\cdot ,1)$

Monóide e grupo de transformação

Monóide de Transformação

Um submonóide do monóide M(S) é chamado de monóide de transformação (de S).

Ordem de um monóide

É a cardinalidade do monóide.

Exemplo: M(S)

Exemplo: Seja S= {-1,0,1,}, qual é a ordem de $M(S)$ e de Sim S?

$M(S)=\{\chi =\left(\begin{array}{ccc}-1& 0& 1\\ -1& -1& -1\end{array}\right),\rho =\left(\begin{array}{ccc}-1& 0& 1\\ -1& -1& 0\end{array}\right),ϵ=\left(\begin{array}{ccc}-1& 0& 1\\ -1& -1& 1\end{array}\right)\}$

$\{\eta =\left(\begin{array}{ccc}-1& 0& 1\\ -1& 0& -1\end{array}\right),1_S=\left(\begin{array}{ccc}-1& 0& 1\\ -1& 0& 1\end{array}\right),\sigma =\left(\begin{array}{ccc}-1& 0& 1\\ -1& 1& -1\end{array}\right),\mathrm{...}\psi =\left(\begin{array}{ccc}-1& 0& 1\\ 1& 1& 1\end{array}\right)\}$

Exemplo: U(M(S))

$U(M(S))=\{1_S=\left(\begin{array}{ccc}-1& 0& 1\\ -1& 0& 1\end{array}\right),\alpha =\left(\begin{array}{ccc}-1& 0& 1\\ -1& 1& 0\end{array}\right),\beta =\left(\begin{array}{ccc}-1& 0& 1\\ 0& -1& 1\end{array}\right),\gamma =\left(\begin{array}{ccc}-1& 0& 1\\ 0& 1& -1\end{array}\right)\}$

$\{\delta =\left(\begin{array}{ccc}-1& 0& 1\\ 1& -1& 0\end{array}\right),\theta =\left(\begin{array}{ccc}-1& 0& 1\\ 1& 0& -1\end{array}\right)\}\begin{array}{ccccccc}\circ & 1_S& \alpha & \beta & \gamma & \delta & \theta \\ 1_S& 1_S& \alpha & \beta & \gamma & \delta & \theta \\ \alpha & \alpha & 1_S& \delta & \theta & \beta & \gamma \\ \beta & \beta & \gamma & 1_S& \alpha & \theta & \delta \\ \delta & \delta & \theta & \alpha & 1_S& \gamma & \beta \\ \gamma & \gamma & \beta & \theta & \delta & 1_S& \alpha \\ \theta & \theta & \delta & \gamma & \beta & \alpha & 1_S\end{array}$.

Teorema

Se dado um monóide de todas as transformação de S(não-vazio), cuja ordem de S seja n, a ordem de M(S) é nⁿ. E se tomarmos somente os elementos inversíveis de M(S), ou seja, Sim S = U(M(S)), então sua ordem é n!.