Álgebra abstrata/Homomorfismo e automorfismo

Homomorfismo

Definição 1: Sejam $(M,p,1),(M^{\prime },p^{\prime },1^{\prime })$ dois monóides(ou grupos). Uma aplicação $\varphi :M\mapsto M^{\prime }$ é chamada homomorfismo se, e somente se:

$\varphi (1)=1^{\prime },\varphi (xy)=\varphi (x)\varphi (y),x,y\in M$

Definição 2: Um homomorfismo $\varphi :M\mapsto M^{\prime }$ é dito

• monomorfismo se $\varphi (x)=\varphi (y)⟹x=y$
• epimorfismo se $\mathrm{\forall }u\in M^{\prime }\mathrm{\exists }x\in M,\varphi (x)=u$
• isomorfismo se φ for inversível e sua inversa for um homomorfismo

Observação: no contexto da teoria dos grupos, basta mostrar:

• Seja $\varphi :G\to H$ tal que $\varphi (xy)=\varphi (x)\varphi (y)$. Então φ é um homomorfismo.

Prova:

$\varphi (x)=\varphi (1x)=\varphi (1)\varphi (x)$, logo $\varphi (1)=1^{\prime }$

Outro resultado importante (para grupos) é que $\varphi (x^{-1})=\varphi (x{)}^{-1}$. A prova é imediata, pela unicidade do elemento inverso.

• Seja φ um homomorfismo em que ${\varphi }^{-1}(\{1^{\prime }\})=1$. Então φ é um monomorfismo

Prova:

Sejam x e y elementos distintos tais que $\varphi (x)=\varphi (y)$. Então x^-1 ≠ y^-1, logo 1 = x x^-1≠ x y^-1. Mas $\varphi (x{y}^{-1})=\varphi (x)\varphi (y{)}^{-1}=1^{\prime }$, o que prova (por redução ao absurdo) o resultado desejado.

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