Álgebra abstrata/Cayley

Isomorfismo

Definição: Sejam $(M,p,1),(M^{\prime },p^{\prime },1^{\prime })$ dois monóides(ou grupos). Eles são isomorfos se, e somente se, existe uma aplicação bijetiva $\varphi :M\mapsto M^{\prime }$ tal que:

$\varphi (1)=1^{\prime },\varphi (xy)=\varphi (x)\varphi (y),x,y\in M$

Teorema 1: A relação isomorfo é uma relação de equivalência. Seja $1_R:R\mapsto R,\varphi :R\mapsto S,\sigma :S\mapsto T$

• Seja $1_R$ uma aplicação bijetiva de R sobre R, logo $1_R$ é um isomorfismo (reflexiva)
• Seja $\varphi$ uma aplicação bijetiva de R sobre S, logo existe ${\varphi }^{-1}$ uma aplicação bijetiva de S sobre R, e portanto é um isomorfismo (simétrica)
• Seja $\varphi$ uma aplicação bijetiva de R sobre S e $\sigma$ uma aplicação bijetiva de S sobre T, logo existe $\varphi \sigma$ uma aplicação bijetiva de R sobre T, e portanto é um isomorfismo (transitiva)

$$

Teorema de Cayley

Teorema de Cayley para monóides e grupos:

• Todo monóide é isomorfo a um monóide de transformação
• Todo grupo é isomorfo a um grupo de transformação

Corolário: Todo grupo finito de ordem n é isomorfo a um subgrupo do grupo simétrico $S_n$