Mecânica dos fluidos/Exercícios resolvidos/E14

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Enunciado

Calcular o diâmetro que a tubulação do exercício E11 precisaria ter para que se garantisse uma vazão mínima de 10 l/s através de um tubo de 50 m de comprimento, considerando que a altura da água no reservatório será mantida no mínimo em 5 m.

Solução

Do exercício E12, sabemos que

$g\mathrm{\Delta }h=\frac{1}{2}(N_{fi}+N_{fl}\frac{L}{D}+1){\overline{v}}^2\Rightarrow \frac{N_{fl}}{D}=\frac{1}{L}(\frac{2g\mathrm{\Delta }h}{{\overline{v}}^2}-N_{fi}-1)$

Assim

$\frac{0.25{\left[log(\frac{e}{3.7D}+5.74N_{Re}^{-0.9})\right]}^{-2}}{D}=\frac{1}{L}(\frac{2g\mathrm{\Delta }h}{{\left(\frac{4\mathrm{\Phi }}{\pi D^2}\right)}^2}-N_{fi}-1)$

$\frac{1}{4D\cdot {\left[log(\frac{e}{3.7D}+5.74N_{Re}^{-0.9})\right]}^2}=\frac{(\frac{{\pi }^{2}g{D}^4\mathrm{\Delta }h}{8{\mathrm{\Phi }}^2}-N_{fi}-1)}{L}$

$4D\cdot {\left[log(\frac{e}{3.7D}+5.74N_{Re}^{-0.9})\right]}^2\cdot (\frac{{\pi }^{2}g{D}^4\mathrm{\Delta }h}{8{\mathrm{\Phi }}^2}-N_{fi}-1)=L$

$4D\cdot {\left[log(\frac{0.15mm}{3.7D}+5.74N_{Re}^{-0.9})\right]}^2\cdot (\frac{3.14^2\cdot 9.8m/s^2\cdot 5m}{8\cdot (10l/s{)}^2}\cdot D^4-0,5-1)=50m$

$4D\cdot {\left[log(\frac{0.00015m}{3.7D}+5.74N_{Re}^{-0.9})\right]}^2\cdot (\frac{3.14^2\cdot 9.8m/s^2\cdot 5m}{8\cdot (0.010m^3/s{)}^2}\cdot D^4-0,5-1)=50m$

O cálculo é difícil, pois tanto o Número de Reynolds quanto o coeficiente de atrito dependem do diâmetro do tubo. Por isso, será preciso usar um processo iterativo.

Iteração 1

No primeiro passo, consideremos um diâmetro de 50 mm. Assim

$N_{Re}=\frac{4{\rho }_0\mathrm{\Phi }}{\pi {\mu }_{0}D}=\frac{4\cdot 1000kg/m^3\cdot 10l/s}{3.14\cdot 0,0010kg\cdot m^{-1}\cdot s^{-1}\cdot 50mm}$

$N_{Re}=\frac{4\cdot 1000kg/m^3\cdot 0.010m^3/s}{3.14\cdot 0,0010kg\cdot m^{-1}\cdot s^{-1}\cdot 0.050m}=250000$

Calcula-se então o lado esquerdo da equação:

$4\cdot 50mm\cdot {\left[log(\frac{0.00015m}{3.7\cdot 50mm}+5.74\cdot 250000^{-0.9})\right]}^2\cdot (\frac{3.14^2\cdot 9.8m/s^2\cdot 5m}{8\cdot (0.010m^3/s{)}^2}\cdot (50mm{)}^4-0,5-1)=$

$4\cdot 0.050m\cdot {\left[log(\frac{0.00015m}{3.7\cdot 0.050m}+5.74\cdot 250000^{-0.9})\right]}^2\cdot (\frac{3.14^2\cdot 9.8m/s^2\cdot 5m}{8\cdot (0.010m^3/s{)}^2}\cdot (0.050m{)}^4-0,5-1)=-1,5m$

O valor obtido muito baixo, o que indica que o diâmetro precisa aumentar bastante.

Iteração 2

Consideremos um diâmetro de 300 mm. Assim

$N_{Re}=\frac{4\cdot 1000kg/m^3\cdot 0.010m^3/s}{3.14\cdot 0,0010kg\cdot m^{-1}\cdot s^{-1}\cdot 0.30m}=42000$

Calcula-se então o lado esquerdo da equação:

$4\cdot 0.30m\cdot {\left[log(\frac{0.00015m}{3.7\cdot 0.30m}+5.74\cdot 250000^{-0.9})\right]}^2\cdot (\frac{3.14^2\cdot 9.8m/s^2\cdot 5m}{8\cdot (0.010m^3/s{)}^2}\cdot (0.30m{)}^4-0,5-1)=47m$

O valor obtido ainda está um pouco baixo, o que indica que o diâmetro precisa aumentar um pouco mais.

Iteração 3

Consideremos um diâmetro de 310 mm. Assim

$N_{Re}=\frac{4\cdot 1000kg/m^3\cdot 0.010m^3/s}{3.14\cdot 0,0010kg\cdot m^{-1}\cdot s^{-1}\cdot 0.31m}=41000$

Calcula-se então o lado esquerdo da equação:

$4\cdot 0.31m\cdot {\left[log(\frac{0.00015m}{3.7\cdot 0.31m}+5.74\cdot 250000^{-0.9})\right]}^2\cdot (\frac{3.14^2\cdot 9.8m/s^2\cdot 5m}{8\cdot (0.010m^3/s{)}^2}\cdot (0.31m{)}^4-0,5-1)=54m$

O valor obtido indica que o diâmetro mínimo está entre 300 e 310 mm. Como numa aplicação prática usam-se sempre tubos com diâmetros padronizados, a informação obtida é suficientemente exata para a escolha do diêmetro da tubulação.

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