Mecânica dos fluidos/Fluxo turbulento do líquido Newtoniano

Fluxo turbulento do líquido Newtoniano

Infelizmente, na maioria dos casos práticos, o escoamento é turbulento, e não laminar. Quando o fluxo é turbulento, as equações de Navier-Stokes não podem ser simplificadas como feito na seção anterior, e a solução analítica se torna impossível. Muito trabalho experimental faz-se necessário na resolução desse tipo de problema.

Observando-se o escoamento turbulento, verifica-se que, próximo às paredes, a velocidade é progressivamente reduzida, assim como acontece com o escoamento laminar. Nessa região, a teoria da camada limite pode ser aplicada com sucesso.

Tensão de Reynolds

A velocidade de um elemento de volume em fluxo turbulento pode ser decomposta em duas componentes: uma igual à velocidade média do elemento de volume naquele ponto, e outra que representa uma flutuação local no tempo:

$\overrightarrow{v}=\overrightarrow{\overline{v}}+\delta \overrightarrow{v}$

Essa expressão é conhecida como separação de Reynolds. A flutuação local caracteriza-se pela variação rápida e aleatória de direção e magnitude. Se o escoamento fosse laminar, a velocidade não variaria na direção do fluxo, e teríamos, considerando escoamento na direção do eixo X,

$\overrightarrow{v}=v{\overrightarrow{u}}_x=\overrightarrow{\overline{v}}=\overrightarrow{f}(y,z)$

A tensão sobre um elemento de volume δV, área δA e comprimento δl, será, evidentemente, dada por equações como a seguinte

$\tau ={\mu }_0\frac{v}{\delta l}$

onde v é a velocidade de uma face com relação à outra. Por exemplo,

${\tau }_{yx}(x_0,y_0,z_0)={\mu }_0\frac{v_x(y_0,y_0,z_0)-v_x(y_0,y_0+\delta y,z_0)}{\delta y}={\mu }_0\frac{d{\overline{v}}_x}{dy}$

e assim por diante. Mas podemos também considerar a tensão τ como composta por duas componentes: a primeira é aquela que apareceria se o fluxo fosse laminar e a velocidade naquele ponto fosse exatamente ${\overline{v}}_x$, e a segunda, aquela que aparece devido ao caráter turbulento do fluxo:

${\tau }_{yx}={\overline{\tau }}_{yx}+\delta {\tau }_{yx}$

Essa segunda componente é chamada de tensão de Reynolds. A tensão de Reynolds é desprezível em locais próximos às paredes, onde o fluxo pode, com boa aproximação, ser considerado laminar.

O efeito das flutuações de velocidade é a transferência de momento linear de um ponto do fluxo para outro adjacente. Assim, a tensão de Reynolds pode também ser entendida como a taxa de transferência de momento através da superfície do elemento de volume δV, área δA e comprimento δl, devida à componente flutuante da velocidade. Por exemplo,

$\delta {\tau }_{yx}=\frac{\delta F_x}{\delta A_x}=\frac{\frac{\delta M_x}{\delta t}}{\delta y\delta z}=\frac{-\frac{{\rho }_0\delta V\delta {\overline{v}}_x}{\delta t}}{\delta y\delta z}=-\frac{{\rho }_0\delta x\delta {\overline{v}}_x}{\delta t}=-{\rho }_0{\overline{v}}_x\delta {\overrightarrow{v}}_x$

onde o sinal negativo se deve ao momento estar deixando o volume de controle. Assim, podemos escrever

${\tau }_{yx}={\mu }_0\frac{d{\overline{v}}_x}{dy}-{\rho }_0{\overline{v}}_x\delta {\overline{v}}_x$

e assim por diante. A expressão acima mostra por que o escoamento é laminar próximo à parede: tanto ${\overline{v}}_x$quanto δv_x decrescem nessa região. Em algumas situações, as expressões são escritas da forma seguinte:

$\frac{{\tau }_{yx}}{{\rho }_0}=\frac{{\mu }_0}{{\rho }_0}\frac{d{\overline{v}}_x}{dy}-{\overline{v}}_x\delta {\overline{v}}_x$

A grandeza $\sqrt{\frac{\overline{\tau }}{{\rho }_0}}=\sqrt{\frac{{\mu }_0}{{\rho }_0}\frac{d{\overline{v}}_x}{dy}}$ é chamada velocidade de fricção e comumente denotada pelo símbolo u_*.

Levantamento experimental da tensão de Reynolds

Valores da tensão de Reynolds podem ser levantadas experimentalmente para valores diversos do número de Reynolds e em formas diversas de dutos. Em geral, utilizam-se grupos adimensionais como

${\pi }_1=\frac{{\tau }_t}{{\tau }_l}{\pi }_2=\frac{d}{D}$

ou

${\pi }_1=u^{+}=\frac{\overline{v}}{u_{*}}{\pi }_2=y^{+}=\frac{{\rho }_{0}d{u}_{*}}{{\mu }_0}$

onde d é a distância à parede e D uma medida representativa da largura do duto; por exemplo, o diâmetro, em caso de dutos de seção circular.

Os resultados experimentais indicam o seguinte:

1. Em regiões muito próximas à parede $(0\le y^{+}\le 5)$, vale a relação $u^{+}=y^{+}$; essa região é chamada subcamada viscosa.
2. Em regiões mais próximas ao centro do duto $(y^{+}\ge 30)$, vale a relação $u^{+}=5.0+2.5\ln (y^{+})$.
3. A região intermediária $(5\le y^{+}\le 30)$ é chamada de região de transição (ing. buffer layer).

De acordo com esses resultados, a diferença as velocidades de dois pontos localizados na região afastada das paredes será

$u_1^{+}-u_1^{+}=2.5\ln \left(\frac{y_1^{+}}{y_2^{+}}\right)=2.5\ln \left(\frac{d_1}{d_2}\right)$

A partir daí, podemos expressar a velocidade em uma posição qualquer tomando como referência a velocidade no centro do tubo,

$u_r^{+}-u^{+}=2.5\ln \left(\frac{D}{2d}\right)\Rightarrow u^{+}=u_r^{+}-2.5\ln \left(\frac{D}{2d}\right)$

ou

${\overline{v}}_x={\overline{v}}_r-2.5u_{*}\ln \left(\frac{D}{2d}\right)$

onde

${\overline{v}}_r$

é a velocidade no centro do tubo. Essas expressões são conhecidas como a lei da queda de velocidade (ing. velocity defect law).

Outra expressão obtida empiricamente é a chamada lei da potência

${\overline{v}}_x={\overline{v}}_r{\left(\frac{2d}{D}\right)}^{\frac{1}{n}}$

onde n é uma função do número de Reynolds. A fórmula deixa claro que, quanto maior o valor de n, menos pronunciado será o perfil de velocidades, ou seja, menor será a diferença entre a velocidade em um ponto qualquer e a velocidade no centro do duto. Isso já era esperado: quanto mais turbulento o escoamento, maior a troca de momento entre os pontos do fluido e, por conseguinte, menores os gradientes de velocidade.

A lei da potência funciona razoavelmente bem para d > 0.02 D; entretanto, nas proximidades do centro do duto, deveríamos ter $\frac{\mathrm{\Delta }{\overline{v}}_x}{\mathrm{\Delta }d}=0$, requisito que nenhuma das equações empíricas cumpre.

Uma expressão empírica para n é: n = -1.7 + 1.8 log(N_Re), válida para números de Reynolds superiores a 20000. Valores de n a partir de 6 já são típicos para escoamento turbulento. Pode-se usar a aproximação n = 7 para 20000 ≤ N_Re ≤ 100000 e n = 8 para 100000 ≤ N_Re ≤ 400000.

Outros enfoques

Predefinição:Wikipedia Predefinição:Wikipedia Predefinição:Wikipedia Boussinesq propôs a fórmula simplificada

$\tau ={\mu }_t\frac{dv}{dy}$

onde μ_t (muito maior que μ) é chamada viscosidade turbulenta. Esse modelo não corresponde bem à realidade física, mas é usado devido à similaridade com o caso do escoamento laminar.

Prandtl, por sua vez, propôs a fórmula

$\tau =\rho L^2{\left(\frac{dv}{dy}\right)}^2$

onde L é uma função da distância à parede y, chamado de comprimento de mistura, para calcular a tensão de Reynolds. A fórmula é obtida a partir da hipótese de que pequenos grupos de partículas são transportados pelo movimento turbulento até à distância média L entre regiões com velocidades diferentes δv₁ e δv₂. Dessa forma

$\tau =\rho \delta v_1\delta v_2\delta v_1\approx \delta v_2\approx L\frac{dv}{dy}$

Outra proposta é a de von Kármán

$\tau ={\tau }_l(1-\frac{2y}{D})={\alpha }_k^2\rho \frac{{\left(\frac{dv}{dy}\right)}^4}{{\left(\frac{d^{2}v}{d{y}^2}\right)}^2}$

onde τ_l é a tensão na parede e α_k é chamada constante de von Kármán. Essa constante é igual a 0.4 para a água.

Expressões alternativas já foram sugeridas para o cálculo do perfil de velocidades:

$u^{+}=5.5+5.75\ln \left(\frac{y\cdot u^{+}}{{\mu }_0}\right)$ (Nikuradse, para tubos lisos)

$u^{+}=8.5+5.75\ln \left(\frac{2y}{e\cdot D}\right)$ (Nikuradse, para tubos rugosos)

${\overline{u}}^{+}=\frac{1}{1+4.07\sqrt{\frac{8}{N_{Re}}}}$ (Vennard)

onde e é a rugosidade relativa e N_Re é o número de Reynolds.

Exercícios resolvidos

• E5

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