Mecânica dos fluidos/Exercícios resolvidos/C11

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Enunciado

Deduza a equação de Bernoulli a partir da forma diferencial da primeira lei da termodinâmica.

Solução

A forma diferencial da primeira lei da termodinâmica é a seguinte:

$\frac{dQ}{dm}=[(u_2+\frac{v_2^2}{2})-\frac{{\sigma }_2}{{\rho }_2}]-[(u_1+\frac{v_1^2}{2})-\frac{{\sigma }_1}{{\rho }_1}]$

Para fluidos incompressíveis e com viscosidade nula, σ = - p, ρ₁ = ρ₂ = ρ₀. Além disso, a quantidade de calor fornecida ao elemento de volume é, por hipótese, nula. Assim, a diferença na energia interna u₁ - u₂ só poderá dever-se a alguma variação na energia potencial gravitacional (gz₁ - gz₂). Logo:

$0=[(u_1+\frac{v_2^2}{2})+\frac{p_2}{{\rho }_0}]-[(u_2+\frac{v_1^2}{2})+\frac{p_1}{{\rho }_0}]$

$\frac{v_2^2}{2}+\frac{p_2}{{\rho }_0}+g{z}_2=\frac{v_1^2}{2}+\frac{p_1}{{\rho }_0}+g{z}_2$

que é a equação procurada.

Quando houver fluxo de calor para o elemento de volume, a equação continuará sendo válida, contanto que

$u_2-u_1=\frac{dQ}{dm}+g{z}_2-g{z}_1\Rightarrow \delta u_T=\frac{dQ}{dm}$

onde δu_T é a variação da energia térmica do elemento de volume. A função de Gibbs

$TdS=d{U}_T+pdV$

onde S é a entropia, é válida para qualquer substância pura, em qualquer processo; para um fluido incompressível, dV = 0. Logo

$TdS=d{U}_T\Rightarrow T\delta S=\delta U_T\Rightarrow T\frac{\delta Q}{T}\ge \delta m\delta u_T$

$\frac{\delta Q}{\delta m}\ge \delta u_T$

A igualdade vale quando o processo é reversível. Assim, a equação de Bernoulli é válida também para a situação em que calor é fornecido ao elemento de volume, contanto que o fluido seja uma substância pura e o processo seja reversível. Predefinição:AutoCat