Mecânica dos fluidos/Exercícios resolvidos/C10

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Enunciado

Um pistão move-se horizontalmente dentro de um cilindro cheio de gás, atingindo a velocidade de 12 m/s quando distante 0.15 m da parede lateral. Neste momento, a densidade do gás é de 18 kg/m³ e uniforme dentro do cilindro. A velocidade do gás varia linearmente a partir do repouso para pontos adjacentes à parede lateral até v₀ para pontos adjacentes ao pistão. Derive uma expressão para o valor da densidade média no cilindro e calcule taxa de variação da densidade nesse instante.

Solução

Escolhamos a origem dos eixos coordenados sobre a parede lateral do cilindro. Do enunciado, a velocidade do gás é dada por

$\overrightarrow{v}=v_x{\overrightarrow{u}}_x=(ax+b){\overrightarrow{u}}_x{v}_x(x=0)=0v_x(=L)=v_0$

Assim

$v_x=\frac{v_0}{L}x$

Além disso, podemos escrever

$L=L_0+v_{0}t$

Logo

$v_x=\frac{v_0}{L_0+v_{0}t}x$

De acordo com a equação de continuidade

$\mathrm{\nabla }\cdot \rho \overrightarrow{v}+\frac{\partial \rho }{\partial t}=0\Rightarrow \frac{\partial \rho v_x}{\partial x}+\frac{\partial \rho }{\partial t}=0$

pois v_y = v_z = 0. Assim

$\rho \frac{\partial v_x}{\partial x}+v_x\frac{\partial \rho }{\partial x}+\frac{\partial \rho }{\partial t}=0\Rightarrow \rho \frac{\partial }{\partial x}\frac{v_{0}x}{L_0+v_{0}t}+\frac{\partial \rho }{\partial t}=0$

pois, de acordo com o enunciado, a densidade não varia com a posição x dentro do cilindro, apenas com o tempo. Logo,

$\rho \frac{v_0}{L_0+v_{0}t}+\frac{\partial \rho }{\partial t}=0\Rightarrow \frac{d\rho }{\rho }=-\frac{v_0}{L_0+v_{0}t}dt$

$\underset{\rho 0}{\overset{\rho }{\int }}\frac{d\rho }{\rho }=-\underset{0}{\overset{t}{\int }}\frac{v_0}{L_0+v_{0}t}dt\Rightarrow \ln \frac{\rho }{{\rho }_0}=-\ln \frac{L_0+v_{0}t}{L_0}$

$\rho =\frac{{\rho }_0{L}_0}{L_0+v_{0}t}\Rightarrow \frac{d\rho }{dt}=-\frac{{\rho }_0{L}_0{v}_0}{(L_0+v_{0}t{)}^2}$

${\frac{d\rho }{dt}|}_{t=0}=-\frac{{\rho }_0{L}_0{v}_0}{(L_0+v_0\cdot 0{)}^2}=-\frac{{\rho }_0{v}_0}{L_0}=-\frac{18kg/m^3\cdot 12m/s}{0.15m}=-1400kg\cdot m^{-3}\cdot s^{-1}$