Mecânica dos fluidos/Equações básicas da estática dos fluidos

Fluidos estáticos

Predefinição:Wikipedia Um fluido pode ser considerado estático quando não está sujeito a nenhuma força de cisalhamento; isso acontece em duas situações:

• quando o fluido está parado
• quando o fluido está em movimento mas seu comportamento pode ser aproximado pelo de um corpo rígido

Nesse caso, as únicas forças a serem consideradas são a pressão externa P aplicada e o peso do próprio líquido. A análise usa geralmente o enfoque Lagrangeano. Os eixos coordenados são escolhidos de modo que o fluido esteja estacionário em relação a eles, e o eixo Z seja vertical e orientado para cima. Deformações nos elementos de volume podem ser desprezadas.

A equação básica da estática dos fluidos é a lei de Stevin

$\frac{dp}{dz}=-\rho g$

Ela deve ser integrada e condições de contorno aplicadas de forma a obter-se o campo de pressões no fluido. Por convenção, a pressão $p$ é positiva quando orientada na direção do elemento de volume (ou seja, representando uma força de compressão).

Fluidos incompressíveis

Em um fluido incompressível, $\rho$ é constante. Considerando a gravidade constante, a integração da equação resulta em

$p=p_0+\rho g(z_0-z)$

$p=p_0+\rho g(z_0-z)$

onde $p_0$ é a pressão em $z=z_0$.

Líquidos

Nas aplicações práticas, quando se trata de um líquido, fazem-se três escolhas de forma a simplificar os cálculos:

• $z_0$ fica localizado num ponto que esteja à pressão atmosférica
• inverte-se o sentido do eixo Z, de maneira a apontar para baixo
• trabalha-se com pressões manométricas, em lugar de pressões absolutas

Dessa forma, para evitar confusões, a variável z é substituída pela variável h. A expressão básica se torna então:

$p=\rho gh$

Em problemas envolvendo circuitos de tubulações, com trechos de profundidade h_i preenchidos por líquidos diversos de densidade ${\rho }_i$, a pressão pode ser calculada através da equação

$p=g\mathrm{\Sigma }{\rho }_i{h}_i$

Fluidos compressíveis

Para esse tipo de fluido, $\rho$ não pode ser considerado constante. Antes de integrar a a equação básica é preciso, portanto, expressar como a densidade varia. Para os gases, um dos meios usado é a equação de estado, geralmente a equação de estado do gás ideal

$\rho =\frac{p}{RT}$

O uso de equaçãoes de estado requer a introdução de uma nova variável no problema, geralmente a temperatura. Ou seja, é preciso expressar T em função de outra variável (pressão, profundidade, altitude, etc.)

Atmosfera

No caso especial de problemas que envolvem a atmosfera terrestre, quatro enfoques diferentes são comumente usados:

• considerar a densidade constante $(\rho ={\rho }_0=\frac{p_0}{R{T}_0})$

Então

$\frac{dp}{dz}=-\rho g=-{\rho }_{0}g$

$dp=-{\rho }_{0}g\cdot dz$

$p-p_0=-{\rho }_{0}g(z-z_0)$

$p=p_0-{\rho }_{0}g(z-z_0)$

$p=p_0-\frac{p_0}{R{T}_0}g(z-z_0)$

$p=p_0[1-\frac{g(z-z_0)}{R{T}_0}]$

A temperatura é dada então por

$T=\frac{p}{{\rho }_{0}R}=\frac{p_0[1-\frac{g(z-z_0)}{R{T}_0}]}{\frac{p_0}{R{T}_0}R}$

$T=T_0-\frac{g(z-z_0)}{R}$

• considerar a temperatura constante $(T=T_0)$

Então

$\frac{dp}{dz}=-\rho g=-\frac{p}{RT}g$

$\frac{dp}{p}=-\frac{g}{R{T}_0}dz$

$p=p_0\cdot e^{[-\frac{g(z-z_0)}{R{T}_0}]}$

• considerar a temperatura variando linearmente com a altitude $(T=T_0-m(z-z_0))$

Então

$\frac{dp}{dz}=-\rho g=-\frac{p}{RT}g=-\frac{pg}{R(T_0-m(z-z_0))}$

$\frac{dp}{p}=-\frac{g}{mR}\cdot \frac{dz}{(\frac{T_0}{m}+z_0)-z}$

$\ln p-\ln p_0=\frac{g}{mR}\cdot [\ln (\frac{T_0}{m}+z_0-z)-\ln (\frac{T_0}{m}+z_0-z_0)]$

$\frac{p}{p_0}={\left(\frac{\frac{T_0}{m}+z_0-z}{\frac{T_0}{m}}\right)}^{\frac{g}{mR}}$

$p=p_0{\left(\frac{T_0-m(z-z_0)}{T_0}\right)}^{\frac{g}{mR}}$

$p=p_0{\left(\frac{T}{T_0}\right)}^{\frac{g}{mR}}$

Observe-se que, quando $m=\frac{g}{R}$, cairemos no caso da densidade constante, analisado anteriormente.

• considerar a atmosfera um sistema adiabático $(\delta q=\mathrm{\Delta }S=0)$

Essa hipótese é razoável, uma vez que o ar é um mau condutor de calor. Assim, quando um elemento de volume sofre convecção, movendo-se para cima, expandindo-se, resfriando-se, movendo-se para baixo, contraindo-se, aquecendo-se e movendo-se para cima novamente, ele permanece o tempo todo em equilíbrio termodinâmico. O processo é, então, reversível, e pode-se aplicar a relação termodinâmica da dilatação adiabática do gás ideal

$p{V}^{\gamma }=constante\Rightarrow p{\rho }^{-\gamma }=k\Rightarrow \rho =(\frac{p}{k}{)}^{\frac{1}{\gamma }}$

Assim:

$p=\rho RT=(\frac{p}{k}{)}^{\frac{1}{\gamma }}RT$

$p^{\frac{\gamma -1}{\gamma }}=k^{-\frac{1}{\gamma }}RT$

$\frac{p^{\frac{\gamma -1}{\gamma }}}{p_0^{\frac{\gamma -1}{\gamma }}}=\frac{k^{-\frac{1}{\gamma }}RT}{k^{-\frac{1}{\gamma }}R{T}_0}$

$(\frac{p}{p_0}{)}^{\frac{\gamma -1}{\gamma }}=\frac{T}{T_0}$

$p=p_0\cdot (\frac{T}{T_0}{)}^{\frac{\gamma }{\gamma -1}}$

Exercícios resolvidos

• B1