Teoria dos conjuntos/Conjuntos

Conjuntos e elementos

Quando a Teoria dos conjuntos foi apresentada no nível elementar (até o Predefinição:W), foi necessário fazer a distinção entre conjunto e elemento.

Lembrando (ver livro Matemática elementar/Conjuntos):

• um conjunto é uma coleção de elementos, sem importar a ordem em que eles se apresentam;
• qualquer coisa pode ser um elemento.

Assim, temos que a Predefinição:W, o livro Predefinição:W, Predefinição:W, Predefinição:W, etc são elementos, mas todos os Predefinição:Ws do mundo, todos os Predefinição:W ou Predefinição:W da Predefinição:W, os Predefinição:Busca maiores que 4 e menores que 6 são conjuntos.

Isto até apresentarem o conjunto das partes, que é um conjunto cujos elementos são outros conjuntos.

Então, partindo-se do conjunto vazio, podemos construir seu conjunto das partes $\{\varnothing \}$, cujo único elemento é $\varnothing$, o conjunto das partes deste conjunto, $\{\varnothing ,\{\varnothing \}\}$ de dois elementos, o conjunto das partes deste conjunto, $\{\varnothing ,\{\varnothing \},\{\{\varnothing \}\},\{\varnothing ,\{\varnothing \}\}\}$ de quatro elementos, etc.

Pode-se até vislumbrar uma cadeia de infinitos conjuntos, cada um deles sendo o conjunto das partes do conjunto anterior. Que tal agora formar um conjunto cujos elementos são precisamente os elementos dos conjuntos desta cadeia? Este seria um conjunto imenso, com infinitos elementos - mas pode-se continuar criando conjuntos maiores, tomando-se o conjunto das partes deste monstro, e assim por diante.

Na Teoria dos conjuntos axiomática, não existe distinção entre elementos e conjuntos: um conjunto é uma coleção de outros conjuntos. Todos os conjuntos são, essencialmente, formados pelo processo acima, ou seja, na sua fundação está o conjunto vazio.

Fundamentos

A Teoria dos conjuntos axiomática, portanto, é fundamentada em apenas dois conceitos:

• A noção primitiva de conjunto;
• A expressão $x\in y$, em que x e y são conjuntos.

Diz-se que x é um elemento de y quando esta última expressão for verdadeira, e x não é um elemento de y quando esta expressão for falsa (neste caso escreve-se $x\in ̸y$).

Usaremos também a notação $x\in y\in z,$ (e outras expressões parecidas) para representar $x\in y\wedge y\in z$ - note-se que $x\in y\in z$ não implica, necessariamente, que $x\in z$ (veremos que, em geral, isto não é válido). Tente imaginar uma situação que exemplifique este fato.

Pela experiência anterior, sabe-se que existe um conjunto $\varnothing$ com as seguintes propriedades notáveis:

• $\mathrm{\forall }x,x\in ̸\varnothing$

em palavras: o conjunto vazio não tem elemento

• $\mathrm{\forall }x,(\mathrm{\exists }y(y\in x)⟹x=\varnothing )$

em palavras: se um conjunto qualquer não tem elementos, então este é igual ao conjunto vazio.

Na Teoria axiomática dos conjuntos, estes dois resultados (resumidos em "o conjunto vazio existe e é único") são teoremas.

Existência

Um problema estético que se tem ao apresentar os axiomas da Teoria dos conjuntos é que os axiomas mais simples (aqueles que são apresentados no início) não garantem a existência de algum conjunto.

Na linguagem da Predefinição:W, o campo da lógica que estuda estruturas matemáticas que consubstanciam sistemas de axiomas, esta ideia é expressa por:

O conjunto vazio é um modelo da teoria que consiste dos Predefinição:W sem o Predefinição:W.

Isto porque todos os outros axiomas tem a expressão "Para todo conjunto X, bla bla bla". Então, se não existe nenhum conjunto na teoria, todos os axiomas são verdadeiros (ver artigo na Wikipédia em inglês, Predefinição:W).

Assim, para podermos entender e exemplificar os primeiros axiomas, será incluído um axioma adicional. Simplesmente, este axioma diz que existe pelo menos um conjunto:

$\mathrm{\exists }x$