Análise real/Integral de Riemann

Com origem histórica na antiguidade, o cálculo integral foi particularmente enriquecido a partir do momento em que Isaac Newton (1642-1727) e Gottfried Willelm Leibniz (1646-1716) lhe descobriram propriedades inversas da derivação. Até então foi sempre um assunto intimamente ligado ao cálculo de áreas e de volumes, que a partir de meados do século XVI sofre um desenvolvimento metodológico notável promovido principalmente, por Johann Kepler (1571-1630), Galileu Galilei (1584-1642), Buonaventura Cavalieri (1598-1647) e Evangelista Torricelli (1608-1647). Da sua importância bastará recordar o papel das áreas na descrição das leis físicas dos movimentos dos planetas, propostas por Kepler na sua Investigationes Astronomicae, e a segunda obra do mesmo autor, Nova Stereometria Doliorum Vinariorum, exclusivamente dedicada ao cálculo de volumes de sólidos.

Inspirando-se essencialmente no princípio da exaustão, largamente utilizado pelos matemáticos da Grécia antiga, desde Eudoxo (408-355 a.C.) até Arquimedes (287-213 a.C.), a base desse desenvolvimento encontra-se na introdução dos chamados indivisíveis ou infinitésimos, particularmente especificados de forma mais rigorosa por matemáticos do século XIX, entre os quais, Georg Bernhard Riemann (1826-1866). (Para uma descrição histórica detalhada sobre este tema veja-se^[1]^[2]^[3])-

A integral de Riemann pode ter várias formulações. A versão que iremos apresentar é a devida a Jean-Gaston Darboux (1842-1917), publicada em 1875 nos Annales de l'École Normale Supérieur de Paris. Esta escolha apresenta algumas vantagens, pois sendo então a integral de Riemann uma consequência das integrais superior e inferior, as propriedades destes refletem-se necessariamente nas daquele. Esta ideia é explorada sempre que possível, com proveito em muitos casos.

A integral de Riemann têm como objetivo calcular a região limitada por funções limitadas em intervalos limitados. E calcularemos esta região através da divisão da mesma em retângulos.

Já sabemos que a área de um retângulo de lados "a" e "b" é dado por A(Área) = ab. Agora basta saber como faremos a divisão de uma figura por retângulos.

Propriedades de uma área no $ℝ^{2}$

Se a área for limitada por [a,b]x[0,f(x)]. Então temos x=a; x=b; y=0; y=f(x) limitando nossa figura.
Por ser 0<y<f(x), temos que $f (x) > 0; \forall x \in ℝ$ .

Partição do domínio [a,b]

Quando particionamos a figura em retângulos, conseguimos calcular a área dela com um pequeno erro. É claro que enquanto maior for a partição, menor será o erro.
(f,P) significa que a área relacionada a função f estará sendo particionada na partição P.
Se tomarmos inicialmente o intervalo [a,b] e particionarmos uma vez, teremos $P_{1} = {t_{0}; t_{1}; t_{2}} com t_{0} = a e t_{2} = b$ . Aqui estamos dividindo o intervalo [a,b] em $[t_{0}, t_{1}] e [t_{1}, t_{2}]$
Generalizando, podemos particionar o intervalo [a,b] quantas vezes quisermos.
Estaremos trocando A(Área) por S(soma de áreas)

Soma inferior e soma superior

(A1) Sejam m e M; menor e maior "altura" do retângulo de base b-a

Sejam

m = inf {f (x); x \in [a, b]} e M = sup {f (x); x \in [a, b]}

m (b - a) \leq M (b - a)

. Tomando

P_{0} = {a, b} temos \underline{S} (f; P_{0}) \leq \overline{S} (f; P_{0})

(A2) Sejam $m_{i} e M_{i}$ ; menor e maior "altura" do retângulo de base $t_{i} - t_{i - 1}$

Podemos calcular a área da partição

P_{1}

da seguinte forma:

Por falta

A (f a l t a) = m_{1} (t_{1} - t_{0}) + m_{2} (t_{2} - t_{1}) = \underline{S} (f; P_{1})

conhecido como soma inferior

Onde

m_{1} = i n f {f (x); x \in [t_{0}, t_{1}]} e m_{2} = i n f {f (x); x \in [t_{1}, t_{2}]}

Por sobra

A (s o b r a) = M_{1} (t_{1} - t_{0}) + M_{2} (t_{2} - t_{1}) = \overline{S} (f; P_{1})

conhecido como soma superior

Onde

M_{1} = s u p {f (x); x \in [t_{0}, t_{1}]} e M_{2} = s u p {f (x); x \in [t_{1}, t_{2}]}

Como

m_{1} \leq M_{1} e m_{2} \leq M_{2}

. Logo

\underline{S} (f; P_{1}) \leq \overline{S} (f; P_{1})

(A3) Seja $m (b - a) = m (t_{2} - t_{0}) . Tomando t_{1} \in [t_{0}, t_{2}], temos m (t_{2} - t_{1} + t_{1} - t_{0}) =$

$= m (t_{2} - t_{1}) + m (t_{1} - t_{0}) \leq m_{2} (t_{2} - t_{1}) + m_{1} (t_{1} - t_{0}) \Rightarrow \underline{S} (f; P_{0}) \leq \underline{S} (f; P_{1}), pois m \leq m_{1} e m \leq m_{2}$

(A4) o fato que $\overline{S} (f; P_{1}) \leq \overline{S} (f; P_{0})$ é análogo a (A3)
(A2),(A3)e(A4) $\underline{S} (f; P_{0}) \leq \underline{S} (f; P_{1}) \leq \overline{S} (f; P_{1}) \leq \overline{S} (f; P_{0})$ .

Pelo que vimos acima, quando acrescentamos um único ponto a partição inicial [a,b], a nossa soma inferior ficou maior, e nossa soma superior ficou menor. A nossa idéia então é fazer com que elas se aproximem o suficiente até $| \overline{S} (f; P_{\infty}) - \underline{S} (f; P_{\infty}) | < ϵ, o n d e P_{\infty}$ será para nós quando $\lim_{P_{i} \to P_{\infty}} | t_{i} - t_{i - 1} | = 0$ . Então encontraremos a área da figura.

Relações entre partição e subpartição

Lema 1 (refinando uma partição)

Sejam $f : [a, b] \to ℝ$ limitada e as partições $P_{k - 1}, Q cujo Q = P_{k - 1} \cup {c}$

\underline{S} (f; P_{k - 1}) \leq \underline{S} (f; Q) \leq \overline{S} (f; Q) \leq \overline{S} (f; P_{k - 1})

.

Demonstração

Sejam $P_{k - 1} = {t_{0}, t_{1}, . . ., t_{l - 1}, t_{l}, t_{l + 1}, . . . t_{k - 1}, t_{k}} e Q = P_{k - 1} \cup {c} onde c \in [t_{l - 1}, t_{l}]$

$\underline{S} (f; P_{k - 1}) = \sum_{i = 1}^{k} m_{i} (t_{i} - t_{i - 1}) = \sum_{i = 1}^{l - 1} m_{i} (t_{i} - t_{i - 1}) + m_{l} (t_{l} - t_{l - 1}) + \sum_{i = l}^{k} m_{i} (t_{i} - t_{i - 1})$
S_(f;Q)=∑i=1l−1mi(ti−ti−1)+m′(c−tl−1)+m″(tl−c)+∑i=lkmi(ti−ti−1)
- Onde $m^{'} = i n f {f (x); x \in [t_{l - 1}, c]} e m^{″} = i n f {f (x); x \in [c, t_{i}]}$
É verdade que $m_{l} (t_{l} - t_{l - 1}) = m_{l} (t_{l} - c + c - t_{l - 1}) = m_{l} (t_{l} - c) + m_{l} (c - t_{l - 1}) como m_{l} \leq m^{'} e m_{l} \leq m^{″}$ . Então $\underline{S} (f; P_{k - 1}) \leq \underline{S} (f; Q)$
De forma análoga se demonstra que $\overline{S} (f; Q) \leq \overline{S} (f; P_{k - 1})$

Teorema 1

Sejam $f : [a, b] \to ℝ$ limitada, quando se refina uma partição a soma inferior não diminui e a soma superior não aumenta

Demonstração

Pelo Lema 1, Q é uma refinação da partição P.

Corolário

Sejam $f : [a, b] \to ℝ$ limitada, e as partições P e Q, onde $\underline{S} (f; P) \leq \overline{S} (f; Q)$ .

Demonstração

Refinando P nos pontos de Q, e refinando Q nos pontos de P teremos $\underline{S} (f; P) \leq \underline{S} (f; P \cup Q) e \overline{S} (f; P \cup Q) \leq \overline{S} (f; P)$ . Como $\underline{S} (f; P \cup Q) \leq \overline{S} (f; P \cup Q) \Rightarrow \underline{S} (f; P) \leq \underline{S} (f; P \cup Q) \leq \overline{S} (f; P \cup Q) \leq \overline{S} (f; P)$ .

Integral inferior e integral superior

Seja $f : [a, b] \to ℝ limitada e P^{*}$ todas as partições de [a,b]

${\int_{_}}_{a}^{b} f (x) d x = sup \underline{S} (f; P^{*})$ é a integral inferior de f
${\int^{‾}}_{a}^{b} f (x) d x = inf \overline{S} (f; P^{*})$ é a integral superior de f

Pelo Lema 1 $\underline{S} (f; P^{*}) \leq sup \underline{S} (f; P^{*}) \leq inf \overline{S} (f; P^{*}) \leq \overline{S} (f; P^{*})$ .

Logo

\underline{S} (f; P^{*}) \leq {\int_{_}}_{a}^{b} f (x) d x \leq {\int^{‾}}_{a}^{b} f (x) d x \leq \overline{S} (f; P^{*})

.

Lema 2 (soma conservada no refinamento)

Seja $c \in] a, b [$ e $Q^{*}$ são todas as partição de [a,b] que contém c. Assim $Q^{*} = P^{*} \cup {c}$ , então ${\int_{_}}_{a}^{b} f (x) d x, {\int^{‾}}_{a}^{b} f (x) d x$ são únicos.

Demonstração

Em particular $Q \subset Q^{*}$ , ou seja, tomemos uma partição que contém {c}

Seja

P = Q ∖ c

; onde

P \subset P^{*}

.

Pelo Lema 1

\underline{S} (f; P) \leq \underline{S} (f; Q) \leq \overline{S} (f; Q) \leq \overline{S} (f; P)

.

olhemos para o fato que A' = {cota inferior de Q} e B' = {cota superior de Q}; A = {cota inferior de P} e B = {cota superior de P}

A \subset A^{'} \Rightarrow s e a \in A e a^{'} \in A^{'}, l o g o a \leq a^{'}

sup A = sup A', pois

c \in] a, b [

B \subset B^{'} \Rightarrow s e b \in B e b^{'} \in B^{'}, l o g o b \leq b^{'}

inf B = inf B', pois

c \in] a, b [

$sup \underline{S} (f; P) = sup \underline{S} (f; Q) \leq inf \overline{S} (f; Q) = inf \overline{S} (f; P)$ .

Lema 3

Sejam A, B subconjuntos não vazios e limitados dos reais. (a) => (b)

(a) Se $A = {a \in A}, B = {b \in B}$ , então $A + B = {a + b; a \in A, b \in B}$
(b) inf(A+B) = inf A + inf B ; sup(A+B) = sup A + Sup B

Demonstração

Dado $a \in A, b \in B, t e m o s a \geq i n f A, b \geq i n f B \Rightarrow a + b \geq i n f A + i n f B$ .

Assim inf A + inf B é uma cota inferior de A+B,

Dado $ϵ > 0, \exists a^{'} \in A, b^{'} \in B; a^{'} < i n f A + \frac{ϵ}{2}, b^{'} < i n f B + \frac{ϵ}{2} \Rightarrow a^{'} + b^{'} < i n f A + i n f B + ϵ$

portanto inf A + inf B é o ínfimo do conjunto A + B

o sup se mostra analogamente

Corolário

Sejam $f, g : [a, b] \mapsto ℝ$ limitadas. Então

(a) $s u p (f + g) \leq s u p (f) + s u p (g)$
(b) $i n f (f + g) \geq i n f (f) + i n f (g)$

Demonstração

Se $A = f ([a, b]), B = g ([a, b])$ , então $C = {f (x) + g (x); x \in [a, b]} \subset A + B$

pelo teorema

i n f (A + B) \leq i n f (C) \leq s u p (C) \leq s u p (A + B)

e pelo lema 3 temos

(a)

s u p (f + g) = s u p (C) \leq s u p (A + B) = s u p (A) + s u p (B) = s u p (f) + s u p (g)

(b)

i n f (f + g) = i n f (C) \geq i n f (A + B) = i n f (A) + i n f (B) = i n f (f) + i n f (g)

Teorema 2

Sejam $c \in [a, b], f : [a, b] \mapsto ℝ$ limitada, então

(a) ${\int_{_}}_{a}^{b} f (x) d x = {\int_{_}}_{a}^{c} f (x) d x + {\int_{_}}_{c}^{b} f (x) d x$
(b) ${\int^{‾}}_{a}^{b} f (x) d x = {\int^{‾}}_{a}^{c} f (x) d x + {\int^{‾}}_{c}^{b} f (x) d x$

Demonstração

(a)Sejam A={S_(f/[a,c],P);∀P⊂P*},B={S_(f/[c,b],P);∀P⊂P*}
- A+B={S_(f/[a,c],P)+S_(f/[c,b],P);∀P⊂P*}={S_(f/[a,b],Q);∀Q⊂Q*}
  - pelo lema 2 e pelo lema 3 temos
    - ${\int_{_}}_{a}^{b} f (x) d x = s u p (A + B) = s u p (A) + s u p (B) = {\int_{_}}_{a}^{c} f (x) d x + {\int_{_}}_{c}^{b} f (x) d x$
(b)Sejam A={S‾(f/[a,c],P);∀P⊂P*},B={S‾(f/[c,b],P);∀P⊂P*}
- A+B={S‾(f/[a,c],P)+S‾(f/[c,b],P);∀P⊂P*}={S‾(f/[a,b],Q);∀Q⊂Q*}
  - pelo lema 2 e pelo lema 3 temos
    - ${\int^{‾}}_{a}^{b} f (x) d x = i n f (A + B) = i n f (A) + i n f (B) = {\int^{‾}}_{a}^{c} f (x) d x + {\int^{‾}}_{c}^{b} f (x) d x$

Lema 4

Seja $A^{'} \subset ℝ$ e $A = {x \in A^{'}; M \leq x \leq N}; A \cap [M, N] \neq \emptyset$ ; Dado $c \in ℝ$ temos:

(a)Se c> 0, então c⋅A={c.x∈A′;c⋅M≤c⋅x≤c⋅N}
- Assim: $s u p (c \cdot A) = c \cdot s u p (A) e i n f (c \cdot A) = c \cdot i n f (A)$
(b)Se c< 0, então c⋅A={c.x∈A′;c⋅M≥c⋅x≥c⋅N}
- Assim: $s u p (c \cdot A) = c \cdot i n f (A) e i n f (c \cdot A) = c \cdot s u p (A)$

Demonstração

(a) $s u p (c \cdot A) = c \cdot N = c \cdot s u p (A)$

i n f (c \cdot A) = c \cdot M = c \cdot i n f (A)

(b) $s u p (c \cdot A) = c \cdot M = c \cdot i n f (A)$

i n f (c \cdot A) = c \cdot N = c \cdot s u p (A)

Teorema 3

Sejam $f, g : [a, b] \mapsto$

(a) ${\int_{_}}_{a}^{b} f (x) d x + {\int_{_}}_{a}^{b} g (x) d x \leq {\int_{_}}_{a}^{b} [f (x) + g (x)] d x \leq {\int^{‾}}_{a}^{b} [f (x) + g (x)] d x \leq {\int^{‾}}_{a}^{b} f (x) d x + {\int^{‾}}_{a}^{b} g (x) d x$
(b)
- c>0
  - ${\int_{_}}_{a}^{b} c \cdot f (x) d x = c {\int_{_}}_{a}^{b} f (x) d x$
  - ${\int^{‾}}_{a}^{b} c \cdot f (x) d x = c {\int^{‾}}_{a}^{b} f (x) d x$
- c<0
  - ${\int_{_}}_{a}^{b} c \cdot f (x) d x = c {\int^{‾}}_{a}^{b} f (x) d x$
  - ${\int^{‾}}_{a}^{b} c \cdot f (x) d x = c {\int_{_}}_{a}^{b} f (x) d x$
(c) Sef(x)<g(x)∀x∈[a,b], então
- \underline {\int}_{a}^{b} f(x)dx \le \underline {\int}_{a}^{b} g(x)dx
- \overline {\int}_{a}^{b} f(x)dx \le \overline {\int}_{a}^{b} g(x)dx

Demonstração

Funções integráveis

Das somas de Darboux destacamos as seguintes propriedades elementares.

Para quaisquer partições $P, Q \in 𝒫 ([a, b])$ tem-se $s_{f} (P) \leq S_{f} (Q)$ .
Se $P, Q \in 𝒫 ([a, b])$ são duas partições tais que $P \subset Q$ (caso em que $Q$ se diz uma partição mais fina que $P$ ou um refinamento da partição $P$ ) então $s_{f} (P) \leq s_{f} (Q)$ e $S_{f} (Q) \leq S_{f} (P)$ .

As duas propriedades simples acima permitem-nos obter com facilidade a seguinte primeira condição de integrabilidade (ver ^[4]), muito comum na literatura.

Teorema

Uma função $f : [a, b] \to ℝ$ limitada é integrável à Riemann se e só se

Para cada $ϵ > 0$ existe $P \in 𝒫 ([a, b])$ tal que $S_{f} (P) - s_{f} (P) < ϵ$ .

Para provar este teorema comecemos por observar que pelas propriedades algébricas dos ínfimos e dos supremos se tem

$\begin{matrix} {\int^{‾}}_{a}^{b} f (x) d x - {\int_{_}}_{a}^{b} f (x) d & = \inf {S_{f} (Q_{1}) : Q_{1} \in 𝒫 ([a, b])} - \sup {s_{f} (Q_{2}) : Q_{2} \in 𝒫 ([𝒶, 𝒷])} \\ = \inf {S_{f} (Q_{1}) : Q_{1} \in 𝒫 ([a, b])} + \inf {- s_{f} (Q_{2}) : Q_{2} \in 𝒫 ([𝒶, 𝒷])} \\ = \inf {S_{f} (Q_{1}) - s_{f} (Q_{2}) : Q_{1}, Q_{2} \in 𝒫 ([a, b])} . \end{matrix}$

Deste modo, se $f$ é integrável então para cada $ϵ > 0$ existem $Q_{1}, Q_{2} \in 𝒫 ([a, b])$ tais que $0 \leq S_{f} (Q_{1}) - s_{f} (Q_{2}) < ϵ$ . Assim, tomando $P = Q_{1} \cup Q_{2}$ , pela propriedade 2, teremos igualmente, $0 \leq S_{f} (P) - s_{f} (P) < ϵ .$

Reciprocamente, se para cada $ϵ > 0$ existir $P \in 𝒫 ([a, b])$ tal que $0 \leq S_{f} (P) - s_{f} (P) < ϵ .$ então também $0 \leq S_{f} (Q_{1}) - s_{f} (Q_{2}) < ϵ$ , para quaisquer $Q_{1}, Q_{2} \in 𝒫 ([a, b])$ que contenham $P .$

Exemplo 1 (funções monótonas)

Seja $f : [a, b] \to ℝ$ uma função monótona no intervalo $[a, b] .$ Então $f$ é integrável em $[a, b] .$

Supondo,por exemplo, que $f$ é crescente em $[a, b]$ (no caso decrescente, basta ter em conta que $- f$ é crescente), temos que $f$ é limitada, pois $f (a) \leq f / x) \leq f (b)$ para cada $x \in [a, b]$ . Do mesmo modo, relativamente a uma qualquer partição $P = {x_{0}, x_{1}, . . ., x_{n}}$ de $[a, b]$ . a diferença de somas de Darboux $S_{f} (P) - s_{f} (P) = \sum_{1 = 1}^{n} (f (x_{i}) - f (x_{i - 1]})) (x_{i} - x_{i - 1})$ . Ora, como $(x_{i} - x_{i - 1}) \leq | P |$ temos que $S_{f} (P) - s_{f} (P) \leq (f (b) - f (a)) | P |$ . Então para cada $ϵ > 0$ , se a partição $P$ for tal que $| P | < ϵ / (f (b) - f (a))$ obtemos $S_{f} (P) - s_{f} (P) < ϵ$ . Logo a condição de Riemann é satisfeita e por conseguinte, $f$ é integrável em $[a, b] .$

Igualmente como aplicação da condição de Riemann podemos obter a integrabilidade das funções contínuas. Para o efeito, vamos usar uma propriedade importante das funções contínuas em intervalos compactos (isto é, fechados e limitados): a de serem uniformemente contínuas. Significa isto, que para qualquer $α > 0$ , existe $β > 0$ , tal que $| f (x) - f (y) | < α$ sempre que se tenha $| x - y | < β$ .

Exemplo 2 (funções contínuas)

Seja $f : [a, b] \to ℝ$ uma função contínua no intervalo $[a, b] .$ Então $f$ é integrável em $[a, b] .$

Comecemos por notar que, pelo teorema de Weierstrass, $f$ é uma função limitada em $[a, b]$ . Pela mesma razão, as somas de Darboux são somas de Riemann. Mais concretamente, para $i = 1, . . ., n,$ temos $m_{i} = f (c_{i})$ e $M_{i} = f (d_{i})$ , com $c_{i}, d_{i} \in [x_{i - 1}, x_{i}]$ , pelo que para a correspondente partição $P = {x_{0}, x_{1}, . . ., x_{n}}$ de $[a, b]$ , vem $S_{f} (P) - s_{f} (P) = \sum_{i = 1}^{n} (f (d_{i}) - f (c_{i})) (x_{i} - x_{i - 1})$ .

Então na condição de Riemann tomemos $ϵ > 0$ arbitrário, na relação acima que define a continuidade uniforme de $f$ em $[a, b]$ , façamos $α = ϵ / (b - a)$ e consideremos o valor $β > 0$ cuja existência nos é garantida. Supondo que a partição $P$ de $[a, b]$ possui diâmetro $| P | < β$ , temos por conseguinte, para cada $i = 1, . . ., n,$ que $0 \leq (f (d_{i}) - f (c_{i})) < ϵ / (b - a)$ donde resulta $S_{f} (P) - s_{f} (P) < ϵ .$ Logo pela condição de Riemann $f$ é integrável em $[a, b] .$

A condição do teorema assume um aspeto meramente técnico. Ela não nos dá qualquer indício das qualidades que a função deva verificar para ser integrável à Riemann.Um quadro qualitativo desta propriedade, aparece pela mão de Henri Lebesgue, na sua tese doutoral ("Intégrale, Longueur, Aire" (Integral, Comprimento, Área) apresentada na Faculdade de Ciências de Paris em 1902, com base no conceito de conjunto de medida de nula.

Referências

Seja $f : [a, b] \mapsto ℝ$

Lema 5

Demonstrações

Predefinição:AutoCat

↑ U. BOTTAZZINI, Il Calcolo Sublime: Storia dell’Analisi Matematica da Euler a Weierstrass, Boringhieri 1981.
↑ C. B. BOYER, The History of the Calculus and its Conceptual Development, Dover 1949.
↑ C. H. EDWARDS, The Historical Development of the Calculus, Springer-Verlag 1979.
↑ Predefinição:Citar livro

[1] U. BOTTAZZINI, Il Calcolo Sublime: Storia dell’Analisi Matematica da Euler a Weierstrass, Boringhieri 1981.

[2] C. B. BOYER, The History of the Calculus and its Conceptual Development, Dover 1949.

[3] C. H. EDWARDS, The Historical Development of the Calculus, Springer-Verlag 1979.

[4] Predefinição:Citar livro

[1]

[2]

[3]

[4]

Análise real/Integral de Riemann

Índice

Propriedades de uma área no $ℝ^{2}$

Partição do domínio [a,b]

Soma inferior e soma superior

Relações entre partição e subpartição

Lema 1 (refinando uma partição)

Demonstração

Teorema 1

Demonstração

Corolário

Demonstração

Integral inferior e integral superior

Lema 2 (soma conservada no refinamento)

Demonstração

Lema 3

Demonstração

Corolário

Demonstração

Teorema 2

Demonstração

Lema 4

Demonstração

Teorema 3

Demonstração

Funções integráveis

Teorema

Exemplo 1 (funções monótonas)

Exemplo 2 (funções contínuas)

Referências

Lema 5

Demonstrações

Menu de navegação

Análise real/Integral de Riemann

Propriedades de uma área no ℝ2

Partição do domínio [a,b]

Soma inferior e soma superior

Relações entre partição e subpartição

Lema 1 (refinando uma partição)

Demonstração

Teorema 1

Demonstração

Corolário

Demonstração

Integral inferior e integral superior

Lema 2 (soma conservada no refinamento)

Demonstração

Lema 3

Demonstração

Corolário

Demonstração

Teorema 2

Demonstração

Lema 4

Demonstração

Teorema 3

Demonstração

Funções integráveis

Teorema

Exemplo 1 (funções monótonas)

Exemplo 2 (funções contínuas)

Referências

Lema 5

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Propriedades de uma área no $ℝ^{2}$