Análise rn/Derivadas parciais e direcionais

Derivadas Parciais

Dados $a, h \in U \subset ℝ^{n}$ temos:

O acréscimo h ao vetor a resulta no vetor a+h.
- Dizer que h é o acréscimo de a siginifica que (a+h) - (a) = h
A imagem de a é f(a) e a imagem de a+h é ϕ(a+h)″
- O acréscimo que h produz na imagem é o acréscimo $ϕ (a + h) - f (a)^{″}$
O segmento de reta de um ponto p ao ponto q é dado por λ(t)=p+tq;t∈(0,1)
- O segmento de reta de um ponto a na direção de um $e_{i}$ é dado por $λ (t) = a + t e_{i}; t \in (0, 1)$

Seja o aberto ( $U \subset ℝ^{n}$ ) tal que $ϕ : U \mapsto ℝ^{n}$ . Dado o ponto $a \in U$ e $i \in I_{n}$ ,

a i-ésima derivada parcial de $ϕ$ no ponto a é o limite: $\frac{\partial ϕ}{\partial x_{i}} (a) = (\lim_{t \to 0} \frac{ϕ (a + t e_{i}) - ϕ (a)}{(a + t e_{i}) - (a)} =) \lim_{t \to 0} \frac{ϕ (a + t e_{i}) - ϕ (a)}{t}$; $(a + t e_{i}) - (a)$ é a distância um ao outro, então temos $| a + t e_{i} | - | a | \leq | a | + | t e_{i} | - | a | = | a | - | a | + | t | | e_{i} | como | e_{i} | = 1 logo | t | = t$ .; Aqui ficou implícito que $| t | = t pois t \in (0, 1)$

Seja o aberto ( $U \subset ℝ^{n}$ ) tal que $ϕ : U \mapsto ℝ^{n}$ . Dado o ponto $a \in U$ e $i \in I_{n}$