Matemática elementar/Conjuntos/Números reais

Potenciação

Conceito

Em matemática, potências são valores que representam uma multiplicação sucessiva de um número, ou seja, representam o mesmo número multiplicado algumas vezes por si mesmo. Uma potência é composta por um número, chamado base, que é multiplicado sucessivamente por si mesmo; e por um índice, chamado expoente, que diz o número de vezes que a base é multiplicada por si mesma. As potências apresentam-se na forma $x^n,$ onde n é o expoente e x é a base.

A potência $4^3,$ por exemplo, indica que a base, o número 4, será multiplicada sucessivamente 3 vezes por si mesma, ou seja $4^3=4\cdot 4\cdot 4=64.$ Se o expoente é 1, então o resultado tem o valor da base ($7^1=7$), enquanto que com um expoente 0, devido a regras de operações feitas diretamente com potências, o resultado é sempre igual a 1 ($16^0$ = 1).

Propriedades da potenciação

Primeira propriedade

Ao multiplicar potências de mesma base, repetimos a base e somamos os expoentes.

$x^a\cdot x^b=x^{a+b}$

Segunda propriedade

Ao dividir potências de mesma base, repetimos a base e subtraímos os expoentes.

$\frac{x^a}{x^b}=x^{a-b}$

Terceira propriedade

Ao elevar uma potência a um outro expoente, repetimos a base e multiplicamos os expoentes.

$(x^a{)}^b=x^{ab}$

Quarta propriedade

Ao elevar um produto ou um quociente a um expoente, elevamos cada um dos fatores a esse expoente ou, no caso do quociente, elevamos o dividendo e também o divisor ao mesmo expoente.

$(xy{)}^a=x^a\cdot y^a$

Equivalência entre bases

É importante perceber que, mesmo com bases diferentes, podemos torná-las iguais para efetuar uma operação. Exemplo:

$2^{-3}\times 4^3$

Podemos substituir 4 por 2²:

$2^{-3}\times (2^2{)}^3=2^{-3}\times 2^6=2^{-3+6}=2^3$

Expoentes negativos

Quando temos um número elevado a n em que n < 0, podemos dizer que:

${\left(\frac{x}{y}\right)}^n=\frac{y^{-n}}{x^{-n}}$

Observe que a fração foi invertida e o sinal negativo do expoente desapareceu. Exemplo:

${\left(\frac{2}{3}\right)}^{-2}=\frac{3^2}{2^2}=\frac{9}{4}$

Tópicos

1. Definição de Potência
2. Operações com potências
   1. Multiplicação
      1. Com a mesma base
      2. Com o mesmo expoente
      3. Com a mesma base e o mesmo expoente
   2. Divisão
      1. Com a mesma base
      2. Com o mesmo expoente
      3. Com a mesma base e o mesmo expoente
3. Equações envolvendo potências
4. Inequações envolvendo potências
5. Gráficos de funções exponenciais

Exercícios

Ver: Matemática elementar/Exponenciais/Exercícios

Radiciação

Exercícios

Ver: Matemática elementar/Números reais/Exercícios

Intervalos reais

Intuitivamente, um intervalo real é um subconjunto dos números reais que não tem nenhum buraco. Ou seja, se I é um intervalo, a e b são elementos deste intervalo com a < b, então todo número entre a e b também pertence ao intervalo.

Os intervalos são classificados de acordo com seus extremos (o extremo superior e o extremo inferior). Cada extremo pode ser ilimitados, limitado e aberto ou limitado e fechado.

Representa-se o intervalo através do seu limite inferior, seguido da vírgula (ou ponto-e-vírgula) e o limite superior.

Costuma-se representar o limite inferior por:

• $]-\mathrm{\infty }$ - ilimitado
• $]a$ - limitado e aberto
• $[a$ - limitado e fechado

Sendo o limite superior representado por:

• $\mathrm{\infty }[$ - ilimitado
• $b[$ - limitado e aberto
• $b]$ - limitado e fechado

Por exemplo:

• $]-\mathrm{\infty },0]$ - é o conjunto dos números reais não-positivos
• $[1,2[$ - é o conjuntos dos números reais x em que x ≥ 1 e x < 2

Exercícios

Ver: Matemática elementar/Números reais/Intervalos reais/Exercícios

Veja também

• Análise real/Os números reais - uma abordagem mais avançada

Wikipédia

• Número real