Matemática elementar/Conjuntos/Números racionais

Números racionais e frações

Fração é um número que exprime uma ou mais partes iguais que divida uma unidade ou um inteiro.

Assim, por exemplo, se tivermos uma pizza inteira e a dividirmos em quatro partes iguais, cada parte representará uma fração da pizza.

Na matemática, um número racional (ou, vulgarmente, fração) é uma razão entre dois inteiros, geralmente escrita na forma $a/b,$ onde $b$ é um número inteiro diferente de Zero.

Exemplos:

$\frac{29}{8}:$ $3(=\frac{3}{1}):$ $-\frac{29}{8}:$ $3\frac{5}{8}:$ $0(=\frac{0}{x})$

A adição e multiplicação de racionais é dada da seguinte forma:

$\begin{array}{ccccc}\frac{a}{b}& +& \frac{c}{d}& =& \frac{ad+bc}{bd}\\ \frac{a}{b}& \cdot & \frac{c}{d}& =& \frac{ac}{bd}\end{array}$

Exemplo:

$\frac{1}{4}$ + $\frac{1}{4}$ = $\frac{1}{2}$

Dois números racionais a/b e c/d são iguais apenas se ad = bc.

O conjunto de todos os números racionais é Q, ou:

$\mathbb{Q}$

Cada número racional pode ser escrito de diversas formas, como, por exemplo, 3/6 = 2/4 = 1/2. A forma mais simples é quando a e b não possuem divisores em comum, e todo racional tem uma forma como esta. A expansão decimal de um racional é finita ou periódica, propriedade que caracteriza os números racionais.

Definições

De modo simples, pode-se dizer que uma fração de um número, representada de modo genérico como $\frac{a}{b},$ designa este número $a$ dividido em $b$ partes iguais. Neste caso, $a$ corresponde ao numerador, enquanto $b$ corresponde ao denominador.

Por exemplo, a fração $\frac{56}{8}$ designa o quociente de $56$ por $8.$ Ela é igual a $7,$ pois $7$ x $8$ = $56.$

Nota: A divisão é a operação inversa da multiplicação.

Os números expressos em frações são chamados de números racionais. O conjunto dos racionais é representado por $\mathbb{Q}.$

$\mathbb{Q}$ = {$x$ / $x$ = $\frac{a}{b},$ com $a\in \mathbb{Z}$ e $b\in \mathbb{Z}$ $\ne 0$}

Decimais

Decimais exatos

$\frac{1}{2}$ = $0,5$

$\frac{1}{5}$ = $0,2$

Decimais periódicos

$\frac{5}{3}$ = $1,66...$ (a)

$\frac{7}{6}$ = $1,166...$ (b)

Os decimais periódicos são denominados dízimas periódicas. As dízimas periódicas podem ser simples como no exemplo (a) ou compostas como no exemplo (b). A fração que originou a dízima periódica é denominada de fração geratriz e a parte que repete na dízima é denominada período.

Geratriz de dízima periódica

Dízima simples

A fração geratriz é obtida usando-se como numerador o período e como denominador um número formado por tantos noves quantos forem os algarismos do período.

$0,6666..\Rightarrow \frac{6}{9}=\frac{2}{3}$

$1,6666...=1+0,6\Rightarrow 1+\frac{6}{9}=\frac{15}{9}=\frac{5}{3}$

Dízima composta

A fração geratriz terá como numerador a parte não-periódica, seguida do período menos a parte não-periódica, e denominador um número formado de tantos noves quanto são os algarismos do período, seguido de tantos zeros quantos são os algarismos da parte não-periódica (ante-período).

$1,166...$ => $1$ + $0,166...$ = $1$ + $\frac{15}{9}$ = $\frac{105}{90}$ = $\frac{7}{6}$

Conversão entre dízima e fração

Seja o número x = 2,333... (dízima). O período da dízima é o número 3 (um só dígito), assim, para colocar o período da dízima antes da vírgula, fazemos 10*x = 23,333.... Agora, podemos eliminar a dízima fazendo a subtração: 10*x - x = 23,333... - 2,333..., ou seja, 9*x = 21 x = $\begin{array}{c}\frac{21}{9}\end{array}$

Outro exemplo mais complexo desta conversão, que ocorre quando a dízima se apresente mais à frente da vírgula: x = 38,07821821821... (dízima). Após a virgula, temos os números "07"´(dois dígitos) que não fazem parte do período e o período "821" (três dígitos).

Primeiro isolamos o período logo após a vírgula:

100*x = 3807,821821821...

Agora repetimos o processo do exemplo anterior:

100.000*x = 3807821,821821821...

Fazemos então a subtração

100.000*x - 100*x = 3807821,821821821... - 3807,821821821..., assim, temos que

99900*x = 3804014 , portanto

x = $\begin{array}{c}\frac{3804014}{99900}\end{array}$, que poderá ainda ser simplificada.

Como decorrência da repetição deste processo de conversão, podemos chegar à seguinte regra prática de conversão de dízimas em frações. Vamos aplicá-la ao número 38,07821821821...

Eis os passos:

1. O período da dízima tem 3 dígitos, que é o número de algarismos nove (999 portanto);

2. Após a vírgula temos 2 dígitos que não fazem parte da dízima, que é o número de zeros (00 portanto);

3. Temos assim o denominador da fração que será 99900;

4. O númerador da fração será a diferença do número formado pelos algarismos até o primeiro período da dízima, no caso 3807821, pelo número formado pelos algarismos que antecedem o início da dízima, no caso 3807. Temos então 3807821 - 3807.

5. A fração será, portanto, $\begin{array}{c}\frac{3807821-3807}{99900}\end{array}$.

Tipos de frações

• própria: o numerador é menor que o denominador. Ex.: $\frac{1}{2}$
• imprópria: o numerador é maior que o denominador. Ex.: $\frac{7}{3}$
• mista: constituída por uma parte inteira e uma fracionária. Ex.: $2\frac{1}{3}$
• aparente: o numerador é múltiplo do denominador. Ex.: $\frac{12}{4}$
• equivalentes: aquelas que mantêm a mesma proporção de outra fração. Ex.: $\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$
• irredutível: o numerador e o denominador são primos entre si, não permitindo simplificação. Ex.: $\frac{9}{22}$
• unitária: o numerador é igual a 1 e o denominador é um inteiro positivo. Ex.: $\frac{1}{3}$
• egípcia: fração que é a soma de frações unitárias, distintas entre si. Ex: $\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{15}=\frac{3}{5}$

• decimal: o denominador é uma potência de 10. Ex.: $\frac{437}{100}$
• composta: fração cujo numerador e denominador são frações: $\frac{\frac{19}{15}}{\frac{5}{6}}$
• contínua: fração constituída a partir de uma sequência de inteiros naturais $(a_0,a_1,a_2,a_3,...,a_k,...)$ da seguinte maneira $a_0+\frac{1}{a_1+\frac{1}{a_2+\frac{1}{a_3+\frac{1}{...}}}}.$ Quando esta fração contínua termina, o seu resultado é um número racional, porém quando esta fração não termina, o resultado pode ser racional ou irracional.

Operações

Multiplicação

Multiplicam-se os numeradores entre si e os denominadores entre si. Ex.:

$\frac{3}{5}\times \frac{2}{7}=\frac{3\times 2}{5\times 7}=\frac{6}{35}$

Para multiplicar uma fração por um número inteiro, considera-se que este é uma fração cujo denominador é igual a 1. Ex.:

$3\times \frac{1}{4}=\frac{3}{1}\times \frac{1}{4}=\frac{3}{4}$

É importante notar que, muitas vezes, a multiplicação dos numeradores e denominadores resulta em frações redutíveis. Esta fração deve ser reduzida a uma fração irredutível:

$\frac{1}{3}\times \frac{9}{2}=\frac{9}{6}=\frac{9^3}{6^2}=\frac{3}{2}$

Costuma ser mais prático simplificar antes de efetuar a multiplicação:

$\frac{1}{3}\times \frac{9}{2}=\frac{1}{3^1}\times \frac{9^3}{2}=\frac{3}{2}$

Divisão

Como visto, a divisão é a operação inversa da multiplicação. É importante ter isso em mente para resolver uma divisão entre frações:

$\frac{3}{5}$ ÷ $\frac{7}{2}$

Primeiramente inverte-se o divisor da segunda fração. Com isto, tem-se a inversão da operação, isto é, passará a haver uma multiplicação:

$\frac{3}{5}\times \frac{2}{7}=\frac{6}{35}$

Que se resolve como mostrado acima.

Adição

Caso os denominadores não sejam iguais é preciso, antes de efetuar a adição, encontrar o menor múltiplo comum (MMC) entre os denominadores:

$\frac{2}{3}+\frac{3}{5}$

Encontrado o MMC, este será dividido por cada um dos denominadores, multiplicando-se o resultado desta divisão pelo respectivo numerador. Como o MMC de 3 e 5 é 15, tem-se que:

$\frac{15}{3}=5$   ∴   $5\times 2=10:$ $\frac{15}{5}=3$   ∴   $3\times 3=9$

Sendo iguais os denominadores, pode-se efetuar a adição entre os numeradores:

$\frac{10+9}{15}$

O denominador comum é mantido:

$\frac{19}{15}$

Subtração

A subtração é feita seguindo-se os mesmos passos da adição.

Exponenciação

É indiferente resolver primeiro a exponenciação ou a divisão:

${\left(\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{1^2}{2^2}=\frac{1}{4}=0,25$

Efetuando-se primeiramente a divisão obtém-se o mesmo resultado:

${\left(\frac{1}{2}\right)}^2=(0,5{)}^2=0,25$

Radiciação

A radiciação de uma fração é feita seguindo-se os mesmos passos da potenciação.

Expoente fracionário

Da mesma forma que na divisão entre frações, a ocorrência de expoente fracionário causa a inversão da operação:

$8^{\frac{2}{3}}={\sqrt[3]{8}}^2=\sqrt[3]{64}=4$

Simplificação de frações

Uma fração pode ser simplificada quando numerador e denominador não são primos entre si. Ex.:

$\frac{8}{4}$

Para tanto basta dividi-los pelo máximo divisor comum (MDC) entre eles, obtendo-se uma fração que, além de manter a proporção da original, é do tipo irredutível:

$\frac{8:4}{4:4}=\frac{2}{1}$

Comparação entre frações

Para estabelecer comparação entre frações, é preciso que elas tenham o mesmo denominador. Isso é obtido através do menor múltiplo comum, como foi visto na adição.

$\frac{2}{5}$   ?   $\frac{3}{7}$

O MMC entre 5 e 7 é 35.

$\frac{35}{5}=7$   ∴   $7\times 2=14:$ $\frac{35}{7}=5$   ∴   $5\times 3=15$

Uma vez igualados os denomidores,pode-se fazer a comparação entre as frações:

$\frac{14}{35}$ < $\frac{15}{35}$ ∴ $\frac{2}{5}$ < $\frac{3}{7}$

A comparação entre frações com denominadores diversos vale-se do fato de que há frações que são equivalentes entre si, pois:

$\frac{14}{35}=\frac{2}{5}$   e   $\frac{15}{35}=\frac{3}{7}$

Conversão entre frações impróprias e mistas

Uma fração do tipo imprópria pode ser convertida para mista e vice-versa.

$\frac{7}{3}$

Para tanto, basta dividir o numerador pelo denominador. O quociente será o numerador da fração mista e o resto será o numerador. Como o quociente da divisão 7 ÷ 3 é igual a 2 e o resto é 1, tem-se que a fração acima, escrita como fração mista, terá a seguinte notação:

$2\frac{1}{3}$

Para fazer o caminho inverso, basta multiplicar o denominador pela parte inteira e somar o resultado ao numerador, mantendo-se o denominador. Como o produto 3 × 2 é igual a 6 e a soma 6 + 1 é igual a 7, obtém-se novamente a notação sob a forma de fração imprópria, como visto acima.

Ver também

Wikilivros

• Matemática elementar/Conjuntos/Números racionais/Exercícios
• Análise real/Números racionais - texto mais avançado

Wikipédia

• Fração
• Números racionais