Topologia/Grupo livre e apresentação de um grupo

Monóide livre gerado por um conjunto

Sejam $V$ um espaço vetorial e $v_{1}, \dots, v_{n}$ uma base de $V$ . Dado qualquer espaço vetorial $W$ e quaisquer elementos $w_{1}, \dots, w_{n} \in W$ , existe uma aplicação linear $φ : V \to W$ tal que $\forall i \in {1, \dots, n}, φ (v_{i}) = w_{i}$ . Poderíamos dizer que isto acontece porque os elementos $v_{1}, \dots, v_{n}$ de uma base não estão "relacionados" uns com os outros (formalmente, são linearmente independentes). De fato, se, por exemplo, tivéssemos a relação $v_{1} = λ v_{2}$ para algum escalar $λ$ (e então $v_{1}, \dots, v_{n}$ já não seriam linearmente independentes), então a aplicação linear $φ$ podia não existir.

Consideremos um problema semelhante com grupos: dado um grupo $G$ gerado por um conjunto $X = {x_{i} : i \in I} \subseteq G$ e dados um qualquer grupo $H$ e um qualquer conjunto $Y = {y_{i} : i \in I} \subseteq H$ , existirá sempre um morfismo de grupos $φ : G \to H$ tal que $\forall i \in I, φ (x_{i}) = y_{i}$ ? A resposta é não. Por exemplo, consideremos o grupo $G = ℤ_{n} = ℤ / n ℤ$ que é gerado pelo conjunto $X = {1}$ , o grupo $Y = ℝ$ (com a operação de adição) e o conjunto $Y = {2}$ . Se existisse um morfismo de grupos $φ : ℤ_{n} \to ℝ$ tal que $φ (1) = y$ , então $2 n = n φ (1) = φ (n 1) = φ (0) = 0$ , o que é impossível. Mas se tivéssemos escolhido $G = ℤ$ , então tal morfismo de grupos existiria e seria dado por $φ (t) = 2 t$ . De fato, dado qualquer grupo $H$ e qualquer $y \in H$ , temos um morfismo de grupos $φ : ℤ \to H$ definido por $φ (t) = y^{t}$ (em notação multiplicativa) que verifica $φ (1) = y$ . De certo modo, podemos pensar que isto acontece porque os elementos do conjunto $X = {1} \subseteq ℤ$ (que gera $ℤ$ ) não verificam relações como $n x = 1$ (como $ℤ_{n}$ ) ou $x y = y x$ . Portanto, parece que $ℤ$ é um grupo mais "livre" do que $ℤ_{n}$ .

O nosso objetivo nesta seção vai ser, dado um conjunto $X$ , construir um grupo gerado pelo conjunto $X$ e que seja o mais "livre" possível, no sentido de não ter de obedecer a relações como $x^{n} = 1$ ou $x y = y x$ . Para isso, vamos começar por definir um monóide "livre" (no mesmo sentido). Informalmente, este monóide vai ser o monóide das palavras escritas com letras do "alfabeto" $X$ , onde a identidade vai ser a palavra sem letras (a "palavra vazia"), e a operação binária do monóide vai ser "juntar" duas palavras para forma uma nova palavra. A notação $x_{1} \dots x_{n}$ que vamos usar para os elementos deste monóide vai ao encontro da ideia de que os elementos deste monóide são palavras $x_{1} \dots x_{n}$ onde $x_{1}, \dots, x_{n}$ são letras do alfabeto $X$ . Segue-se a definição formal deste monóide.

Definição Seja $X$ um conjunto.

Denotamos os $n$ -uplos $(x_{1}, \dots, x_{n})$ (com $x_{1}, \dots, x_{n} \in X$ e $n \in ℕ \cup {0}$ ) por $x_{1} \dots x_{n}$ .
Denotamos $()$ , isto é, $(x_{1}, \dots, x_{n})$ com $n = 0$ , por $1$ .
Denotamos por $F M (X)$ o conjunto ${x_{1} \dots x_{n} : n \in ℕ \cup {0} \land x_{1}, \dots, x_{n} \in X}$ .
Definimos em $F M (X)$ a operação de concatenação $*$ por $x_{1} \dots x_{m} * y_{1} \dots y_{n} = x_{1} \dots x_{m} y_{1} \dots y_{n}$ .

De seguida provamos que este monóide é efetivamente um monóide. Trata-se de um resultado de demonstração simples.

Proposição $(F M (X), *)$ é um monóide com elemento neutro $1$ .

Demonstração A operação $*$ é associativa porque, dados $x_{1} \dots, x_{m}, y_{1} \dots, y_{n}, z_{1} \dots z_{p} \in F M (X)$ quaisquer temos

$(x_{1} \dots x_{m} * y_{1} \dots y_{n}) * z_{1} \dots z_{m} = x_{1} \dots x_{m} y_{1} \dots y_{n} * z_{1} \dots z_{m} =$ $x_{1} \dots x_{m} y_{1} \dots y_{n} z_{1} \dots z_{m} = x_{1} \dots x_{m} * (y_{1} \dots y_{n} z_{1} \dots z_{m}) = x_{1} \dots x_{m} (y_{1} \dots y_{n} * z_{1} \dots z_{m})$ .

É óbvio que $(F M (X), *)$ tem elemento neutro $1$ . $◻$

Seguindo a ideia de que o monóide $(F M (X), *)$ é o monóide mais "livre" gerado por $X$ , vamos chamar-lhe monóide livre gerado por $X$ .

Definição Seja $X$ um conjunto. Ao monóide (FM(X),*) chamamos monóide livre gerado por $X$ .

Exemplos

Seja $X = {x}$ . Então $F M (X) = {1, x, x x, x x x, \dots}$ e, por exemplo, $x x * x x x = x x x x x$ .
Seja $X = {x, y, z}$ . Então $1, x, y, z, x x x, y x z, x y z z z \in F M (X)$ e, por exemplo, $x x x * y x z = x x x y x z$ .

Grupo livre gerado por um conjunto

Passemos agora à construção do grupo mais "livre" gerado por um conjunto $X$ . Informalmente, o que vamos fazer é introduzir no monóide $F M (X)$ os elementos inversos que lhe faltam para ser um grupo. Concretizando um pouco mais, vamos tomar um conjunto $\bar{X}$ equipotente a $X$ , escolher uma bijecção de $X$ em $\bar{X}$ e deste modo ficar com uma "associação" entre os elementos de $X$ e os elementos de $\bar{X}$ . Então encaramos o elemento $x_{1} \dots x_{n} \in F M (X)$ (com $x_{1}, \dots, x_{n} \in X$ ) como tendo o elemento $\overline{x_{n}} \dots \overline{x_{1}}$ (com $\overline{x_{1}}, \dots, \overline{x_{n}} \in X$ ) como inverso, onde os $x_{1}, \dots, x_{n} \in X$ estão associados a $\overline{x_{1}} \dots \overline{x_{n}}$ , respectivamente. Notemos que a ordem dos elementos em $\overline{x_{n}} \dots \overline{x_{1}}$ está "invertida" porque o inverso do produto $x_{1} \dots x_{n} = x_{1} * \dots * x_{n}$ tem de ser $x_{n}^{- 1} * \dots * x_{1}^{- 1}$ , e os $x_{1}^{- 1}, \dots, x_{n}^{- 1}$ serão, respectivamente, os $\overline{x_{1}}, \dots, \overline{x_{n}}$ . A forma de fazemos com que $\overline{x_{n}} \dots \overline{x_{1}}$ seja o inverso de $x_{1} \dots x_{n}$ é tomar uma relação de congruência $R$ que identifica $x_{1} \dots x_{n} \overline{x_{n}} \dots \overline{x_{1}}$ com $1$ , e passar $F M (X \cup \bar{X})$ ao quociente por esta relação (definindo depois nesse quociente, de forma natural, a operação binária do grupo, $[u]_{R} ⋆ [v]_{R} = [u * v]_{R}$ ). Ao passarmos ao quociente, estamos a formalizar a ideia intuitiva de identificar $x_{1} \dots x_{n} \overline{x_{n}} \dots \overline{x_{1}}$ com $1$ , pois no quociente temos a igualdade $[x_{1} \dots x_{n} \overline{x_{n}} \dots \overline{x_{1}}]_{R} = [1]_{R}$ . Passemos então à definição formal.

Definição Seja $X$ um conjunto. Tomemos um outro conjunto $\overline{X}$ equipotente a $X$ e disjunto de $X$ e seja $f : X \to \overline{X}$ uma aplicação bijectiva.

Para cada $x \in X$ denotemos $f (x)$ por $\bar{x}$ , para cada $x \in \overline{X}$ denotemos $f^{- 1} (x)$ por $\bar{x}$ e para cada $x_{1} \dots x_{n} \in F M (X \cup \overline{X})$ denotemos $\overline{x_{n}} \dots \overline{x_{1}}$ por $\overline{x_{1} \dots x_{n}}$ .
Seja $R$ a relação de congruência em $F M (X \cup \overline{X})$ gera por $G = {(u * \bar{u}, 1) : u \in X \cup \overline{X}}$ , isto é, $R$ é a interseção de todas as relações de congruência em $F M (X \cup \overline{X})$ que contêm $G$ . Denotamos o conjunto quociente $F M (X \cup \overline{X}) / R$ por $F G (X)$ .

Frequentemente, por abuso de notação, denotamos um elemento $[u]_{R} \in F G (X)$ simplesmente por $u$ .

Uma vez que a operação $[u]_{R} ⋆ [v]_{R} = [u * v]_{R}$ que queremos definir em $F M (X \cup \bar{X}) / R$ está definida à custa de representantes particulares $u$ e $v$ das classes de equivalência $[u]_{R}$ e $[v]_{R}$ , um primeiro cuidado a ter é verificar que a definição não depende dos representantes escolhidos. Trata-se de uma verificação simples.

Lema Seja $X$ um conjunto. Fica bem definida em $F G (X)$ a operação binária $⋆$ por $[u]_{R} ⋆ [v]_{R} = [u_{r} * v_{r}]_{R}$ (onde $R$ é a relação de congruência de definição anterior).

Demonstração Sejam $u, u^{'}, v, v^{'} \in F M (X)$ quaisquer tais que $[u]_{R} = [u^{'}]_{R}$ e $[v]_{R} = [v^{'}]_{R}$ , isto é, $u R u^{'}$ e $v R v^{'}$ . Por $R$ se relação de congruência em $F M (X \cup \bar{X})$ , temos $u * v R u^{'} * v^{'}$ , isto é, $[u * v]_{R} = [u^{'} * v^{'}]_{R}$ . $◻$

Visto então que a definição é legítima, apresentamo-la.

Definição Seja $X$ um conjunto. Definimos em $F G (X)$ a operação binária $⋆$ por $[u]_{R} ⋆ [v]_{R} = [u_{r} * v_{r}]_{R}$ .

Finalmente, verificamos que o grupo que construímos é efetivamente um grupo.

Proposição Seja $X$ um conjunto. $(F G (X), ⋆)$ é um grupo com elemento neutro $[1]_{R}$ e onde $\forall [u]_{R} \in F G (X), {[u]_{R}}^{- 1} = [\bar{u}]_{R}$ .

Demonstração

$(F G (X), ⋆)$ é associativo porque $\forall [u]_{R}, [v]_{R}, [w]_{R} \in F G (X), ([u]_{R} ⋆ [v]_{R}) ⋆ [w]_{R} = ([u * v]_{R}) ⋆ [w]_{R} = [(u * v) * w]_{R} =$ $[u * (v * w)]_{R} = [u]_{R} ⋆ [v * w]_{R} = [u]_{R} ⋆ ([v]_{R} ⋆ [w]_{R}) .$
Vejamos que $[1]_{R}$ é elemento neutro de $(F G (X), ⋆)$ . Seja $[u]_{R} \in F G (X)$ qualquer. Temos $[u]_{R} ⋆ [1]_{R} = [u * 1]_{R} = [u]_{R}$ e, analogamente, $[1]_{R} ⋆ [u]_{R} = [u]_{R}$ .
Seja $[u]_{R} \in F G (X)$ qualquer e vejamos que $[u]_{R} ⋆ [\bar{u}]_{R} = [1]_{R}$ . Temos $[u]_{R} ⋆ [\bar{u}]_{R} = [u * \bar{u}]_{R}$ e, por definição de $R$ , $u * \bar{u} R 1$ , isto é, $[u * \bar{u}]_{R} = [1]_{R}$ , logo $[u]_{R} ⋆ [\bar{u}]_{R} = [1]_{R}$ e, analogamente, $[\bar{u}]_{R} ⋆ [u]_{R} = [1]_{R}$ . $◻$

Analogamente ao que fizemos com o monóide livre, ao grupo mais "livre" gerado pelo conjunto $X$ vamos chamar grupo livre gerado por $X$ .

Definição Seja $X$ um conjunto. Ao grupo $(F G (X), ⋆)$ chamamos grupo livre gerado por $X$ .

Exemplo Seja $X = {x}$ . Escolhamos um qualquer conjunto $\bar{X} = {y}$ disjunto (e equipotente) de $X$ . Seja $f : X \to \bar{X}$ uma (na verdade, a única) aplicação bijectiva de $X$ em $\bar{X}$ . Então denotamos $f (x) = y$ por $\bar{x}$ e denotamos $f^{- 1} (y) = x$ por $\bar{y}$ . Passamos a encarar $x$ e $y$ como elementos inversos. Seja $R$ a relação de congruência de $F M (X \cup \bar{X})$ gerada por $G = {(1, 1), (x \bar{x}, 1), (x x \bar{x} \bar{x}, 1), \dots}$ . $F G (X) = F M ({x, \bar{x}})$ é o conjunto das "palavras" escritas no alfabeto ${[x]_{R}, [\bar{x}]_{R}}$ . Por exemplo, $[1]_{R}, [x]_{R}, [\bar{x}]_{R}, [x x \bar{x} x x]_{R} \in F G (X)$ .

Temos $G \subseteq R$ e, por exemplo, $(x x \bar{x}, 1) \in R$ , pois de $(x \bar{x}, 1) \in G \subseteq R$ (logo $x \bar{x} R 1$ ) e de $R$ ser relação de congruência, vem que podemos "multiplicar" ambos os "membros" da relação $x \bar{x} R 1$ e obter $x x \bar{x} R x$ . Encaramos $x \bar{x} R 1$ como significando que em $F G (X)$ temos $x x \bar{x} = x$ (em rigor, $[x x \bar{x}]_{R} = [1]_{R}$ ), e pensamos nesta igualdade como sendo resultado de um $x$ "anular-se" com $\bar{x}$ em $x x \bar{x}$ .

Dado $u \in F M (X \cup \bar{X})$ , denotemos o número exato de vezes que a "letra" $x$ ocorre em $u$ por $| u |_{x}$ e denotemos o número exato de vezes que a "letra" $\bar{x}$ ocorre em $u$ por $| u |_{\bar{x}}$ . Então "cortando" $x$ 's com $\bar{x}$ 's ficamos com uma palavra reduzida com $| u |_{x} - | u |_{\bar{x}}$ vezes a letra $x$ (se $| u |_{x} - | u |_{\bar{x}} < 0$ , entendamos que não há letras $x$ e fica $- (| u |_{x} - | u |_{\bar{x}})$ vezes a letra $\bar{x}$ ). Denotemos este número $| u |_{x} - | u |_{\bar{x}}$ por $| u |_{x - \bar{x}}$ . Temos

$[u]_{R} = [v]_{R}$ se e só se $| u |_{x - \bar{x}} = | v |_{x - \bar{x}}$ e
$\forall [u]_{R}, [v]_{R} \in F G (X), | u v |_{x - \bar{x}} = | u |_{x - \bar{x}} + | v |_{x - \bar{x}}$ .

Assim, cada elemento $[u]_{R} \in F G (X)$ fica determinado pelo número inteiro $| u |_{x - \bar{x}}$ e o produto $⋆$ de dois elementos $[u]_{R}, [v]_{R} \in F G (X)$ corresponde à soma dos seus inteiros associados $| u |_{x - \bar{x}}$ e $| v |_{x - \bar{x}}$ . Assim, parece que o grupo $(F G (X), ⋆)$ é "semelhante" a $(ℤ, +)$ . Com efeito $(F G (X), ⋆)$ é isomorfo a $(ℤ, +)$ e a aplicação $| \cdot |_{x - \bar{x}} : F G (X) \to ℤ$ é um isomorfismo de grupos.

Apresentação de um grupo

Informalmente, parece que $ℤ_{n}$ é obtido do grupo "livre" $ℤ$ impondo a relação $n x = 1$ . Vamos tentar formalizar esta ideia. Partimos de um conjunto $X$ que gera um grupo $G$ que queremos criar e de um conjunto de relações $R$ (tais como $x^{n} = 1$ ou $x y = y z$ ) que os elementos de $G$ devem verificar e obtemos o grupo $G / R$ gerado por $G$ e que verifica as relações $R$ . Mais precisamente, escrevemos cada relação $u = v$ na forma $u v^{- 1} = 1$ (por exemplo, $x y = y x$ escreve-se na forma $x y x^{- 1} y^{- 1} = 1$ ) e encaramos $u v^{- 1}$ como uma "palavra" de $F G (X)$ . Como $R$ não tem necessariamente de ser um subgrupo normal de $G$ , não podemos considerar o quociente $F G (X) / R$ , pelo que consideramos o quociente $F G (X) / R$ onde $N$ é o subgrupo normal de $F G (X)$ gerado por $R$ . Em $G / N$ , vamos ter $u v^{- 1} N = 1 N$ , o que encaramos como significando que em $G / N$ os elementos $u v^{- 1}$ e $1$ são o mesmo. Assim, $F G (X) / N$ vai verificar todas as relações que queremos e vai ser gerado por $X$ (mais precisamente, por ${x N : x \in X}$ ). Formalizamos de seguida esta ideia.

Definição Seja $G$ um grupo. Chamamos apresentação de $G$ , e denotamos por $< X : R >$ , a um par ordenado $(X, R)$ onde $X$ é um conjunto, $R \subseteq F G (X)$ e $G ≃ F G (X) / N$ , onde $N$ é o subgrupo normal de $F G (X)$ gerado por $R$ . Numa apresentação $< X : R >$ , a $X$ chamamos conjunto gerador e a $R$ chamamos conjunto das relações.

Vejamos exemplos de apresentações do grupo livre $F G (X)$ e dos grupos $ℤ_{n}$ , $ℤ \oplus ℤ$ , $ℤ_{m} \oplus ℤ_{n}$ e $S_{3}$ . Aproveitamos também os exemplos para expor alguma notação usual e mostrar que a apresentação de um grupo não tem de ser única.

Exemplos

Seja $X$ um conjunto. $< X : \emptyset >$ é uma apresentação de $F G (X)$ porque $F G (X) ≃ F G (X) / {1}$ , onde ${1}$ é o subgrupo normal de $F G (X)$ gerado por $\emptyset$ . Em particular, $< {x} : \emptyset >$ é uma apresentação de $(ℤ, +) ≃ F G ({x})$ , mais usualmente denotada por $< x : \emptyset >$ . Outra apresentação de $(ℤ, +)$ é $< {x, y} : {x y^{- 1}} >$ , mais usualmente denotada por $< x, y : x y^{- 1} >$ . Informalmente, na apresentação $< x, y : x y^{- 1} >$ introduzimos um novo elemento $y$ no conjunto gerador, mas depois impomos a relação $x y^{- 1} = 1$ , isto é, $x = y$ , o que na prática é o mesmo que nem ter introduzido $y$ e ter ficado pela apresentação $< x : \emptyset >$ .
Seja $X = {x}$ . $< X : {x^{n}} >$ (onde $x^{n} = x ⋆ \dots ⋆ x \in F G (X)$ $n$ vezes) é uma apresentação de $ℤ_{n}$ . Com efeito, o subgrupo de $F G (X)$ gerado por ${x^{n}}$ é $N = {\dots, {\bar{x}}^{2 n}, {\bar{x}}^{n}, 1, x^{n}, x^{2 n}, \dots} ≃ n ℤ$ e $F G (X) ≃ ℤ$ , logo $ℤ_{n} = ℤ / n ℤ ≃ F G (X) / N$ . É mais usual denotar $< {x} : {x^{n}} >$ por $< x : x^{n} >$ .
Sejam $X = {x, y}$ (com $x$ e $y$ distintos) e $R = {x y x^{- 1} y^{- 1}}$ . $< X : R >$ é uma apresentação de $ℤ \oplus ℤ$ . Informalmente, o que fazemos é impor em $F G (X)$ que haja comutatividade, isto é, $x y = y x$ , ou seja, $x y x^{- 1} y^{- 1} = 1$ , obtendo um grupo isomorfo a $ℤ \oplus ℤ$ . É mais usual denotar $< {x, y} : {x y x^{- 1} y^{- 1}} >$ por $< x, y : x y x^{- 1} y^{- 1} >$ .
Sejam $X = {x, y}$ e $R = {x y x^{- 1} y^{- 1}, x^{m}, y^{n}}$ . $< X, R >$ é uma apresentação de $ℤ_{m} \times ℤ_{n}$ . Informalmente, o que fazemos é impor a comutatividade da mesma forma que no exemplo anterior, e impomos ainda $x^{m} = 1$ e $x^{n} = 1$ para obtermos $ℤ_{m} \times ℤ_{n}$ em vez de $ℤ \oplus ℤ$ . É mais usual denotar $< {x, y} : {x y x^{- 1} y^{- 1}, x^{m}, y^{n}} >$ por $< x, y : x y x^{- 1} y^{- 1}, x^{m}, y^{n} >$ .
$< {a, b, c} : {a a, b b, c c, a b a c, c b a b} >$ , mais usualmente escrito $< a, b, c : a^{2}, b^{2}, c^{2}, a b a c, c b a b >$ , é uma apresentação de $S_{3}$ , o grupo das permutações de ${1, 2, 3}$ com a composição de aplicações. Para verificar isto, podemos verificar que qualquer grupo com apresentação $< a, b, c : a^{2}, b^{2}, c^{2}, a b a c, c b a b >$ tem exatamente seis elementos $i d$ , $a$ , $b$ , $c$ , $a$ , $a b$ e $a c$ , e que a multiplicação destes elementos resulta na seguinte tabela de Cayley que é igual à tabela de Cayley de $S_{3}$ . Apenas para dar uma ideia de como o podemos fazer, um grupo com apresentação $< a, b, c : a^{2}, b^{2}, c^{2}, a b a c, c b a b >$ tem exatamente os elementos $i d$ , $a$ , $b$ , $c$ , $a$ , $a b$ e $a c$ porque nenhuns destes elementos são iguais (as relações $a^{2} = b^{2} = c^{2} = a b a c = c b a b = 1$ não permitem concluir que dois destes elementos são iguais) e porque "outros" elementos como $b c$ são na realidade alguns dos elementos anteriores (por exemplo, de $c b a b = i d$ temos $c b = a b$ , e tomando inversos de ambos os membros, temos $b^{- 1} c^{- 1} = b^{- 1} a^{- 1}$ , que, usando $a^{2} = b^{2} = c^{2} = i d$ , isto é, $a = a^{- 1}$ , $b = b^{- 1}$ e $c = c^{- 1}$ , resulta em $b c = b a$ ). Então, usando as relações da apresentação, podemos calcular a tabela de Cayley. Por exemplo, $a (a b) = b$ porque temos a relação $a^{2} = 1$ . Outro exemplo: temos $b (a c) = a$ porque podemos multiplicar ambos os membros da relação $a b a c = i d$ por $a$ e então usar $a^{2} = i d$ . Podíamos ter suspeitado desta representação tomando $a = (1 2)$ , $b = (1 3)$ e $c = (2 3)$ e depois, tentando construir a tabela de Cayley de $S_{3}$ , descoberto que tal era possível se soubéssemos que $a^{2} = b^{2} = c^{2} = a b a c = c b a b = 1$ .

$\times$	$i d$	$a$	$b$	$c$	$a b$	$a c$
$i d$	$i d$	$a$	$b$	$c$	$a b$	$a c$
$a$	$a$	$i d$	$a b$	$a c$	$b$	$c$
$b$	$b$	$a c$	$i d$	$a b$	$c$	$a$
$c$	$c$	$a b$	$a c$	$i d$	$a$	$b$
$a b$	$a b$	$c$	$a$	$b$	$a c$	$i d$
$a c$	$a c$	$b$	$c$	$a$	$i d$	$a b$

É natural perguntar se todo o grupo tem uma apresentação. O teorema seguinte diz-nos que sim, e dá-nos até uma apresentação.

Teorema Sejam $(G, \times)$ um grupo.

A aplicação $φ : F G (G) \to G$ definida por $φ ([x_{1}]_{R} ⋆ \dots ⋆ [x_{n}]_{R}) = x_{1} \times \dots \times x_{n}$ (onde $x_{1}, \dots, x_{n} \in G$ ) é um epimorfismo de grupos.
$< G : ker φ >$ é uma apresentação de $(G, \times)$ .

Demonstração

$φ$ está bem definida porque todo o elemento de $F G (X)$ tem uma representação única na forma $[x_{n}] ⋆ \dots [x_{n}]_{R}$ com $x_{1}, \dots, x_{n} \in G$ , a menos de $[1]_{R}$ surgir várias vezes na representação, o que não afeta o valor de $x_{1} \times \dots \times x_{n}$ . Sejam $[x_{1}]_{R} ⋆ \dots ⋆ [x_{m}]_{R}, [y_{1}]_{R} ⋆ \dots ⋆ [y_{n}]_{R} \in F G (X)$ quaisquer, onde $x_{1}, \dots, x_{m}, y_{1}, \dots, y_{n} \in G$ . Temos $φ (([x_{1}]_{R} ⋆ \dots ⋆ [x_{m}]_{R}) ⋆ ([y_{1}] ⋆ \dots ⋆ [y_{n}]_{R})) = (x_{1} \times \dots \times x_{m}) \times (y_{1} \times \dots \times y_{n}) =$ $φ ([x_{1}]_{R} ⋆ \dots ⋆ [x_{m}]_{R}) \times φ ([y_{1}]_{R} ⋆ \dots ⋆ [y_{n}]_{R})$ , logo $φ$ é morfismo de grupos. Como $\forall x \in G, φ ([x]_{R}) = x$ , então $G$ é epimorfismo de grupos.
Pelo primeiro teorema do isomorfismo (para grupos), temos $F G (G) / ker φ ≃ φ (G) = G$ , logo $< G : ker φ >$ é uma apresentação de $(G, \times)$ . $◻$

O teorema anterior, embora dê uma apresentação do grupo $G$ , não nos dá uma "boa" apresentação, pois o conjunto gerador $G$ é usualmente bastante maior do que outros conjuntos geradores, e o conjunto das relações $k e r φ$ é também usualmente bastante maior do que outros conjuntos de relações suficientes (é até um subgrupo normal de $F G (G)$ , quando bastava que gerasse um subgrupo normal apropriado). Predefinição:AutoCat

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