Mostrar código-fonte de Topologia/Grupo livre e apresentação de um grupo

==Monóide livre gerado por um conjunto==

Sejam <math>V</math> um espaço vetorial e <math>v_1,\ldots,v_n</math> uma base de <math>V</math>. Dado qualquer espaço vetorial <math>W</math> e quaisquer elementos <math>w_1,\ldots,w_n \in W</math>, existe uma aplicação linear <math>\varphi : V \rightarrow W</math> tal que <math>\forall i \in \{1,\ldots,n\}, \, \varphi(v_i) = w_i</math>. Poderíamos dizer que isto acontece porque os elementos <math>v_1,\ldots,v_n</math> de uma base não estão "relacionados" uns com os outros (formalmente, são linearmente independentes). De fato, se, por exemplo, tivéssemos a relação <math>v_1 = \lambda v_2</math> para algum escalar <math>\lambda</math> (e então <math>v_1,\ldots,v_n</math> já não seriam linearmente independentes), então a aplicação linear <math>\varphi</math> podia não existir.

Consideremos um problema semelhante com grupos: dado um grupo <math>G</math> gerado por um conjunto <math>X = \{x_i : i \in I\} \subseteq G</math> e dados um qualquer grupo <math>H</math> e um qualquer conjunto <math>Y = \{y_i : i \in I\} \subseteq H</math>, existirá sempre um morfismo de grupos <math>\varphi : G \rightarrow H</math> tal que <math>\forall i \in I, \, \varphi(x_i) = y_i</math>? A resposta é não. Por exemplo, consideremos o grupo <math>G = \mathbb{Z}_n = \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}</math> que é gerado pelo conjunto <math>X = \{1\}</math>, o grupo <math>Y = \mathbb{R}</math> (com a operação de adição) e o conjunto <math>Y = \{2\}</math>. Se existisse um morfismo de grupos <math>\varphi : \mathbb{Z}_n \rightarrow \mathbb{R}</math> tal que <math>\varphi(1) = y</math>, então <math>2n = n \varphi(1) = \varphi(n \, 1) = \varphi(0) = 0</math>, o que é impossível. Mas se tivéssemos escolhido <math>G = \mathbb{Z}</math>, então tal morfismo de grupos existiria e seria dado por <math>\varphi(t) = 2t</math>. De fato, dado qualquer grupo <math>H</math> e qualquer <math>y \in H</math>, temos um morfismo de grupos <math>\varphi : \mathbb{Z} \rightarrow H</math> definido por <math>\varphi(t) = y^t</math> (em notação multiplicativa) que verifica <math>\varphi(1) = y</math>. De certo modo, podemos pensar que isto acontece porque  os elementos do conjunto <math>X = \{1\} \subseteq \mathbb{Z}</math> (que gera <math>\mathbb{Z}</math>) não verificam relações como <math>nx = 1</math> (como <math>\mathbb{Z}_n</math>) ou <math>xy = yx</math>. Portanto, parece que <math>\mathbb{Z}</math> é um grupo mais "livre" do que <math>\mathbb{Z}_n</math>.


O nosso objetivo nesta seção vai ser, dado um conjunto <math>X</math>, construir um grupo gerado pelo conjunto <math>X</math> e que seja o mais "livre" possível, no sentido de não ter de obedecer a relações como <math>x^n = 1</math> ou <math>xy = yx</math>. Para isso, vamos começar por definir um monóide "livre" (no mesmo sentido). Informalmente, este monóide vai ser o monóide das palavras escritas com letras do "alfabeto" <math>X</math>, onde a identidade vai ser a palavra sem letras (a "palavra vazia"), e a operação binária do monóide vai ser "juntar" duas palavras para forma uma nova palavra. A notação <math>x_1 \ldots x_n</math> que vamos usar para os elementos deste monóide vai ao encontro da ideia de que os elementos deste monóide são palavras <math>x_1 \ldots x_n</math> onde <math>x_1,\ldots,x_n</math> são letras do alfabeto <math>X</math>. Segue-se a definição formal deste monóide.


'''Definição'''  ''Seja <math>X</math> um conjunto.''
# ''Denotamos os <math>n</math>-uplos <math>(x_1,\ldots,x_n)</math> (com <math>x_1,\ldots,x_n \in X</math> e <math>n \in \mathbb{N} \cup \{0\}</math>) por <math>x_1 \ldots x_n</math>.''
# ''Denotamos <math>()</math>, isto é, <math>(x_1,\ldots,x_n)</math> com <math>n = 0</math>, por <math>1</math>.''
# ''Denotamos por <math>FM(X)</math> o conjunto <math>\{x_1 \ldots x_n : n \in \mathbb{N} \cup \{0\} \, \wedge \, x_1,\ldots,x_n \in X \}</math>.''
# ''Definimos em <math>FM(X)</math> a operação de concatenação <math>*</math> por <math>x_1 \ldots x_m * y_1 \ldots y_n = x_1 \ldots x_m y_1 \ldots y_n</math>.''


De seguida provamos que este monóide é efetivamente um monóide. Trata-se de um resultado de demonstração simples.


'''Proposição''' ''<math>(FM(X),*)</math> é um monóide com elemento neutro <math>1</math>.''

'''Demonstração''' A operação <math>*</math> é associativa porque, dados <math>x_1 \ldots,x_m,y_1 \ldots,y_n,z_1 \ldots z_p \in FM(X)</math> quaisquer temos

<math>(x_1 \ldots x_m * y_1 \ldots y_n) * z_1 \ldots z_m = x_1 \ldots x_m y_1 \ldots y_n * z_1 \ldots z_m = </math>
<math>x_1 \ldots x_m y_1 \ldots y_n z_1 \ldots z_m = x_1 \ldots x_m * (y_1 \ldots y_n z_1 \ldots z_m) = x_1 \ldots x_m ( y_1 \ldots y_n * z_1 \ldots z_m)</math>.

É óbvio que <math>(FM(X),*)</math> tem elemento neutro <math>1</math>. <math>\square</math>


Seguindo a ideia de que o monóide <math>(FM(X),*)</math> é o monóide mais "livre" gerado por <math>X</math>, vamos chamar-lhe monóide livre gerado por <math>X</math>.


'''Definição''' ''Seja <math>X</math> um conjunto. Ao monóide (FM(X),*) chamamos monóide livre gerado por <math>X</math>.''


'''Exemplos'''
# Seja <math>X = \{x\}</math>. Então <math>FM(X) = \{1,x,xx,xxx,\ldots\}</math> e, por exemplo, <math>xx * xxx = xxxxx</math>.
# Seja <math>X = \{x,y,z\}</math>. Então <math>1,x,y,z,xxx,yxz,xyzzz \in FM(X)</math> e, por exemplo, <math>xxx * yxz = xxxyxz</math>.


==Grupo livre gerado por um conjunto==

Passemos agora à construção do grupo mais "livre" gerado por um conjunto <math>X</math>. Informalmente, o que vamos fazer é introduzir no monóide <math>FM(X)</math> os elementos inversos que lhe faltam para ser um grupo. Concretizando um pouco mais, vamos tomar um conjunto <math>\bar X</math> equipotente a <math>X</math>, escolher uma bijecção de <math>X</math> em <math>\bar X</math> e deste modo ficar com uma "associação" entre os elementos de <math>X</math> e os elementos de <math>\bar X</math>. Então encaramos o elemento <math>x_1 \ldots x_n \in FM(X)</math> (com <math>x_1,\ldots,x_n \in X</math>) como tendo o elemento <math>\overline{x_n} \ldots \overline{x_1}</math> (com <math>\overline{x_1},\ldots,\overline{x_n} \in X</math>) como inverso, onde os <math>x_1,\ldots,x_n \in X</math> estão associados a <math>\overline{x_1} \ldots \overline{x_n}</math>, respectivamente. Notemos que a ordem dos elementos em <math>\overline{x_n} \ldots \overline{x_1}</math> está "invertida" porque o inverso do produto <math>x_1 \ldots x_n = x_1 * \cdots * x_n</math> tem de ser <math>x_n^{-1} * \cdots * x_1^{-1}</math>, e os <math>x_1^{-1},\ldots,x_n^{-1}</math> serão, respectivamente, os <math>\overline{x_1},\ldots,\overline{x_n}</math>. A forma de fazemos com que <math>\overline{x_n} \ldots \overline{x_1}</math> seja o inverso de <math>x_1 \ldots x_n</math> é tomar uma relação de congruência <math>R</math> que identifica <math>x_1 \ldots x_n \overline{x_n} \ldots \overline{x_1}</math> com <math>1</math>, e passar <math>FM(X \cup \bar X)</math> ao quociente por esta relação (definindo depois nesse quociente, de forma natural, a operação binária do grupo, <math>[u]_R \star [v]_R = [u * v]_R</math>). Ao passarmos ao quociente, estamos a formalizar a ideia intuitiva de identificar <math>x_1 \ldots x_n \overline{x_n} \ldots \overline{x_1}</math> com <math>1</math>, pois no quociente temos a igualdade <math>[x_1 \ldots x_n \overline{x_n} \ldots \overline{x_1}]_R = [1]_R</math>. Passemos então à definição formal.


'''Definição''' ''Seja <math>X</math> um conjunto. Tomemos um outro conjunto <math>\overline{X}</math> equipotente a <math>X</math> e disjunto de <math>X</math> e seja <math>f : X \rightarrow \overline{X}</math> uma aplicação bijectiva.''
# ''Para cada <math>x \in X</math> denotemos <math>f(x)</math> por <math>\bar x</math>, para cada <math>x \in \overline{X}</math> denotemos <math>f^{-1}(x)</math> por <math>\bar x</math> e para cada <math>x_1 \ldots x_n \in FM(X \cup \overline{X})</math> denotemos <math>\overline{x_n} \ldots \overline{x_1}</math> por <math>\overline{x_1 \ldots x_n}</math>.''
# ''Seja <math>R</math> a relação de congruência em <math>FM(X \cup \overline{X})</math> gera por <math>G = \{(u * \bar u,1) : u \in X \cup \overline{X}\}</math>, isto é, <math>R</math> é a interseção de todas as relações de congruência em <math>FM(X \cup \overline{X})</math> que contêm <math>G</math>. Denotamos o conjunto quociente <math>FM(X \cup \overline{X})/R</math> por <math>FG(X)</math>.''


Frequentemente, por abuso de notação, denotamos um elemento <math>[u]_R \in FG(X)</math> simplesmente por <math>u</math>.

Uma vez que a operação <math>[u]_R \star [v]_R = [u * v]_R</math> que queremos definir em <math>FM(X \cup \bar X)/R</math> está definida à custa de representantes particulares <math>u</math> e <math>v</math> das classes de equivalência <math>[u]_R</math> e <math>[v]_R</math>, um primeiro cuidado a ter é verificar que a definição não depende dos representantes escolhidos. Trata-se de uma verificação simples.


'''Lema''' ''Seja <math>X</math> um conjunto. Fica bem definida em <math>FG(X)</math> a operação binária <math>\star</math> por <math>[u]_R \star [v]_R = [u_r * v_r]_R</math> (onde <math>R</math> é a relação de congruência de definição anterior).''

'''Demonstração''' Sejam <math>u,u',v,v' \in FM(X)</math> quaisquer tais que <math>[u]_R = [u']_R</math> e <math>[v]_R = [v']_R</math>, isto é, <math>uRu'</math> e <math>vRv'</math>. Por <math>R</math> se relação de congruência em <math>FM(X \cup \bar X)</math>, temos <math>u*vRu'*v'</math>, isto é, <math>[u*v]_R = [u'*v']_R</math>. <math>\square</math>


Visto então que a definição é legítima, apresentamo-la.


'''Definição''' ''Seja <math>X</math> um conjunto. Definimos em <math>FG(X)</math> a operação binária <math>\star</math> por <math>[u]_R \star [v]_R = [u_r * v_r]_R</math>.''


Finalmente, verificamos que o grupo que construímos é efetivamente um grupo.


'''Proposição''' ''Seja <math>X</math> um conjunto. <math>(FG(X),\star)</math> é um grupo com elemento neutro <math>[1]_R</math> e onde <math>\forall [u]_R \in FG(X), \, {[u]_R}^{-1} = [\bar u]_R</math>.''

'''Demonstração'''
# <math>(FG(X),\star)</math> é associativo porque <math>\forall [u]_R,[v]_R,[w]_R \in FG(X), \, ([u]_R \star [v]_R) \star [w]_R = ([u * v]_R) \star [w]_R = [(u * v) * w]_R =</math> <math>[u * (v * w)]_R = [u]_R \star [v * w]_R = [u]_R \star ([v]_R \star [w]_R).</math>
# Vejamos que <math>[1]_R</math> é elemento neutro de <math>(FG(X),\star)</math>. Seja <math>[u]_R \in FG(X)</math> qualquer. Temos <math>[u]_R \star [1]_R = [u * 1]_R = [u]_R</math> e, analogamente, <math>[1]_R \star [u]_R = [u]_R</math>.
# Seja <math>[u]_R \in FG(X)</math> qualquer e vejamos que <math>[u]_R \star [\bar u]_R = [1]_R</math>. Temos <math>[u]_R \star [\bar u]_R = [u * \bar u]_R</math> e, por definição de <math>R</math>, <math>u * \bar u R 1</math>, isto é, <math>[u * \bar u]_R = [1]_R</math>, logo <math>[u]_R \star [\bar u]_R  = [1]_R</math> e, analogamente, <math>[\bar u]_R \star [u]_R = [1]_R</math>. <math>\square</math>


Analogamente ao que fizemos com o monóide livre, ao grupo mais "livre" gerado pelo conjunto <math>X</math> vamos chamar grupo livre gerado por <math>X</math>.


'''Definição''' ''Seja <math>X</math> um conjunto. Ao grupo <math>(FG(X),\star)</math> chamamos grupo livre gerado por <math>X</math>.''


'''Exemplo''' Seja <math>X = \{x\}</math>. Escolhamos um qualquer conjunto <math>\bar X = \{y\}</math> disjunto (e equipotente) de <math>X</math>. Seja <math>f : X \rightarrow \bar X</math> uma (na verdade, a única) aplicação bijectiva de <math>X</math> em <math>\bar X</math>. Então denotamos <math>f(x) = y</math> por <math>\bar x</math> e denotamos <math>f^{-1}(y) = x</math> por <math>\bar y</math>. Passamos a encarar <math>x</math> e <math>y</math> como elementos inversos. Seja <math>R</math> a relação de congruência de <math>FM(X \cup \bar X)</math> gerada por <math>G = \{(1,1),(x \bar x,1),(xx \bar x \bar x,1),\ldots\}</math>. <math>FG(X) = FM(\{x,\bar x\})</math> é o conjunto das "palavras" escritas no alfabeto <math>\{[x]_R,[\bar x]_R\}</math>. Por exemplo, <math>[1]_R,[x]_R,[\bar x]_R,[xx\bar x xx]_R \in FG(X)</math>.

Temos <math>G \subseteq R</math> e, por exemplo, <math>(xx \bar x,1) \in R</math>, pois de <math>(x\bar x,1) \in G \subseteq R</math> (logo <math>x \bar x R 1</math>) e de <math>R</math> ser relação de congruência, vem que podemos "multiplicar" ambos os "membros" da relação <math>x \bar x R 1</math> e obter <math>xx \bar x R x</math>. Encaramos <math>x \bar x R 1</math> como significando que em <math>FG(X)</math> temos <math>xx \bar x = x</math> (em rigor, <math>[xx \bar x]_R = [1]_R</math>), e pensamos nesta igualdade como sendo resultado de um <math>x</math> "anular-se" com <math>\bar x</math> em <math>xx \bar x</math>.

Dado <math>u \in FM(X \cup \bar X)</math>, denotemos o número exato de vezes que a "letra" <math>x</math> ocorre em <math>u</math> por <math>|u|_x</math> e denotemos o número exato de vezes que a "letra" <math>\bar x</math> ocorre em <math>u</math> por <math>|u|_\bar x</math>. Então "cortando" <math>x</math>'s com <math>\bar x</math>'s ficamos com uma palavra reduzida com <math>|u|_x - |u|_\bar x</math> vezes a letra <math>x</math> (se <math>|u|_x - |u|_\bar x < 0</math>, entendamos que não há letras <math>x</math> e fica <math>-(|u|_x - |u|_\bar x)</math> vezes a letra <math>\bar x</math>). Denotemos este número <math>|u|_x - |u|_\bar x</math> por <math>|u|_{x - \bar x}</math>. Temos
# <math>[u]_R = [v]_R</math> se e só se <math>|u|_{x - \bar x} = |v|_{x - \bar x}</math> e
# <math>\forall [u]_R,[v]_R \in FG(X), \, |uv|_{x - \bar x} = |u|_{x - \bar x} + |v|_{x - \bar x}</math>.
Assim, cada elemento <math>[u]_R \in FG(X)</math> fica determinado pelo número inteiro <math>|u|_{x - \bar x}</math> e o produto <math>\star</math> de dois elementos <math>[u]_R,[v]_R \in FG(X)</math> corresponde à soma dos seus inteiros associados <math>|u|_{x - \bar x}</math> e <math>|v|_{x - \bar x}</math>. Assim, parece que o grupo <math>(FG(X),\star)</math> é "semelhante" a <math>(\mathbb{Z},+)</math>. Com efeito <math>(FG(X),\star)</math> é isomorfo a <math>(\mathbb{Z},+)</math> e a aplicação <math>|\cdot|_{x - \bar x} : FG(X) \rightarrow \mathbb{Z}</math> é um isomorfismo de grupos.

==Apresentação de um grupo==

Informalmente, parece que <math>\mathbb{Z}_n</math> é obtido do grupo "livre" <math>\mathbb{Z}</math> impondo a relação <math>nx = 1</math>. Vamos tentar formalizar esta ideia. Partimos de um conjunto <math>X</math> que gera um grupo <math>G</math> que queremos criar e de um conjunto de relações <math>R</math> (tais como <math>x^n = 1</math> ou <math>xy = yz</math>) que os elementos de <math>G</math> devem verificar e obtemos o grupo <math>G/R</math> gerado por <math>G</math> e que verifica as relações <math>R</math>. Mais precisamente, escrevemos cada relação <math>u = v</math> na forma <math>uv^{-1} = 1</math> (por exemplo, <math>xy = yx</math> escreve-se na forma <math>xyx^{-1}y^{-1} = 1</math>) e encaramos <math>uv^{-1}</math> como uma "palavra" de <math>FG(X)</math>. Como <math>R</math> não tem necessariamente de ser um subgrupo normal de <math>G</math>, não podemos considerar o quociente <math>FG(X)/R</math>, pelo que consideramos o quociente <math>FG(X)/R</math> onde <math>N</math> é o subgrupo normal de <math>FG(X)</math> gerado por <math>R</math>. Em <math>G/N</math>, vamos ter <math>uv^{-1}N = 1N</math>, o que encaramos como significando que em <math>G/N</math> os elementos <math>uv^{-1}</math> e <math>1</math> são o mesmo. Assim, <math>FG(X)/N</math> vai verificar todas as relações que queremos e vai ser gerado por <math>X</math> (mais precisamente, por <math>\{xN : x \in X\}</math>). Formalizamos de seguida esta ideia.


'''Definição''' ''Seja <math>G</math> um grupo. Chamamos apresentação de <math>G</math>, e denotamos por <math>< X:R ></math>, a um par ordenado <math>(X,R)</math> onde <math>X</math> é um conjunto, <math>R \subseteq FG(X)</math> e <math>G \simeq FG(X)/N</math>, onde <math>N</math> é o subgrupo normal de <math>FG(X)</math> gerado por <math>R</math>. Numa apresentação <math><X:R></math>, a <math>X</math> chamamos conjunto gerador e a <math>R</math> chamamos conjunto das relações.''


Vejamos exemplos de apresentações do grupo livre <math>FG(X)</math> e dos grupos <math>\mathbb{Z}_n</math>, <math>\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}</math>, <math>\mathbb{Z}_m \oplus \mathbb{Z}_n</math> e <math>S_3</math>. Aproveitamos também os exemplos para expor alguma notação usual e mostrar que a apresentação de um grupo não tem de ser única.


'''Exemplos'''
# Seja <math>X</math> um conjunto. <math><X:{\emptyset}></math> é uma apresentação de <math>FG(X)</math> porque <math>FG(X) \simeq FG(X)/\{1\}</math>, onde <math>\{1\}</math> é o subgrupo normal de <math>FG(X)</math> gerado por <math>\emptyset</math>. Em particular, <math><\{x\}:\emptyset ></math> é uma apresentação de <math>(\mathbb{Z},+) \simeq FG(\{x\})</math>, mais usualmente denotada por <math><x:\emptyset></math>. Outra apresentação de <math>(\mathbb{Z},+)</math> é <math><\{x,y\}:\{xy^{-1}\}></math>, mais usualmente denotada por <math><x,y:xy^{-1}></math>. Informalmente, na apresentação <math><x,y:xy^{-1}></math> introduzimos um novo elemento <math>y</math> no conjunto gerador, mas depois impomos a relação <math>xy^{-1} = 1</math>, isto é, <math>x = y</math>, o que na prática é o mesmo que nem ter introduzido <math>y</math> e ter ficado pela apresentação <math><x:\emptyset></math>.
# Seja <math>X = \{x\}</math>. <math><X:\{x^n\}></math> (onde <math>x^n = x \star \cdots \star x \in FG(X)</math> <math>n</math> vezes) é uma apresentação de <math>\mathbb{Z}_n</math>. Com efeito, o subgrupo de <math>FG(X)</math> gerado por <math>\{x^n\}</math> é <math>N = \{\ldots,\bar{x}^{2n},\bar{x}^n,1,x^n,x^{2n},\ldots\} \simeq n\mathbb{Z}</math> e <math>FG(X) \simeq \mathbb{Z}</math>, logo <math>\mathbb{Z}_n = \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \simeq FG(X)/N</math>. É mais usual denotar <math><\{x\} : \{x^n\}></math> por <math><x : x^n></math>.
# Sejam <math>X = \{x,y\}</math> (com <math>x</math> e <math>y</math> distintos) e <math>R = \{xyx^{-1}y^{-1}\}</math>. <math><X:R></math> é uma apresentação de <math>\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}</math>. Informalmente, o que fazemos é impor em <math>FG(X)</math> que haja comutatividade, isto é, <math>xy = yx</math>, ou seja, <math>xyx^{-1}y^{-1} = 1</math>, obtendo um grupo isomorfo a <math>\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}</math>. É mais usual denotar <math><\{x,y\} : \{xyx^{-1}y^{-1}\}></math> por <math><x,y : xyx^{-1}y^{-1}></math>.
# Sejam <math>X = \{x,y\}</math> e <math>R = \{xyx^{-1}y^{-1},x^m,y^n\}</math>. <math><X,R></math> é uma apresentação de <math>\mathbb{Z}_m \times \mathbb{Z}_n</math>. Informalmente, o que fazemos é impor a comutatividade da mesma forma que no  exemplo anterior, e impomos ainda <math>x^m = 1</math> e <math>x^n = 1</math> para obtermos <math>\mathbb{Z}_m \times \mathbb{Z}_n</math> em vez de <math>\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}</math>. É mais usual denotar <math><\{x,y\}:\{xyx^{-1}y^{-1},x^m,y^n\}></math> por <math><x,y:xyx^{-1}y^{-1},x^m,y^n></math>.
# <math><\{a,b,c\}:\{aa,bb,cc,abac,cbab\}></math>, mais usualmente escrito <math><a,b,c:a^2,b^2,c^2,abac,cbab></math>, é uma apresentação de <math>S_3</math>, o grupo das permutações de <math>\{1,2,3\}</math> com a composição de aplicações. Para verificar isto, podemos verificar que qualquer grupo com apresentação <math><a,b,c:a^2,b^2,c^2,abac,cbab></math> tem exatamente seis elementos <math>id</math>, <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math>, <math>a</math>, <math>ab</math> e <math>ac</math>, e que a multiplicação destes elementos resulta na seguinte tabela de Cayley que é igual à tabela de Cayley de <math>S_3</math>. Apenas para dar uma ideia de como o podemos fazer, um grupo com apresentação <math><a,b,c:a^2,b^2,c^2,abac,cbab></math> tem exatamente os elementos <math>id</math>, <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math>, <math>a</math>, <math>ab</math> e <math>ac</math> porque nenhuns destes elementos são iguais (as relações <math>a^2 = b^2 = c^2 = abac = cbab = 1</math> não permitem concluir que dois destes elementos são iguais) e porque "outros" elementos como <math>bc</math> são na realidade alguns dos elementos anteriores (por exemplo, de <math>cbab = id</math> temos <math>cb = ab</math>, e tomando inversos de ambos os membros, temos <math>b^{-1}c^{-1} = b^{-1} a^{-1}</math>, que, usando <math>a^2 = b^2 = c^2 = id</math>, isto é, <math>a = a^{-1}</math>, <math>b = b^{-1}</math> e <math>c = c^{-1}</math>, resulta em <math>bc = ba</math>). Então, usando as relações da apresentação, podemos calcular a tabela de Cayley. Por exemplo, <math>a (ab) = b</math> porque temos a relação <math>a^2 = 1</math>. Outro exemplo: temos <math>b(ac) = a</math> porque podemos multiplicar ambos os membros da relação <math>abac = id</math> por <math>a</math> e então usar <math>a^2 = id</math>. Podíamos ter suspeitado desta representação tomando <math>a = (1 \ 2)</math>, <math>b = (1 \ 3)</math> e <math>c = (2 \ 3)</math> e depois, tentando construir a tabela de Cayley de <math>S_3</math>, descoberto que tal era possível se soubéssemos que <math>a^2 = b^2 = c^2 = abac = cbab = 1</math>.

{| border="1" cellpadding="2" align="center" textalign="center"
! <math>\times</math> !! <math>id</math> !! <math>a</math> !! <math>b</math> !! <math>c</math> !! <math>ab</math> !! <math>ac</math>
|- align="center"
! <math>id</math>
| <math>id</math> || <math>a</math> || <math>b</math> || <math>c</math> || <math>ab</math> || <math>ac</math>
|- align="center"
! <math>a</math>
| <math>a</math> || <math>id</math> || <math>ab</math> || <math>ac</math> || <math>b</math> || <math>c</math>
|- align="center"
! <math>b</math>
| <math>b</math> || <math>ac</math> || <math>id</math> || <math>ab</math> || <math>c</math> || <math>a</math>
|- align="center"
! <math>c</math>
| <math>c</math> || <math>ab</math> || <math>ac</math> || <math>id</math> || <math>a</math> || <math>b</math>
|- align="center"
! <math>ab</math>
| <math>ab</math> || <math>c</math> || <math>a</math> || <math>b</math> || <math>ac</math> || <math>id</math>
|- align="center"
! <math>ac</math>
| <math>ac</math> || <math>b</math> || <math>c</math> || <math>a</math> || <math>id</math> || <math>ab</math>
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É natural perguntar se todo o grupo tem uma apresentação. O teorema seguinte diz-nos que sim, e dá-nos até uma apresentação.


'''Teorema''' ''Sejam <math>(G,\times)</math> um grupo.''
# ''A aplicação <math>\varphi : FG(G) \rightarrow G</math> definida por <math>\varphi([x_1]_R \star \cdots \star [x_n]_R) = x_1 \times \cdots \times x_n</math> (onde <math>x_1,\ldots,x_n \in G</math>) é um epimorfismo de grupos.''
# ''<math><G:\textrm{ker} \, \varphi></math> é uma apresentação de <math>(G,\times)</math>.''

'''Demonstração'''
# <math>\varphi</math> está bem definida porque todo o elemento de <math>FG(X)</math> tem uma representação única na forma <math>[x_n] \star \cdots [x_n]_R</math> com <math>x_1,\ldots,x_n \in G</math>, a menos de <math>[1]_R</math> surgir várias vezes na representação, o que não afeta o valor de <math>x_1 \times \cdots \times x_n</math>. Sejam <math>[x_1]_R \star \cdots \star [x_m]_R,[y_1]_R \star \cdots \star [y_n]_R \in FG(X)</math> quaisquer, onde <math>x_1,\ldots,x_m,y_1,\ldots,y_n \in G</math>. Temos <math>\varphi(([x_1]_R \star \cdots \star [x_m]_R) \star ([y_1] \star \cdots \star [y_n]_R)) = (x_1 \times \cdots \times x_m) \times (y_1 \times \cdots \times y_n) =</math> <math>\varphi([x_1]_R \star \cdots \star [x_m]_R) \times \varphi([y_1]_R \star \cdots \star [y_n]_R)</math>, logo <math>\varphi</math> é morfismo de grupos. Como <math>\forall x \in G, \, \varphi ([x]_R) = x</math>, então <math>G</math> é epimorfismo de grupos.
# Pelo primeiro teorema do isomorfismo (para grupos), temos <math>FG(G)/\textrm{ker} \, \varphi \simeq \varphi(G) = G</math>, logo <math><G:\textrm{ker} \, \varphi></math> é uma apresentação de <math>(G,\times)</math>. <math>\square</math>


O teorema anterior, embora dê uma apresentação do grupo <math>G</math>, não nos dá uma "boa" apresentação, pois o conjunto gerador <math>G</math> é usualmente bastante maior do que outros conjuntos geradores, e o conjunto das relações <math>\mathrm{ker} \, \varphi</math> é também usualmente bastante maior do que outros conjuntos de relações suficientes (é até um subgrupo normal de <math>FG(G)</math>, quando bastava que gerasse um subgrupo normal apropriado).

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