Mostrar código-fonte de Medida e integração/Integração de funções positivas



Ao longo deste capítulo estará fixado um [[../Medida#defi:esp-com-medida|espaço com medida]] <math>(X, \mathfrak{M}, \mu).</math>

{{Âncora|def:int-fun-simples}}
{{Definição|5.1
|Considere uma função simples <math>\sigma</math> [[../Mensurabilidade#defi:fun-mens|mensurável]] sobre <math>X</math>, cuja forma canônica é dada por:
{{Fórmula|<math>\sigma= \sum_{i = 1}^n \alpha_i X_{A_i},</math>}}
ou seja,
# {{\label|Definição 5.1.1}}<math>Im (\sigma) = \{\alpha_i : 1 \le i \le n\}</math> tem <math>n</math> elementos<ref group="ver nota">Isto é, <math>\alpha_i \not = \alpha_j</math> quando <math>i \not = j.</math></ref>;
# {{\label|Definição 5.1.2}}<math>\left(A_i\right)_{1 \le i \le n}</math> é uma partição de <math>X</math>; e
# {{\label|Definição 5.1.3}}Para cada <math>1 \le i \le n,</math> tem-se <math>A_i = \sigma^{-1} (\alpha_i).</math>

Nestas condições, define-se para cada <math>E \in \mathfrak{M}</math> a '''integral de <math>\boldsymbol{\sigma}</math> sobre <math>\mathbf{E}</math> em relação à medida <math>\boldsymbol{\mu}</math>''' como sendo:
{{Âncora|eq:int-fun-simples}}
{{Fórmula|5.1.1|<math>\int\limits_E \sigma = \int\limits_E \sigma \, d\mu := \sum_{i = 1}^n \alpha_i \mu\left(E \cap A_i\right).</math>}}
}}
* {{Observação|5.2| Note como está sendo usada a convenção de que <math>0 \cdot \infty = 0:</math> pode acontecer de existir algum índice <math>i</math> para o qual <math>\alpha_i = 0</math> e <math>\mu(E \cap A_i) = \infty</math>. A convenção foi feita de tal modo que ao colocar um coeficiente nulo em uma parcela, a medida do subconjunto de <math>X</math> correspondente não interfira no valor final da integral.}}
* {{Âncora|obs:int-fun-simples-indep-form-can}}{{Observação|5.3|Pode ser demonstrado que o fato da função simples estar ou não expressa em sua forma canônica não influi no valor produzido pela [[#eq:int-fun-simples|fórmula 5.1.1]].}}

;Exercício: Justifique a afirmação feita na [[#obs:int-fun-simples-indep-form-can|Observação 5.3]].
{{Resolução}}

Pelo [[../Funções simples e a topologia da reta estendida#teo:exist-seq-simples|Teorema 3.4]], toda função <math>f: X \mapsto \overline{\mathbb{R}}_+</math> pode ser aproximada por uma sequência não-decrescente de funções simples. Isto motiva a próxima definição, na qual é apresentada a noção de integral para um certo tipo de funções que não são simples.

{{Âncora|def:int-fun-n-neg}}
{{Definição|5.4
|Se <math>f: X \mapsto \overline{\mathbb{R}}_+</math> é uma [[../Mensurabilidade#defi:fun-mens|função mensurável]], define-se para cada <math>E \in \mathfrak{M}</math> a '''integral de Lebesgue de <math>\boldsymbol{f}</math> sobre <math>\mathbf{E}</math> em relação à medida <math>\boldsymbol{\mu}</math>''' como sendo o elemento de <math>\overline{\mathbb{R}}_+ = [0, \infty]</math> dado por:
{{Âncora|eq:int-fun-nao-neg}}
{{Fórmula|5.4.1|<math>\int\limits_E f = \int\limits_E f \, d\mu := \sup_{\sigma \in S(f)} \int\limits_E \sigma \, d\mu,</math>}}
onde <math>S(f) := \{\sigma| \sigma</math> é função simples, [[../Mensurabilidade#defi:fun-mens|mensurável]] sobre <math>X</math> e tal que <math>\sigma \le f\}.</math><ref group="ver nota">Lembre-se que <math>\sigma \le f</math> significa <math>\sigma(x) \le f(x),</math> para todo <math>x \in X.</math></ref>

No caso em que <math>\int\limits_E f < \infty,</math> se diz que '''<math>\boldsymbol{f}</math> é integrável em <math>E</math>'''. Se <math>\int\limits_X f < \infty,</math> então se diz simplesmente que '''<math>\boldsymbol{f}</math> é integrável'''.
}}
* {{Âncora|obs:coerencia-defs-int-simples}}{{Observação|5.5|Note que se uma [[../Mensurabilidade#defi:fun-mens|função mensurável]] <math>f</math> é simples, a [[#eq:int-fun-nAo-neg|fórmula 5.4.1]] da [[#def:int-fun-n-neg|Definição 5.4]] fornece para a integral <math>\int\limits_E f \, d\mu</math> uma expressão que, a primeira vista, não tem motivo para coincidir com aquela da [[#eq:int-fun-simples|fórmula 5.1.1]] presente na [[#def:int-fun-simples|Definição 5.1]]. No entanto, pode-se verificar que elas de fato fornecem o mesmo valor.}}
;Exercício: Justifique a afirmação feita na [[#obs:coerencia-defs-int-simples|Observação 5.5]].
{{Resolução}}

{{Lema|5.6
|Dado um [[../Medida#defi:esp-com-medida|espaço com medida]] <math>(X, \mathfrak{M}, \mu)</math> e uma partição finita <math>\left(G_i\right)_{1\le i \le p}</math> de <math>X</math> em conjuntos mensuráveis, considere a função simples [[../Mensurabilidade#defi:fun-mens|mensurável]]<ref group="ver nota">A mensurabilidade desta função segue do [[../Funções simples e a topologia da reta estendida#lema:fun-simples-mens|Lema 3.2]], considerando que cada <math>G_i</math> é mensurável.</ref> <math>\sigma: X \mapsto \mathbb{R}_+</math> definida por
{{Fórmula|<math>\sigma= \sum_{i = 1}^p \gamma_i X_{G_i},</math>}}
onde, para cada <math>1 \le i \le p,</math> tem-se <math>\gamma_i \in \mathbb{R}_{+}.</math> Então, para todo <math>E \in \mathfrak{M}</math> vale:
{{Fórmula|<math>\int\limits_E \sigma \, d\mu = \sum_{i = 1}^{p} \gamma_i \mu\left(E \cap G_i\right) = \sum_{a \in \mathbb{R}_{+}} \mu\left(E \cap \sigma^{-1}(a)\right).</math>}}
}}
{{Demonstração}}

{{Lema|5.7
|Dado um [[../Medida#defi:esp-com-medida|espaço com medida]] <math>(X, \mathfrak{M}, \mu)</math> e as funções simples mensuráveis <math>\sigma</math> e <math>\tau.</math> Se <math>\sigma \le \tau</math><ref group="ver nota">Ou seja, <math>\sigma(x) \le \tau(x),</math> para todo <math>x \in X.</math></ref>, então para qualquer <math>E \in \mathfrak{M}</math> tem-se:
{{Fórmula|<math>\int\limits_E \sigma \, d\mu \le \int\limits_E \tau \, d\mu.</math>}}
}}
{{Demonstração}}
* {{Observação|5.8|Se <math>f: X \mapsto \mathbb{R}_{+}</math> é [[../Mensurabilidade#defi:fun-mens|mensurável]], então a função <math>f_1: X \mapsto \overline{\mathbb{R}}_{+}</math> que em cada valor <math>x \in X</math> é definida por <math>f_1(x) = f(x)</math> também é [[../Mensurabilidade#defi:fun-mens|mensurável]]. Deste modo, a [[#eq:int-fun-n-neg|Definição 5.4]], que se aplica a função <math>f_1,</math> pode também ser aplicada à função <math>f.</math>}}

{{Âncora|prop:props-gerais-integral}}
{{Proposição|5.9
|Seja <math>f: X \mapsto \overline{\mathbb{R}}_+</math> uma [[../Mensurabilidade#defi:fun-mens|função mensurável]]. A integral definida anteriormente verifica as seguintes propriedades:
# {{\label|Proposição 5.9.1}}Se <math>g: X \mapsto \overline{\mathbb{R}}_+</math> é [[../Mensurabilidade#defi:fun-mens|mensurável]] e <math>f \le g,</math> então <math>\int\limits_E f\, d\mu \le \int\limits_E g\, d\mu;</math>
# {{\label|Proposição 5.9.2}}Se <math>E, F \in \mathfrak{M}</math> e <math>E \subset F,</math> então <math>\int\limits_E f\, d\mu \le \int\limits_F f\, d\mu;</math>
# {{\label|Proposição 5.9.3}}Se <math>k \in \mathbb{R}_{+},</math> então <math>\int\limits_E kf\, d\mu = k\int\limits_E f\, d\mu;</math>
# {{\label|Proposição 5.9.4}}Se para todo <math>x \in E</math> vale <math>f(x)= 0,</math> então <math>\int\limits_E f\, d\mu = 0;</math><ref group="ver nota">Mesmo quando<math>\mu(E) = \infty,</math> uma vez que se convencionou que <math>0 \cdot \infty = 0.</math></ref>
# {{\label|Proposição 5.9.5}}Se <math>\mu(E) = 0,</math> então <math>\int\limits_E f\, d\mu = 0;</math><ref group="ver nota">Mesmo quando em cada <math>x \in X</math> vale <math>f(x) = \infty.</math></ref>
# {{\label|Proposição 5.9.6}}<math>\int\limits_E f\, d\mu = \int\limits_E X_E \cdot f\, d\mu.</math>
}}
{{Demonstração}}
{{Tarefa|Explicitar no enunciado da proposição anterior as hipóteses que devem ser feitas sobre as funções envolvidas.}}
* {{Âncora|obs:def-alt-int-fun-pos}}{{Observação|5.10|O último item desta [[#prop:props-gerais-integral|proposição]] indica que mesmo se a integral tivesse sido definida apenas sobre o conjunto <math>X,</math> ainda seria possível definir o valor da integral sobre subconjuntos mensuráveis de <math>X</math> usando como definição a fórmula <math>\int\limits_E f\, d\mu := \int\limits_E X_E \cdot f\, d\mu.</math>}}
* {{Observação|5.11|É interessante notar que se <math>E \in \mathfrak{M},</math> então é possível definir um [[../Medida#defi:esp-com-medida|espaço com medida]] sobre <math>E</math> de forma muito natural: A coleção de partes de <math>E</math> definida por <math>\mathfrak{M}|_E := \{A \cap E | A \in \mathfrak{M}\}</math> é uma <math>\sigma</math>-álgebra sobre <math>E</math> (isto fica como exercício para o leitor). Então a função <math>\mu_E := \mu|_\mathfrak{M}</math> é uma medida positiva sobre <math>\mathfrak{M}|_E</math> e, consequentemente, <math>\left(E, \mathfrak{M}, \mu_E \right)</math> é um [[../Medida#defi:esp-com-medida|espaço com medida]]. Este fato serve para reforçar a ideia central da [[#obs:def-alt-int-fun-pos|observação anterior]]: se é definida a integral sobre os espaços de medida, então é definida automaticamente a integral sobre cada parte mensurável de tais espaços.
}}
{{Corolário|5.12
|Se <math>E</math> é um conjunto mensurável, então:
# {{\label|Corolário 5.12.1}}Para quaisquer funções mensuráveis <math>f,g: X \mapsto \overline{\mathbb{R}}_+</math> tais que <math>f(x) \le g(x),</math> tem-se <math>\int\limits_E f\, d\mu \le \int\limits_E g\, d\mu;</math>
# {{\label|Corolário 5.12.2}}<math>\mu(E) = \int\limits_E \, d\mu = \int\limits_X X_E\, d\mu.</math>
}}
{{Demonstração}}
* {{Observação|5.13|Note que, ao contrário do que acontecia no item correspondente da [[#prop:props-gerais-integral|Proposição 5.9]], o primeiro item deste corolário exige apenas que a desigualdade seja válida nos pontos que pertemcem a <math>E.</math>}}

A essência do segundo item deste corolário é que a integral também serve para "medir conjuntos". Na verdade, isto continua válido mesmo que a função que está sendo integrada não seja <math>X_E:</math> Conforme a [[#prop:int-define-medida|próxima proposição]], a integração de uma função simples sobre conjuntos que pertencem a uma <math>\sigma</math>-álgebra define uma medida.

{{Âncora|prop:int-define-medida}}
{{Proposição|5.14
|Dada uma função simples <math>\sigma</math> [[../Mensurabilidade#defi:fun-mens|mensurável]] sobre <math>X</math>, se <math>\varphi: \mathfrak{M} \mapsto \overline{\mathbb{R}}_+</math> é a função que em cada <math>E \in \mathfrak{M}</math> vale
{{Fórmula|<math>\varphi (E) := \int\limits_E \sigma \, d\mu,</math><ref group="ver nota">Lembre-se que <math>\left(X, \mathfrak{M}, \mu\right)</math> é um [[../Medida#defi:esp-com-medida|espaço com medida]].</ref>}}
então <math>\varphi</math> é uma medida sobre <math>\mathfrak{M}.</math>
}}
{{Demonstração}}

Outra propriedade que se poderia esperar da integração de funções simples é a somatividade:

{{Âncora|prop:int-aditiva-fun-simples}}
{{Proposição|5.15
|Se <math>\sigma_1</math> e <math>\sigma_2</math> são funções simples mensuráveis sobre <math>X,</math> então:
{{Fórmula|<math>\int\limits_X \left(\sigma_1 + \sigma_2\right) = \int\limits_X \sigma_1\, d\mu + \int\limits_X \sigma_2\, d\mu.</math>}}
}}
{{Demonstração}}

{{Âncora|lema:dif-fun-mens}}
{{Lema|5.16
|Se a <math>f:X \mapsto \overline{\mathbb{R}}_+</math> é uma função mensurável e <math>\sigma:X \mapsto \mathbb{R}_+</math> é uma função simples mensurável, então a função <math>f-\sigma:X \mapsto \mathbb{R}_+</math> é mensurável.
}}
{{Demonstração}}
* {{Observação|5.17|Note que <math>Im(f-g) \subset \mathbb{R} \smallsetminus \{-\infty\} = \mathbb{R} \cup \{\infty\}.</math>}}
* {{Observação|5.18|O [[../Mensurabilidade#cor:fun-mens-formam-algebra|Corolário 1.14]] e a [[../Mensurabilidade#obs:fun-mens-formam-algebra|observação 1.15]] somente garantiam a validade deste resultado quando as imagens das funções envolvidas estavam contidas em <math>\mathbb{K}.</math> É graças a este [[#lema:dif-fun-mens|Lema 5.16]] que será possível usar o mesmo resultado também quando a função <math>f</math> assume o valor infinito. No entanto a demonstração é apenas uma adapatação daquela apresentada para a [[../Mensurabilidade#prop:comp-cont-par-mens|Proposição 1.11]].}}

O próximo resultado é conhecido como '''Teorema da Convergência Monótona de Lebesgue''' e, além de ser um resultado importante sobre convergência, é um dos teoremas centrais de toda a teoria de Lebesgue.

{{Teorema|5.19
|Seja <math>(X, \mathfrak{M}, \mu)</math> um [[../Medida#defi:esp-com-medida|espaço com medida]] e, para cada <math>n \in \mathbb{N},</math> seja <math>f_n:X \mapsto \overline{\mathbb{R}}_+</math> uma [[../Mensurabilidade#defi:fun-mens|função mensurável]]. Se a sequência <math>\left(f_n\right)_{n \in \mathbb{N}}</math> é não decrescente<ref group="ver nota">Isto é, se <math>f_n(x) \le f_{n+1} (x)</math> para todo <math>n \in \mathbb{N}</math> e para todo <math>x \in X.</math></ref> e, para cada <math>x \in X,</math> existe o limite <math>\textstyle\lim_{n\rightarrow\infty} f_n(x),</math> então:
# {{\label|Teorema 5.19.1}}A função <math>f:X \mapsto \overline{\mathbb{R}}_+</math> definida por <math>f(x) = \textstyle\lim_{n\rightarrow\infty} f_n(x)</math> é [[../Mensurabilidade#defi:fun-mens|mensurável]];
# {{\label|Teorema 5.19.2}}<math>\int\limits_X f\, d\mu = \lim_{n\rightarrow\infty} \int\limits_X f_n\, d\mu.</math>
}}
{{Demonstração}}
* {{Observação|5.20|Note que no segundo item deste teorema, ambos os membros podem ser iguais a infinito.}}

Um resultado análogo sobre a integração de séries é apresentado no teorema seguir.

{{Teorema|5.21
|Seja <math>(X, \mathfrak{M}, \mu)</math> um [[../Medida#defi:esp-com-medida|espaço com medida]] e, para cada <math>n \in \mathbb{N},</math> seja <math>f_n:X \mapsto \overline{\mathbb{R}}_+</math> uma [[../Mensurabilidade#defi:fun-mens|função mensurável]]. Então:
# {{\label|Teorema 5.20.1}}A função <math>f:X \mapsto \overline{\mathbb{R}}</math> definida por <math>f(x) = \textstyle\sum_{n=1}^\infty f_n(x)</math> é [[../Mensurabilidade#defi:fun-mens|mensurável]];
# {{\label|Teorema 5.20.2}}<math>\int\limits_X f\, d\mu = \sum_{n=1}^\infty \int\limits_X f_n\, d\mu.</math>
}}
{{Demonstração}}

O resultado técnico apresentado a seguir, conhecido como '''Lema de Fatou''', se mostrará extremamente importante e útil.

{{Teorema|5.22
|Seja <math>(X, \mathfrak{M}, \mu)</math> um [[../Medida#defi:esp-com-medida|espaço com medida]] e, para cada <math>n \in \mathbb{N},</math> seja <math>f_n:X \mapsto \overline{\mathbb{R}}_+</math> uma [[../Mensurabilidade#defi:fun-mens|função mensurável]]. Então:
{{Fórmula|5.22.1|<math>\int\limits_X \left(\limsup_{n\rightarrow\infty}f_n\right)\, d\mu \le \limsup_{n\rightarrow\infty} \left(\int\limits_X f_n\, d\mu\right).</math>}} 
}}
{{Demonstração}}

O próximo resultado é uma generalização da [[#prop:int-define-medida|Proposição 5.14]].

{{Âncora|teo:int-def-medida}}
{{Teorema|5.23
|Seja <math>(X, \mathfrak{M}, \mu)</math> um [[../Medida#defi:esp-com-medida|espaço com medida]] e <math>f: X \mapsto \overline{\mathbb{R}}_+</math> uma [[../Mensurabilidade#defi:fun-mens|função mensurável]] sobre <math>X.</math> Se <math>\varphi: \mathfrak{M} \mapsto \overline{\mathbb{R}}_+</math> é a função que em cada <math>E \in \mathfrak{M}</math> vale
{{Fórmula|5.23.1|<math>\varphi (E) := \int\limits_E f \, d\mu,</math>}}
então:
# {{\label|Teorema 5.23.1}}<math>\varphi</math> é uma medida sobre <math>\mathfrak{M}</math>;
# {{\label|Teorema 5.23.2}}Para cada função mensurável <math>g: X \mapsto \overline{\mathbb{R}}_+</math> vale
{{Âncora|eq:d-phi-f-d-mu}}
{{Fórmula|5.23.2|<math>\int\limits_X g \, d\varphi = \int\limits_X gf \, d\mu.</math>}}
}}
{{Demonstração}}
* {{Observação|5.24|Alguns autores indicam o [[#eq:d-phi-f-d-mu|segundo item]] deste teorema com a notação <math>d\varphi = f \, d\mu,</math> embora isto não queira dizer que os símbolos <math>d\varphi</math> e <math>d\mu</math> façam sentido individualmente. A igualdade significa apenas que vale a fórmula [[#eq:d-phi-f-d-mu|5.23.2]] do [[#teo:int-def-medida|Teorema 5.23]].
}}

== Notas ==
<references group="ver nota"/>

== Referências ==
<references/>

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