Mostrar código-fonte de Mecânica dos fluidos/Fluxo laminar do líquido Newtoniano

Quando o fluido não pode ser aproximado pelo modelo do fluido ideal, e sim pelo modelo do líquido Newtoniano, devem ser usadas as as equações de Navier-Stokes. Em algumas situações onde a geometria do problema é simples e o fluxo é laminar, existe uma solução analítica para essas equações. O fluxo laminar é caracterizado pela sua espessura h<sub>0</sub>. 

== Fluxo plenamente desenvolvido entre duas placas planas ==

A configuração geométrica mais simples possível de um escoamento ocorre quando o líquido flui entre duas placas paralelas infinitas. Por exemplo, em muitas situações práticas, óleo lubrificante flui por um intervalo entre um cilindro e um pistão; como o intervalo de escoamento é muito pequeno, com relação às demais dimensões, o problema pode ser modelado como um fluxo entre duas placas planas infinitas.  Nesses casos, h<sub>0</sub> é a espessura do intervalo. A escolha natural é o eixo X na direção do fluxo e o eixo Z na vertical. Como sabemos, a velocidade é nula nas paredes. Assim,


<center><math>v_x(0) \;=\; v_x(h_0) \;=\; 0</math></center>


Além disso, como o escoamento está plenamente desenvolvido, 


<center><math>\frac{\partial v_x}{\partial x} \;=\; 0</math></center>


e, por simetria,


<center><math>\frac{\partial v_x}{\partial y} \;=\; 0</math></center>


<center><math>v_y \;=\; v_z \;=\; 0</math></center>


Além disso, o escoamento está em regime estacionário, ou seja, nenhuma propriedade varia no tempo


<center><math>\frac{\partial \eta}{\partial t} \;=\; 0</math></center>


A equação da continuidade, nessas condições, se torna


<center><math>\nabla \cdot \vec v \;=\; 0 \Rightarrow \;\;\; \frac{\partial v_x}{\partial x} \;+\; \frac{\partial v_y}{\partial y} \;+\; \frac{\partial v_z}{\partial z} \;=\; 0 \Rightarrow \;\;\; \frac{\partial v_x}{\partial x} \;+\; 0 \;+\; 0 \;=\; 0</math></center>


A equação de Navier-Stokes referente ao eixo X simplifica-se para


<center><math>- \; \frac{\partial p}{\partial x} \;+\; \mu_0 \left( \frac{\partial ^2 v_x}{\partial x ^2} \;+\; \frac{\partial ^2 v_x}{\partial y ^2} \;+\; \frac{\partial ^2 v_x}{\partial z ^2} \right) \;+\; \rho_0 g_x \;=\; \rho_0 \left( v_x \frac{\partial v_x}{\partial x} \;+\; v_y \frac{\partial v_x}{\partial y} \;+\; v_z \frac{\partial v_x}{\partial z} \;+\; \frac{\partial v_x}{\partial t} \right)</math></center>


<center><math>- \; \frac{\partial p}{\partial x} \;+\; \mu_0 \left( 0 \;+\; 0 \;+\; \frac{\partial ^2 v_x}{\partial z ^2} \right) \;+\; 0 \;=\; \rho_0 \left( 0 \;+\; 0 \;+\; 0 \;+\; 0 \right)</math></center>


<center><math>\mu_0 \frac{\partial ^2 v_x}{\partial z ^2} \;=\; \frac{\partial p}{\partial x}</math></center>


Na igualdade acima, o lado esquerdo é uma função de z, somente, e o lado direito, uma função somente de x. Para que isso seja verdadeiro para todo x e z, é preciso que ambos sejam iguais a uma constante. Assim


<center><math>\mu_0 \frac{\partial ^2 v_x}{\partial z ^2} \;=\; k_1 \;\;\; \Rightarrow \mu_0 \frac{\partial v_x}{\partial z} \;=\; k_1 z \;+\; k_2 \;\;\; \Rightarrow \mu_0 v_x \;=\; \frac{k_1}{2} z ^2 \;+\; k_2 z \;+\; k_3</math></center>


<center><math>v_x(0) \;=\; 0 \;\;\; \Rightarrow k_3 \;=\; 0</math></center>


<center><math>v_x(h_0) \;=\; 0 \;\;\; \Rightarrow \frac{k_1}{2} h_0 ^ 2 \;+\; k_2 h_0 \;=\; 0 \;\;\; \Rightarrow k_2 \;=\; - \; \frac {k_1 h_0}{2}</math></center>


Assim


<center><math>v_x \;=\; \frac{1}{2 \mu_0} \; \frac{\partial p}{\partial x} \; (z ^ 2 \;-\; h_0 z)</math></center>


As equações para os demais eixos simplificam-se da seguinte forma:


<center><math>\;-\; \; \frac{\partial p}{\partial z} \;+\; \mu_0 \left( \frac{\partial ^2 v_z}{\partial x ^2} \;+\; \frac{\partial ^2 v_z}{\partial y ^2} \;+\; \frac{\partial ^2 v_z}{\partial z ^2} \right) \;+\; \rho_0 g_z \;=\; \rho_0 \left( v_x \frac{\partial v_z}{\partial x} \;+\; v_y \frac{\partial v_z}{\partial y} \;+\; v_z \frac{\partial v_z}{\partial z} \;+\; \frac{\partial v_z}{\partial t} \right)</math></center>


<center><math>\;-\; \; \frac{\partial p}{\partial z} \;+\; \mu_0 \left( 0 \;+\; 0 \;+\; 0 \right) \;+\; 0 \;=\; \rho_0 \left( 0 \;+\; 0 \;+\; 0 \;+\; 0 \right)</math></center>


<center><math>\frac{\partial p}{\partial z} \;=\; \rho_0 g \;\;\; \Rightarrow p = \rho g z \;+\; k_4</math></center>


<center><math>- \; \frac{\partial p}{\partial y} \;+\; \mu_0 \left( \frac{\partial ^2 v_y}{\partial x ^2} \;+\; \frac{\partial ^2 v_y}{\partial y ^2} \;+\; \frac{\partial ^2 v_y}{\partial z ^2} \right) \;=\; \rho_0 \left( v_y \frac{\partial v_x}{\partial x} \;+\; v_y \frac{\partial v_y}{\partial y} \;+\; v_z \frac{\partial v_y}{\partial z} \;+\; \frac{\partial v_x}{\partial t} \right)</math></center>


<center><math>0 \;+\; \mu_0 \left( 0 \;+\; 0 \;+\; 0 \right) \;=\; \rho_0 \left( 0 \;+\; 0 \;+\; 0 \;+\; 0 \right)</math></center>


As equações de Navier-Stokes, uma vez resolvidas, nos informam que:
# a pressão varia de forma hidrostática no sentido do eixo Z;
# a pressão varia de forma contínua no sentido do eixo X;
# o perfil de velocidades ao longo do eixo Z assume a forma de uma parábola;

A variação da pressão ao longo do eixo X se dá porque a viscosidade do fluido provoca uma perda de carga devido ao atrito com as paredes. Curiosamente, a variação da velocidade ao longo desse eixo não faz com que a pressão varie de forma similar; a variação de pressão nesse sentido deve-se apenas ao efeito da gravidade. É a variação da velocidade ao longo do eixo Z que está relacionada com a variação da pressão ao longo do eixo X.

Uma vez obtidas as velocidades, podemos calcular as tensões a partir das relações


<center><math>\tau_{xy} \;=\; \mu_0 \frac{\partial v_y}{\partial x} \;=\; 0</math></center>


<center><math>\tau_{xz} \;=\; \mu_0 \frac{\partial v_z}{\partial x} \;=\; 0</math></center>


<center><math>\tau_{yx} \;=\; \mu_0 \frac{\partial v_x}{\partial y} \;=\; 0</math></center>


<center><math>\tau_{yz} \;=\; \mu_0 \frac{\partial v_z}{\partial y} \;=\; 0</math></center>


<center><math>\tau_{zx} \;=\; \mu_0 \frac{\partial v_x}{\partial z} \;=\; \mu_0 \frac{\partial}{\partial z} \left( \frac{1}{2 \mu_0} \; \frac{\partial p}{\partial x} (z ^ 2 \;-\; h_0 z) \right) \;=\; \frac{1}{2} \; \frac{\partial p}{\partial x} \; (2z \;-\; h_0)</math></center>


<center><math>\tau_{zy} \;=\; \mu_0 \frac{\partial v_y}{\partial z} \;=\; 0</math></center>


As equações acima mostram que só estão presentes tensões no sentido do eixo X, devidas à pressão exercida no eixo Z. A tensão é nula no centro do fluxo, onde <math>z \;=\; \frac{h_0}{2}</math>. Nesse ponto, a velocidade é máxima


<center><math>v_x \left( \frac{h_0}{2} \right) \;=\; \frac{1}{2 \mu_0} \; \frac{\partial p}{\partial x} \; \left( \left( \frac{h_0}{2} \right) ^ 2 \;-\; h_0 \; \frac{h_0}{2} \right) \;=\; \frac{h_0^2}{8 \mu_0} \; \frac{\partial p}{\partial x}</math></center>


A velocidade é positiva, porque <math>\frac{\partial p}{\partial x}</math> é negativa (a pressão vai diminuindo no sentido do fluxo).


A vazão é dada por


<center><math>\Phi \;=\; \int_A v_x \; dA \;=\; \int_A v_x \; dz \; dy \;=\; W \int_0^{h_0} v_x \; dz</math></center>


onde W é a largura das placas. Assim,


<center><math>\Phi \;=\; W \int_0^{h_0} \frac{1}{2 \mu_0} \; \frac{\partial p}{\partial x} (z ^ 2 \;-\; h_0 z)\; dz \;=\; \frac{W}{2 \mu_0} \; \frac{\partial p}{\partial x} \; \left. \left( \frac{z^3}{3} \;-\; \frac{h_0 z^2}{2} \right) \right|_0^{h_0}</math></center>


<center><math>\Phi \;=\; \frac{W}{2 \mu_0} \; \frac{\partial p}{\partial x} \; \left( \frac{h_0^3}{3} \;-\; \frac{h_0^3}{2} \right) \;=\; - \; \frac{W \; h_0^3}{12 \mu_0} \; \frac{\partial p}{\partial x}</math></center>


A vazão é positiva, porque <math>\frac{\partial p}{\partial x}</math> é negativa. A velocidade média será


<center><math>\bar v_x \;=\; \frac{\Phi}{A} \;=\; \frac{ - \; \frac{W \; h_0^3}{12 \mu_0} \; \frac{\partial p}{\partial x}}{W \; h_0} \;=\; - \; \frac{h_0^2}{12 \mu_0} \; \frac{\partial p}{\partial x}</math></center>


que também é positiva. Verifica-se, assim, que a velocidade máxima é 50% superior à velocidade média.

De acordo com resultados experimentais, nesse tipo de problema, o escoamento se mantém laminar somente até valores muito limitados do número de Reynolds (tipicamente, 1400). O valor constante de <math>\frac{\partial p}{\partial x}</math> pode ser obtido facilmente medindo-se a perda de carga ao longo de um trecho de comprimento L e fazendo <math>\frac{\partial p}{\partial x} \;=\; \frac{\Delta p}{L}</math>

== Fluxo livre em um plano inclinado ==

A expressão ''fluxo livre'' significa que a única ação externa a que o fluido está sujeito é aquela devida ao seu próprio peso. A melhor escolha do eixo X é na direção do fluxo, ou seja, paralelo ao plano, com o eixo Z perpendicular a este e apontando para baixo. O eixo Y, em consequência, ficará também paralelo ao plano. Considerando-se um plano de inclinação Θ, esse peso terá componentes no eixo X e no eixo Z, mas não no eixo Y; chamemos g<sub>x</sub> e g<sub>z</sub> essas componentes. A hipótese de fluxo laminar implica, obviamente, em v<sub>z</sub> = v<sub>y</sub> = 0. Finalmente, devido à simetria, para uma propriedade η qualquer, 


<center><math>\frac{\partial \eta}{\partial y} \;=\; 0</math></center>


Neste caso, a equação de continuidade nos dá


<center><math>\nabla \cdot \vec v \;=\; 0 \Rightarrow \;\;\; \frac{\partial v_x}{\partial x} \;+\; \frac{\partial v_y}{\partial y} \;+\; \frac{\partial v_z}{\partial z} \;=\; 0 \Rightarrow \;\;\; \frac{\partial v_x}{\partial x} \;+\; 0 \;+\; 0 \;=\; 0</math></center>


A equação de Navier-Stokes referente ao eixo X, neste caso, simplifica-se para


<center><math>- \; \frac{\partial p}{\partial x} \;+\; \mu_0 \left( \frac{\partial ^2 v_x}{\partial x ^2} \;+\; \frac{\partial ^2 v_x}{\partial y ^2} \;+\; \frac{\partial ^2 v_x}{\partial z ^2} \right) \;+\; \rho_0 g_x \;=\; \rho_0 \left( v_x \frac{\partial v_x}{\partial x} \;+\; v_y \frac{\partial v_x}{\partial y} \;+\; v_z \frac{\partial v_x}{\partial z} \;+\; \frac{\partial v_x}{\partial t} \right)</math></center>


<center><math>- 0 \;+\; \mu_0 \left( 0 \;+\; 0 \;+\; \frac{\partial ^2 v_x}{\partial z ^2} \right) \;+\; \rho_0 g \sin \theta \;=\; \rho_0 \left( 0 \;+\; 0 \;+\; 0 \;+\; 0 \right) \Rightarrow \;\;\; \mu_0 \frac{\partial ^2 v_x}{\partial z ^2} \;=\; - \; \rho_0 g \sin \theta</math></center>


A variação da pressão ao longo do eixo X é nula, porque o líquido tem uma superfície livre e, portanto, à pressão atmosférica. Em outras palavras, p(x,y,0) = constante para todos os valores de x e de y.

Similarmente, para o eixo Y


<center><math>- \; \frac{\partial p}{\partial y} \;+\; \mu_0 \left( \frac{\partial ^2 v_y}{\partial x ^2} \;+\; \frac{\partial ^2 v_y}{\partial y ^2} \;+\; \frac{\partial ^2 v_y}{\partial z ^2} \right) \;=\; \rho_0 \left( v_y \frac{\partial v_x}{\partial x} \;+\; v_y \frac{\partial v_y}{\partial y} \;+\; v_z \frac{\partial v_y}{\partial z} \;+\; \frac{\partial v_x}{\partial t} \right)</math></center>


<center><math>0 \;+\; \mu_0 \left( 0 \;+\; 0 \;+\; 0 \right) \;=\; \rho_0 \left( 0 \;+\; 0 \;+\; 0 \;+\; 0 \right)</math></center>


E, para o eixo Z


<center><math>\;-\; \; \frac{\partial p}{\partial z} \;+\; \mu_0 \left( \frac{\partial ^2 v_z}{\partial x ^2} \;+\; \frac{\partial ^2 v_z}{\partial y ^2} \;+\; \frac{\partial ^2 v_z}{\partial z ^2} \right) \;+\; \rho_0 g_z \;=\; \rho_0 \left( v_x \frac{\partial v_z}{\partial x} \;+\; v_y \frac{\partial v_z}{\partial y} \;+\; v_z \frac{\partial v_z}{\partial z} \;+\; \frac{\partial v_z}{\partial t} \right)</math></center>


<center><math>\;-\; \; \frac{\partial p}{\partial z} \;+\; \mu_0 \left( 0 \;+\; 0 \;+\; 0 \right) \;+\; \rho_0 g \cos \theta \;=\; \rho_0 \left( 0 \;+\; 0 \;+\; 0 \;+\; 0 \right) \Rightarrow \;\;\; \frac{\partial p}{\partial z} \;=\; \rho_0 g \cos \theta</math></center>


Integrando a primeira equação, teremos


<center><math>\mu_0 \frac{\partial ^2 v_x}{\partial z ^2} \;=\; - \; \rho_0 g \sin \theta \Rightarrow \;\;\; v_x \;=\; - \; \frac{\rho_0 g \sin \theta}{2 \mu_0} \; z^2 \;+\; k_1 \; z \;+\; k_2</math></center>


Mas não pode haver fluxo em z = 0 (adjacente ao plano), nem tensões em z = - h<sub>0</sub> (superfície do fluido), portanto


<center><math>v_x (0) \;=\; 0 \Rightarrow \;\;\; k_2 \;=\; 0</math></center>


<center><math>\frac{\partial v_x}{\partial z} (-h_0) \;=\; 0 \Rightarrow \;\;\; \frac{\rho_0 g \sin \theta}{\mu_0} \; h_0 \;+\; k_1 \;=\; 0</math></center>


Portanto


<center><math>v_x \;=\; -\; \frac{\rho_0 g \sin \theta}{\mu_0} \left( \frac{z^2}{2} \;+\; h_0z \right)</math></center>


A equação que descreve o campo de tensões é, então, a seguinte


<center><math>\tau_{zx} \;=\; \mu_0 \frac{\partial v_x}{\partial z} \;=\; -\; \rho_0 g \sin \theta \left( z \;+\; h_0 \right)</math></center>


A tensão nos pontos ajdacentes ao plano inclinado será


<center><math>\tau_{zx}(0) \;=\; -\; \rho_0 g \sin \theta \left( 0 \;+\; h_0 \right) \;=\; -\; \rho_0 g h_0 \sin \theta</math></center>


o valor negativo indicando que ela aponta na direção negativa do eixo X, ou seja, é contrária ao fluxo. A vazão volumétrica será


<center><math>\Phi \;=\; \int_{Ax} v_x \; dz \; dy \;=\; W \int_{-h0}^0 - \frac{\rho_0 g \sin \theta}{\mu_0} \left( \frac{z^2}{2} \;+\; h_0z \right) dz</math></center>


onde W é a largura do plano. Assim,


<center><math>\Phi \;=\; \frac{\rho_0 g W \sin \theta}{\mu_0} \int_{-h0}^0 - \left( \frac{z^2}{2} \;+\; h_0z \right) dz \;=\; \frac{\rho_0 g W \sin \theta}{\mu_0} \left. \left( \frac{z^3}{6} \;+\; \frac{h_0z^2}{2} \right) \right|_0^{-h0}</math></center>


<center><math>\Phi \;=\; \frac{\rho_0 g W \sin \theta}{\mu_0}\left( -\; \frac{h_0^3}{6} \;+\; \frac{h_0^3}{2} \right) \;=\; \frac{\rho_0 g W h_0^3 \sin \theta}{3 \mu_0}</math></center>


Podemos calcular também a velocidade média


<center><math>\bar v_x \;=\; \frac{\Phi}{A_x} \;=\; \frac{\frac{\rho_0 g W h_0^3 \sin \theta}{3 \mu_0}}{Wh_0} \;=\; \frac{\rho_0 g  h_0^2 \sin \theta}{3 \mu_0}</math></center>


Quanto à segunda equação


<center><math>\frac{\partial p}{\partial z} \;=\; \rho_0 g \cos \theta</math></center>


Ela nos fornece informação a respeito do campo de pressões, informação esta que coincide com aquela derivável da análise estática.

== Fluxo livre entre dois cilindros concêntricos girantes ==

Consideremos agora dois cilindros verticais concêntricos, com o cilindro exterior girando a uma velocidade constante ω<sub>0</sub> e com um fluido Newtoniano no espaço entre eles. Dessa maneira, o fluido se movimenta em relação ao cilindro exterior. Chamemos R ao raio do cilindro interior e R + h<sub>0</sub> ao raio do cilindro exterior. A geometria do problema pede o uso de coordenadas colindricas; para que o eixo Z aponte para baixo, a regra da mão direita exige que o ângulo Θ seja medido no sentido horário. Suponhamos que o giro do cilindro maior esteja nesse mesmo sentido, o que fará com que ω<sub>0</sub> seja positiva.

Como vimos [[Mecânica dos fluidos/Equações básicas em coordenadas cilíndricas para o líquido Newtoniano|anteriormente]], as equações básicas em coordenadas cilíndricas são as seguintes:


<center><math>\frac{1}{r} \; \frac{\partial}{\partial r} \; (r v_r) \;+\; \frac{1}{r} \; \frac{\partial}{\partial \theta} \; (v_{\theta}) \;+\; \frac{\partial}{\partial z} \; (v_z) \;=\; 0</math></center>


<center><math>\rho_0 \left( \frac{\partial v_r}{\partial t} \;+\; v_r \; \frac{\partial v_r}{\partial r} \;+\; \frac{v_{\theta}}{r} \; \frac{\partial v_r}{\partial \theta} \;-\; \frac{v_{\theta} ^2}{r} \;+\; v_r \; \frac{\partial v_r}{\partial z} \right) \;=\;</math></center>


<center><math>\;=\; \rho_0 g_r \;-\; \frac{\partial p}{\partial r} \;+\; \mu_0 \; \left[ \frac{\partial}{\partial r} \left( \frac{1}{r} \; \frac{\partial}{\partial r} (r v_r ) \right) \;+\; \frac{1}{r^2} \; \frac{\partial ^2 v_r}{\partial \theta ^2} \;-\; \frac{2}{r^2} \; \frac{\partial v_{\theta}}{\partial \theta} \;+\; \frac{\partial ^2 v_r}{\partial z ^2} \right]</math></center>


<center><math>\rho_0 \left( \frac{\partial v_{\theta}}{\partial t} \;+\; v_r \; \frac{\partial v_{\theta}}{\partial r} \;+\; \frac{v_{\theta}}{r} \; \frac{\partial v_{\theta}}{\partial \theta} \;+\; \frac{v_r v_{\theta}}{r} \;+\; v_r \; \frac{\partial v_{\theta}}{\partial z} \right) \;=\;</math></center>


<center><math>\;=\; \rho_0 g_{\theta} \;-\; \frac{1}{r} \; \frac{\partial p}{\partial \theta} \;+\; \mu_0 \; \left[ \frac{\partial}{\partial r} \left( \frac{1}{r} \; \frac{\partial}{\partial r} (r v_{\theta} ) \right) \;+\; \frac{1}{r^2} \; \frac{\partial ^2 v_{\theta}}{\partial \theta ^2} \;+\; \frac{2}{r^2} \; \frac{\partial v_{\theta}}{\partial \theta} \;+\; \frac{\partial ^2 v_{\theta}}{\partial z ^2} \right]</math></center>


<center><math>\rho_0 \left( \frac{\partial v_z}{\partial t} \;+\; v_r \; \frac{\partial v_z}{\partial r} \;+\; \frac{v_{\theta}}{r} \; \frac{\partial v_z}{\partial \theta} \;+\; v_z \; \frac{\partial v_z}{\partial z} \right) \;=\;</math></center>


<center><math>\;=\; \rho_0 g_z \;-\; \frac{\partial p}{\partial z} \;+\; \mu_0 \; \left[ \frac{1}{r} \; \frac{\partial}{\partial r} \left( r \; \frac{\partial v_z}{\partial r} \right) \;+\; \frac{1}{r^2} \; \frac{\partial ^2 v_z}{\partial \theta ^2} \;+\; \frac{\partial ^2 v_z}{\partial z ^2} \right]</math></center>


A geometria do problema implica em


<center><math>g_r \;=\; g_{\theta} \;=\; 0 \qquad g_z \;=\; g \qquad \qquad \frac{\partial \eta}{\partial \theta} \;=\; 0</math></center>


para qualquer propriedade η. O movimento é unidimensional, portanto v<sub>r</sub> = v<sub>z</sub> = 0. Como v<sub>Θ</sub> = f(r), teremos


<center><math>\frac{\partial v_{\theta}}{\partial t} \;=\; \frac{\partial v_{\theta}}{\partial \theta} \;=\; \frac{\partial v_{\theta}}{\partial z} \;=\; 0</math></center>


Assim, as equações se simplificam para


<center><math>0 \;+\; \frac{1}{r} \; \frac{\partial}{\partial \theta} \; (v_{\theta}) \;+\; 0 \;=\; 0</math></center>


<center><math>\rho_0 \left( 0 \;+\; 0 \;+\; 0 \;-\; \frac{v_{\theta} ^2}{r} \;+\; 0 \right) \;=\; 0 \;-\; \frac{\partial p}{\partial r} \;+\; \mu_0 \; \left[ 0 \;+\; 0 \;-\; 0 \;+\; 0 \right] \Rightarrow \;\;\; \rho_0 \frac{v_{\theta} ^2}{r} \;=\; \frac{\partial p}{\partial r}</math></center>


<center><math>\rho_0 \left( 0 \;+\; 0 \;+\; 0 \;+\; 0 \;+\; 0 \right) \;=\; 0 \;-\; 0 \;+\; \mu_0 \; \left[ \frac{\partial}{\partial r} \left( \frac{1}{r} \; \frac{\partial}{\partial r} (r v_{\theta} ) \right) \;+\; 0 \;+\; 0 \;+\; 0 \right]  \Rightarrow \;\;\; 0 \;=\; \frac{\partial}{\partial r} \left( \frac{1}{r} \; \frac{\partial}{\partial r} (r v_{\theta} ) \right)</math></center>


<center><math>\rho_0 \left( 0 \;+\; 0 \;+\; 0 \;+\; 0 \right) \;=\; \rho g \;-\; \frac{\partial p}{\partial z} \;+\; \mu_0 \; \left[  0 \;+\; 0 \;+\; 0 \right] \Rightarrow \;\;\; \rho g \;=\; \frac{\partial p}{\partial z}</math></center>


Novamente, a última equação traz informação a respeito da variação de pressão que coincide com a proporcionada pela análise estática. A equação de continuidade nos diz simplesmente que a velocidade deve ser constante ao longo do fluxo. Resolvendo a segunda equação:


<center><math>\frac{1}{r} \; \frac{d}{dr} (r v_{\theta}) \;=\; k_1 \Rightarrow \;\;\; \frac{d}{dr} (r v_{\theta}) \;=\; k_1 r \Rightarrow \;\;\; (r v_{\theta}) \;=\; \frac{k_1}{2} r^2 \;+\; k_2</math></center>


<center><math>v_{\theta} \;=\; \frac{k_1}{2} r \;+\; \frac{k_2}{r}</math></center>


No ponto adjacente ao cilindro menor (r = R), vΘ = 0, portanto


<center><math>0 \;=\; \frac{k_1}{2} R \;+\; \frac{k_2}{R} \Rightarrow \;\;\; k_2 \;=\; - \; \frac{k_1}{2} R^2</math></center>


No ponto adjacente ao cilindro maior (r = R + h<sub>0</sub>), vΘ = ω<sub>0</sub>r , portanto


<center><math>\omega_0 \; (R \;+\; h_0) \;=\; \frac{k_1}{2} (R \;+\; h_0) \;+\; \frac{k_2}{R \;+\; h_0} \Rightarrow \;\;\; \omega_0 \;=\; \frac{k_1}{2} \;-\; \frac{k_1}{2} R^2 \; \frac{1}{(R \;+\; h_0) ^2}</math></center>


<center><math>k_1 \;=\; \frac{2 \omega_0}{1 \;-\; \left( \frac{R}{R \;+\; h_0} \right) ^2}</math></center>


E assim


<center><math>k_2 \;=\; - \; \frac{k_1}{2} R^2 \;=\; - \; \frac{\omega_0 R^2}{1 \;-\; \left( \frac{R}{R \;+\; h_0} \right) ^2}</math></center>


Logo, a expressão para a velocidade vΘ é a seguinte:


<center><math>v_{\theta} \;=\; \frac{\omega_0}{1 \;-\; \left( \frac{R}{R \;+\; h_0} \right) ^2} \; r \;-\; \frac{\omega_0 R^2}{1 \;-\; \left( \frac{R}{R \;+\; h_0} \right) ^2} \; \frac{1}{r} \;=\; \frac{\omega_0}{1 \;-\; \left( \frac{R}{R \;+\; h_0} \right) ^2} \left( r - \frac{R^2}{r} \right)</math></center>


A partir dessa expressão, podemos encontrar o valor da tensão cisalhante τ<sub>rΘ</sub>


<center><math>\tau_{r \theta} \;=\; \mu_0 \left[ r \frac{\partial}{\partial r} \left( \frac{v_{\theta}}{r} \right) \;+\; \frac{1}{r} \frac{\partial v_r}{\partial \theta} \right] \;=\; \mu_0 \left[ r \frac{\partial}{\partial r} \left( \frac{k_1}{2} \;+\; \frac{k_2}{r^2}\right) \;+\; 0 \right]</math></center>


<center><math>\tau_{r \theta} \;=\; \mu_0 \left[ r \left( - \; \frac{2k_2}{r^3} \right) \right] \;=\; - \; \frac{2 \mu_0 k_2}{r^2} \;=\; \frac{2 \mu_0 \omega_0 R^2}{1 \;-\; \left( \frac{R}{R \;+\; h_0} \right) ^2} \; \frac{1}{r^2}</math></center>


o valor positivo indicando uma tensão na direção do movimento (o cilindro externo arrasta o fluido). Sabemos que a tensão será máxima quando r = R (velocidade nula)


<center><math>\tau_{r \theta} (R) \;=\; \frac{2 \mu_0 \omega_0 R^2}{1 \;-\; \left( \frac{R}{R \;+\; h_0} \right) ^2} \; \frac{1}{R^2} \;=\; \frac{2 \mu_0 \omega_0}{1 \;-\; \left( \frac{R}{R \;+\; h_0} \right) ^2}</math></center>

== Exercícios resolvidos ==

*[[Mecânica dos fluidos/Exercícios resolvidos/E1|E1]]
*[[Mecânica dos fluidos/Exercícios resolvidos/E2|E2]]
*[[Mecânica dos fluidos/Exercícios resolvidos/E3|E3]]
*[[Mecânica dos fluidos/Exercícios resolvidos/E4|E4]]
*[[Mecânica dos fluidos/Exercícios resolvidos/E6|E6]]


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