Mostrar código-fonte de Introdução à Atuária/Cálculo de Prêmios/Risco de Sobrevivência

O '''risco de sobrevivência''' é o risco que a seguradora tem que um beneficiário de produto que garantam o pagamento de uma ou mais rendas durante seu período de vida venha a sobreviver.

==Formula genérica==
;Sobrevivência Capital
A formula que expressa a Sobrevivência Capital é dada por <math>_nE_x\,\!</math>. Onde,
*<math>_x\,\!</math>: idade atual do segurado;
*<math>_n\,\!</math>: intervalo para recebimento.

;Rendas Aleatórias
O risco de sobrevivência para os cálculos envolvendo rendas é expresso a partir da formulação <math>_m/_na_x\,\!</math>. Onde,
*<math>_x\,\!</math>: idade atual do beneficiário;
*<math>_m\,\!</math>: período de diferimento;
*<math>_n\,\!</math>: duração do beneficio;
*<math>a\ ou\ \ddot{a}\,\!</math>: tempo de pagamento: início (tremado) ou fim do período (sem trema).

;Anuidade Tontineira
A formula que representa a Anuidade Tontineira é expressa por <math>/_n \ddot{S}_x</math>. Onde,
*<math>_x\,\!</math>: idade atual do beneficiário;
*<math>_n\,\!</math>: intervalo para recebimento.

==Sobrevivência Capital==
Sendo Q o Capital Segurado, o cálculo da Sobrevivência Capital é dado por:

<math>_nE_x=\frac{D_{x+n}}{D_x}\times Q\,\!</math>

==Rendas==
Baseados na formulação genérica para renda vista acima, desenvolveremos agora as coberturas possíveis. Todos os modelos apresentados abaixo calculam um prêmio único e puro e utilizam uma renda (representada por R) unitária, para facilitar as deduções.

As coberturas variam basicamente em três aspectos: 
*Início da cobertura: imediato ou diferido, em ''m'' anos.
*Duração da cobertura: vitalícia ou temporária, em ''n'' anos.
*Época do pagamento: antecipado (''ä'') ou postecipado (''a'')
;Renda Imediata Vitalícia Antecipada
<math>\ddot{a}_x=\frac{N_{x}}{D_x}\times R\,\!</math> 
;Renda Imediata Vitalícia Postecipada
<math>a_x=\frac{N_{x+1}}{D_x}\times R\,\!</math> 
;Renda Diferida Vitalícia Antecipada
<math>_m/\ddot{a}_x=\frac{N_{x+m}}{D_x}\times R\,\!</math>
;Renda Diferida Vitalícia Postecipada
<math>_m/a_x=\frac{N_{x+m+1}}{D_x}\times R\,\!</math>
;Renda Imediata Temporária Antecipada
<math>/_n\ddot{a}_x=\frac{N_x-N_{x+n}}{D_x}\times R\,\!</math> 
;Renda Imediata Temporária Postecipada
<math>/_na_x=\frac{N_{x+1}-N_{x+n+1}}{D_x}\times R\,\!</math> 
;Renda Diferida Temporária Antecipada
<math>_m/_n\ddot{a}_x=\frac{N_{x+m}-N_{x+n+m}}{D_x}\times R\,\!</math>
;Renda Diferida Temporária Postecipada
<math>_m/_na_x=\frac{N_{x+m+1}-N_{x+n+m+1}}{D_x}\times R\,\!</math>

==Anuidade Tontineira==
Nessa modalidade de seguro, o beneficiário paga periodicamente uma quantia P e recebe, se vivo estiver no momento <math>x+n</math> o valor representado por <math>/_n \ddot{S}_x</math>.

<math>/_n \ddot{S}_x=\frac{N_x-N_{x+n}}{D_{x+n}}\times P</math>
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