Mostrar código-fonte de Guia de problemas matemáticos/Geometria plana/Problema das circunferências tangentes 1

==Descrição do problema==
Três circunferências de raios 6 cm, 7 cm e 8 cm tangenciam-se externamente de modo que a primeira tangencia a segunda; a segunda tangencia a terceira e esta tangencia a primeira. Sejam P, S e Q os seus pontos de tangência. Calcule o raio da circunferência inscrita no triângulo <math>PSQ</math>.

==Solução==
De acordo com o problema, podemos criar a figura adiante:

[[Imagem: Figura_3.PNG|thumb|Imagem ilustrativa do problema.|600px|center]]

Sendo o triângulo <i><b>ABC</i></b> formado pelos centros das circunferências e o triângulo <i><b>pqs</i></b> formado pelos pontos de tangência entre as circunferências. Perecebe-se também que os segmentos <i><b>AB</i></b>, <i><b>AC</i></b> e <i><b>BC</i></b> têm 13, 14 e 15 centímetros respectivamente. A cirunferência <i><b>k</b></i> está inscrita no triângulo <i><b>pqs</i></b>, sendo <i>r</i> o seu raio.

Olhando atentamente, podemos calcular a área do triângulo <i><b>ABC</i></b> pela fórmula <math>A = \sqrt{p.(p-a).(p-b).(p-c)}</math> (onde <i>p</i> é o semiperímetro do triângulo e <i>a</i>, <i>b</i> e <i>c</i> são seus lados) e, em seguida, aplicar a fórmula <math>A = \frac{a.b.\sin\alpha}{2}</math> para cada ângulo do referido triângulo. Dessa maneira, conseguiremos o valor dos senos dos três ângulos para, posteriormente, calcularmos seus respectivos cossenos e prosseguirmos com o raciocínio.

<b><i><big>Calculando o valor de <math>\cos\alpha</math></big></i></b>

<math>A = \sqrt{21.(21-13).(21-14).(21-15)}\rightarrow A = \sqrt{21.8.7.6} \rightarrow A = \sqrt{2^4.3^2.7^2} \rightarrow A = 84 cm^2</math>

<math>A = \frac{AB.AC.\sin\alpha}{2} \rightarrow 84 = \frac{13.14.\sin\alpha}{2} \rightarrow 84 = 13.7.\sin\alpha \rightarrow \sin\alpha = \frac{12}{13}</math>

<math>\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 \rightarrow \frac{144}{169} + \cos^2\alpha = 1 \rightarrow \cos^2\alpha = 1 - \frac{144}{169} \rightarrow \cos^2\alpha = \frac{25}{169} \rightarrow \cos\alpha = \frac{5}{13}</math>


<b><i><big>Calculando o valor de <math>\cos\beta</math></big></i></b>

<math>A = \frac{AB.BC.\sin\beta}{2} \rightarrow 84 = \frac{13.15.\sin\beta}{2} \rightarrow 168 = 13.15.\sin\beta \rightarrow \sin\beta = \frac{56}{65}</math>

<math>\sin^2\beta + \cos^2\beta = 1 \rightarrow \frac{3136}{4225} + \cos^2\beta = 1 \rightarrow \cos^2\beta = 1 - \frac{3136}{4225} \rightarrow \cos^2\beta = \frac{1089}{4225} \rightarrow \cos\beta = \frac{33}{65}</math>


<b><i><big>Calculando o valor de <math>\cos\gamma</math></big></i></b>

<math>A = \frac{BC.AC.\sin\gamma}{2} \rightarrow 84 = \frac{14.15.\sin\gamma}{2} \rightarrow 12 = 15.\sin\gamma \rightarrow \sin\gamma = \frac{4}{5}</math>

<math> \sin^2\gamma + \cos^2\gamma = 1 \rightarrow \frac{16}{25} + \cos^2\gamma = 1 \rightarrow \cos^2\gamma = 1 - \frac{16}{25} \rightarrow \cos^2\gamma = \frac{9}{25} \rightarrow \cos\gamma = \frac{3}{5}</math>


Agora, com os valores dos cossenos dos ângulos em mãos, podemos calcular o valor dos lados do triângulo <i><b>pqs</i></b> pela Lei dos Cossenos.

<b><i><big>Calculando o valor de <math>\overline{ps}</math></big></i></b>

Aplicando a Lei dos Cossenos no triângulo <i><b>Aps</i></b> tem-se:

<math>ps^2 = 6^2 + 6^2 - 2.6.6.\cos\alpha \rightarrow ps^2 = 2.36 - 2.36.\frac{5}{13} \rightarrow ps^2 = \frac{26.36 - 10.36}{13} \rightarrow ps^2 = \frac{16.36}{13}</math> 
<math>\rightarrow ps = \frac{24}{\sqrt{13}} \rightarrow ps = \frac{24\sqrt{13}}{13}cm</math>

<b><i><big>Calculando o valor de <math>\overline{pq}</math></big></i></b>

Aplicando a Lei dos Cossenos no triângulo <i><b>Bpq</i></b> tem-se:

<math>pq^2 = 7^2 + 7^2 - 2.7.7.\cos\beta \rightarrow pq^2 = 2.49 - 2.49.\frac{33}{65} \rightarrow pq^2 = \frac{130.49 - 66.49}{65} \rightarrow pq^2 = \frac{64.49}{65} \rightarrow</math> 
<math>pq = \frac{56}{\sqrt{65}} \rightarrow pq = \frac{56\sqrt{65}}{65}cm</math>

<b><i><big>Calculando o valor de <math>\overline{qs}</math></big></i></b>

Aplicando a Lei dos Cossenos no triângulo <i><b>Cqs</i></b> tem-se:

<math>qs^2 = 8^2 + 8^2 - 2.8.8.\cos\gamma \rightarrow qs^2 = 2.64 - 2.64.\frac{3}{5} \rightarrow qs^2 = \frac{10.64 - 6.64}{5} \rightarrow qs^2 = \frac{4.64}{5} \rightarrow qs = \frac{16}{\sqrt{5}} </math> 
<math>qs = \frac{16\sqrt{5}}{5}cm</math>

Pois bem. Agora, podemos descobrir o valor do raio da circunferência inscrita no triângulo <i><b>ABC</i></b> através da fórmula <math>R = \frac{A}{p}</math>, na qual <i>R</i> é o raio da circunferência inscrita no triângulo, <i>A</i> e <i>p</i> são a área e o semi-perímetro do mesmo. Podemos notar que esse raio será também o da circunferência circunscrita ao triângulo <i><b>pqs</i></b> e, a partir dele e dos lados do referido triângulo, podemos encontrar o que o problema pede: o raio da circunferência inscrita nele.

<b><i><big>Calculando o valor do raio da circunferência inscrita em <math>pqs</math></big></i></b>

Aplicando a fórmula do raio da circunferência inscrita num triângulo qualquer para o triângulo <i><b>ABC</i></b>:
<math>R = \frac{A_{ABC}}{p_{ABC}} \rightarrow R = \frac{84}{21} \rightarrow R = 4cm</math>

Como esse também é o raio da circunferência circunscrita ao triângulo <i><b>pqs</i></b> podemos calcular o tão esperado raio da circunferência inscrita neste:

<math>r = \frac{A_{pqs}}{p_{pqs}}</math>

Mas: <math>A = \frac{pq.qs.ps}{4R}</math>, sendo <i>R</i> o raio da circunferência circunscrita ao triângulo <i><b>pqs</i></b>. Portanto:

<math>r = \frac{pq.qs.ps}{4Rp} \rightarrow r =\frac{\left(\frac{24\sqrt{13}}{13}\right).\left(\frac{56\sqrt{65}}{65}\right).\left(\frac{16\sqrt{5}}{5}\right)}{4.4.\left(\frac{\frac{24\sqrt{13}}{13}+\frac{56\sqrt{65}}{65}+\frac{16\sqrt{5}}{5}}{2}\right)} \rightarrow</math> <math> r = \frac{\left(\frac{24.56.16.65}{13.5.65}\right)}{8.8.\left(\frac{15\sqrt{13}+7\sqrt{65}+26\sqrt{5}}{65}\right)} \rightarrow</math>


<math> r = \frac{24.56.16}{8.8.\left(15\sqrt{13}+7\sqrt{65}+26\sqrt{5}\right)} \rightarrow r = \frac{21.16}{\sqrt{13}.\left(15+7\sqrt{5}\right) + 26\sqrt{5}} \rightarrow</math>

<math>r = \frac{21.16}{\sqrt{13}\left(15+7\sqrt{5}+2\sqrt{13}\sqrt{5}\right)} \rightarrow r = \frac{21.16}{\sqrt{13}\sqrt{5}\left(3\sqrt{5} + 7 + 2\sqrt{13}\right)}
 \rightarrow</math>

<math>r = \frac{21.16\sqrt{65}}{65.\left(3\sqrt{5}+7+2\sqrt{13}\right)}</math>

Esse foi o valor final que eu encontrei para <i>r</i>. Eu ainda não consegui racionalizar mais, a ponto de tornar expressão mais simples... Caso você tenha uma outra solução, sinta-se livre para editar o artigo, apenas utilize a aba "Discussão" para discutir as soluções antes de alterar o tópico. Sinta-se livre também para comentar, criticar ou sugerir qualquer coisa.

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