Mostrar código-fonte de Física Computacional/Equações Diferenciais Ordinárias

=='''3 Equações Diferenciais Ordinárias'''==
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Em Física e em outros ramos correlatos da Ciência, é comum a preocupação com a evolução temporal das propriedades estudadas, uma das maneiras de fazer isso é estudar a relação entre a taxa de variação temporal desta propriedade e funções da mesma. A teoria de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) possibilita classificar as equações quanto a ordem, linearidade, homogeneidade e esta classificação é importante por guardar relação com possíveis técnicas analíticas de solução, bem como guarda relação com métodos computacionais. A intenção deste texto é discutir e introduzir esses elementos de classificação no momento em que eles forem necessários e relevantes ao longo dos problemas e exemplos, pois o leitor interessado em aprofundar-se na teoria de (EDOs) pode fazer isso através da literatura especializada sobre o assunto. Nossa ênfase neste texto será nos métodos computacionais para a solução de problemas da Física.
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=='''3.1 Crescimento Populacional Exponencial'''==
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Um exemplo simples para ilustrar este contexto é o do [[w:Crescimento_exponencial|crescimento exponencial]], em condições ideais a população de uma bactéria <math>P\left(t \right)</math> cresce a uma taxa de variação que depende diretamente do valor de <math>P\left(t \right)</math>, essas condições ideais guardam relação com espaço livre no meio de crescimento, abundância de suprimento alimentar e também clima e temperatura, tudo isso possibilita o crescimento da população tão mais rápido quanto maior a população num dado instante de tempo, ou seja, trata-se de uma taxa de variação da população no tempo diretamente proporcional a essa população nesse mesmo instante de tempo, matematicamente podemos expressar, 
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{{NumBlk|::|<math>
   \frac{dP\left(t\right)}{dt} = P\left(t\right).
</math>|{{EquationRef|3.1|3.1}}}}

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A equação  ({{EquationNote|3.1}}) é de fácil solução, usando-se a técnica de separação de variáveis, podemos isolar termos da população e termos do tempo obtendo relações diferenciais de única variável que podem ser integradas com objetivo de conhecer a dependência funcional que a população possui do tempo, conforme será feito a seguir,
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{{NumBlk|::|<math>
   \int \frac{dP}{P} = \int dt \Rightarrow
   \ln \left|P\right|=t \Rightarrow
   P\left(t\right)=c e^{t}.
</math>|{{EquationRef|3.2|3.2}}}}

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O resultado obtido na equação ({{EquationNote|3.2}}) possui uma constante <math>c</math> e isto está de acordo com a teoria de equações diferenciais, pois quando olhamos para a equação ({{EquationNote|3.1}}), notamos que a mais alta derivada é de primeira ordem, isso classifica a equação diferencial como equação de primeira ordem e neste caso uma constante de integração precisa ser obtida. Se houvessem derivadas de segunda ordem, duas constantes de integração precisariam ser obtidas. O resultado em ({{EquationNote|3.2}}) está expresso com a constante de integração <math>c</math> mas se conhecido qual o valor inicial da população, a exemplo da relação <math>P\left(t=0\right)=P_0</math>, isto pode possibilitar conhecer a constante de integração em termos dos valores iniciais, para que isso seja possível precisamos examinar o resultado em ({{EquationNote|3.2}}) com valor inicial do tempo,   
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{{NumBlk|::|<math>
   P\left(0\right)=P_0 \Rightarrow
   ce^0=P_0 \Rightarrow 
   c=P_0.  
</math>|{{EquationRef|3.3|3.3}}}}

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O valor obtido para a constante de integração completa o modelo analítico e ao ser substituído em ({{EquationNote|3.2}}) expressa a solução final do crescimento populacional exponencial,
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{{NumBlk|::|<math>
   P\left(t\right)=P_0 e^{t}. 
</math>|{{EquationRef|3.4|Eq.3.4}}}}