Física Computacional/Equações Diferenciais Ordinárias
3 Equações Diferenciais Ordinárias
Em Física e em outros ramos correlatos da Ciência, é comum a preocupação com a evolução temporal das propriedades estudadas, uma das maneiras de fazer isso é estudar a relação entre a taxa de variação temporal desta propriedade e funções da mesma. A teoria de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) possibilita classificar as equações quanto a ordem, linearidade, homogeneidade e esta classificação é importante por guardar relação com possíveis técnicas analíticas de solução, bem como guarda relação com métodos computacionais. A intenção deste texto é discutir e introduzir esses elementos de classificação no momento em que eles forem necessários e relevantes ao longo dos problemas e exemplos, pois o leitor interessado em aprofundar-se na teoria de (EDOs) pode fazer isso através da literatura especializada sobre o assunto. Nossa ênfase neste texto será nos métodos computacionais para a solução de problemas da Física.
3.1 Crescimento Populacional Exponencial
Um exemplo simples para ilustrar este contexto é o do crescimento exponencial, em condições ideais a população de uma bactéria cresce a uma taxa de variação que depende diretamente do valor de , essas condições ideais guardam relação com espaço livre no meio de crescimento, abundância de suprimento alimentar e também clima e temperatura, tudo isso possibilita o crescimento da população tão mais rápido quanto maior a população num dado instante de tempo, ou seja, trata-se de uma taxa de variação da população no tempo diretamente proporcional a essa população nesse mesmo instante de tempo, matematicamente podemos expressar,
A equação (Predefinição:EquationNote) é de fácil solução, usando-se a técnica de separação de variáveis, podemos isolar termos da população e termos do tempo obtendo relações diferenciais de única variável que podem ser integradas com objetivo de conhecer a dependência funcional que a população possui do tempo, conforme será feito a seguir,
O resultado obtido na equação (Predefinição:EquationNote) possui uma constante e isto está de acordo com a teoria de equações diferenciais, pois quando olhamos para a equação (Predefinição:EquationNote), notamos que a mais alta derivada é de primeira ordem, isso classifica a equação diferencial como equação de primeira ordem e neste caso uma constante de integração precisa ser obtida. Se houvessem derivadas de segunda ordem, duas constantes de integração precisariam ser obtidas. O resultado em (Predefinição:EquationNote) está expresso com a constante de integração mas se conhecido qual o valor inicial da população, a exemplo da relação , isto pode possibilitar conhecer a constante de integração em termos dos valores iniciais, para que isso seja possível precisamos examinar o resultado em (Predefinição:EquationNote) com valor inicial do tempo,
O valor obtido para a constante de integração completa o modelo analítico e ao ser substituído em (Predefinição:EquationNote) expressa a solução final do crescimento populacional exponencial,