Mostrar código-fonte de Economia Matemática/Exercícios/Sosa

== Exemplo 4.2.3 <ref>CROUZEIX, Jean Pierre; KERAGHEL, Abdelkrim; SANDOVAL, Wilfredo Sosa. '''Programación Matemática Diferenciable'''. Lima: Universidad Nacional de Ingeniería - Faculdad de Ciencias, 2011.</ref> - Poliedro==

Um produtor de cerveja dispõe de 240 kg de milho, 5 kg de lúpulo e 595 kg de malte. Para produzir um barril de cerveja preta se requer de 2,5 kg de milho, 0,125 kg de lúpulo e 17 kg de malte enquanto que, para produzir um barril de cerveja loira, se requer de 7,5 kg de milho, 0,125 kg de lúpulo e 10 kg de malte. Calcular a máxima produção para obter a maior receita sabendo que um barril de cerveja preta custa 180 reais enquanto que a loira custa 120 reais.
 

Solução
 

Seja <math>P</math> a quantidade de barril de CP e <math>l</math> a quantidade de barril de CL.
 

<table border="1" cellpadding="2" cellspacing="0" style="text-align: center;">
<tr><th></th><th>milho</th><th>lúpulo</th><th>malte</th></tr>
<tr><th><math>P</math></th><td><math>2{,}5</math></td><td><math>0{,}125</math></td><td><math>17</math></td></tr>
<tr><th><math>l</math></th><td><math>7{,}5</math></td><td><math>0{,}125</math></td><td><math>10</math></td></tr>
<tr><th>total</th><td><math>240</math></td><td><math>5</math></td><td><math>595</math></td></tr>
</table>
 

{|
| max
| <math>f(P,l) = 180P + 120l</math>
| maximizar o lucro - esta é a função objetivo
|-
| s.a
| <math>2{,}5P + 7{,}5l \le 240</math>
| limite de quantidade de milho
|-
| 
| <math>0{,}125P + 0{,}125l \le 5</math>
| limite de quantidade de lúpulo
|-
|
| <math>17P + 10l \le 595</math>
| limite de quantidade de malte
|-
|
| <math>P \ge 0 \rightarrow -P \le 0</math> e <math>l \ge 0 \rightarrow -l \le 0</math>
| não se pode comprar uma quantidade negativa
|}
 

Poliedro ([[Matemática divertida/Poliedros|Wikibooks]], [https://pt.wikipedia.org/wiki/Poliedro Wikipédia])
 

a) Desenhar os hiperplanos que, juntos, definem a restrição.
 

:{|
| <math>H1 = (96,0) , (0,32)</math>
| vetor normal <math>[2{,}5;7{,}5]</math>
|-
| <math>H2 = (40,0) , (0,40)</math>
| vetor normal <math>[0{,}125;0{,}125]</math>
|-
| <math>H3 = (35,0) , (0;59{,}5)</math>
| vetor normal <math>[17,10]</math>
|}
 

:Para encontrar <math>P = 96</math> e <math>l = 32</math> em <math>H1</math>, foram considerados <math>l</math> e <math>P</math> como zero, respectivamente. Feito o mesmo procedimento para os valores de outros hiperplanos.
 

:No [https://pt.wikipedia.org/wiki/Scilab Scilab], para visualizar o gráfico de <math>H1</math>, por exemplo, digite:
::<math>x=[96;0]</math>
::<math>y=[0;32]</math>
::<math>\text{plot}(x,y,</math> '<math>b</math>'<math>)</math>
 

O Poliedro ([[Matemática divertida/Poliedros|Wikibooks]], [https://pt.wikipedia.org/wiki/Poliedro Wikipédia]) tem quatro vértices e a solução é um deles. Então, calculando <math>P</math>, <math>l</math> e <math>f(P,l)</math>, temos:
 

:<math>P = 0 \rightarrow l = 32</math> (o maior dentro da restrição)
:Com as equações <math>2{,}5P + 7{,}5l \le 240</math> e <math>0{,}125P + 0{,}125l \le 5 \rightarrow P = 12</math> e <math>l = 28</math>
:Com as equações <math>0{,}125P + 0{,}125l \le 5</math> e <math>17P + 10l \le 595 \rightarrow P \approx 27{,}85714286</math> e <math>l \approx 12{,}14285714</math>
:<math>l = 0 \rightarrow P = 35</math> (o maior dentro da restrição)
 

:<math>V1 = f(0,32) = 3.840</math>
:<math>V2 = f(12,28) = 5.520</math>
:<math>{\color{Blue}V3 = f(27{,}86;12{,}14) = 6.471{,}43}</math>
:<math>V4 = f(35,0) = 6.300</math>
 

:Encontrando o segundo vértice pelo [https://pt.wikipedia.org/wiki/Scilab Scilab]:
 

::<math>A = [2.5 \quad 7.5 \quad ; \quad 0.125 \quad 0.125]</math>
::<math>b = [240 \quad ; \quad 5]</math>
::<math>x1 = A \setminus b</math>, que é equivalente a <math>Ax = b</math> e retornará <math>x1 = [12 \quad 28]</math>.
 

:O mesmo procedimento para outros vértices.
 

[[Ficheiro:Grafico poliedro.png|||alt=Gráfico de Poliedro|semmoldura|nenhum||474x286px|]]
 

Ainda precisamos utilizar o [https://en.wikipedia.org/wiki/Farkas'_lemma Lema de Farkas] para verificar se, em cada vértice, não existe negatividade. Utilizando [https://pt.wikipedia.org/wiki/Scilab Scilab]:
 

:1º vértice:
 

::<math>A = [2.5 \quad 7.5 \quad ; \quad -1 \quad 0]</math>
::<math>B = A'</math> (equivalente a <math>B = A' = A^T = [2.5 \quad -1 \quad ; \quad 7.5 \quad 0]</math>)
::<math>c = [180 \quad ; \quad 120]</math>
::<math>u = B \setminus c</math> e retornará <math>[16 \quad -140]</math>. Não pode ser a solução.
 

:O mesmo procedimento para outros vértices:
 

::No V2: <math>u = B \setminus c</math> retornará <math>[-12 \quad 1680]</math>. Não pode ser a solução.
::No V3: <math>u = B \setminus c</math> retornará <math>{\color{Blue}[274{,}28571 \quad 8{,}5714286]}</math>. É uma das soluções.
::No V4: <math>u = B \setminus c</math> retornará <math>[10{,}588235 \quad -14{,}117647]</math>. Não pode ser a solução.
 

Resposta final: além de o V3 ser maior, é a única solução.
 

== Problema do consumidor (mercado com dois bens) ==

Maximizar <math>u(x,y) = 7x^{1/2}y^{1/3}</math>

<math>P = (2,3)</math>, <math>w = (5,6)</math>

<math>O(P,w) = \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 : \langle (2,3),(x,y)\rangle \le \langle (2,3),(5,6)\rangle \}</math>

<math>O(P,w) = \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 : 2x + 3y \le 28, x \ge 0, y \ge 0 \}</math>

<math>O</math> = Orçamento; <math>P</math> = Preço; <math>w</math> = riqueza (wealth)
 

{|
| max
| <math>7x^{1/2}y^{1/3}</math>
|
|-
| s.a
| <math>2x + 3y \le 28</math>
|
|-
|
| <math>-x \le 0</math>
| não é ativa
|-
|
| <math>-y \le 0</math>
| idem
|}
 

Como <math>u(x,y)</math> não é linear, a solução não é o vértice. Usa-se o teorema de Karush-Kuhn-Tucker ([[Otimização/KKT|Wikibooks]], [https://pt.wikipedia.org/wiki/Condi%C3%A7%C3%B5es_de_Karush-Kuhn-Tucker Wikipédia]):
 

[[Ficheiro:Grafico exercicio H((2,3),28).png|||alt=Gráfico de hiperplano H( (2,3) , 28 )|semmoldura|nenhum||342x281px|]]
 

<math>A = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}</math>
 

O gradiente da [https://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_de_Cobb-Douglas Cobb-Douglas] não está definido nos eixos. A solução não pode ser de [https://en.wikipedia.org/wiki/Corner_solution Canto].
 

<math>g(x,y) = 2x + 3y - 28</math>

:<math>\nabla g(x,y)= \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix}</math>
 

<math>f(x,y) = 7x^{1/2}y^{1/3}</math>

:<math>\nabla f(x,y)= \begin{bmatrix} {7 \over 2} x^{-1/2}y^{1/3} \\ {7 \over 3} x^{1/2}y^{-2/3} \end{bmatrix}</math>
 

<math>\nabla f(x,y) = v \nabla g(x,y)</math>
:<math>\begin{bmatrix} {7 \over 2} x^{-1/2}y^{1/3} \\ {7 \over 3} x^{1/2}y^{-2/3} \end{bmatrix} = v \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix}</math>

: <math>{7 \over 2} x^{-1/2}y^{1/3}=2v</math>

: <math>{7 \over 3} x^{1/2}y^{-2/3}=3v</math>
 

Suponha que <math>v \ne 0</math>:
 

:<math>{{7 \over 2} x^{-1/2}y^{1/3} \over {7 \over 3} x^{1/2}y^{-2/3}} = {2v \over 3v} \rightarrow {3 \over 2} {y \over x} = {2 \over 3} \rightarrow y = {4 \over 9} x</math>

:<math>2x + 3x - 28 = 0</math> (restrição ativa) <math>\rightarrow 2x + 3 \left ( {4 \over 9} x \right ) = 28 \rightarrow x \left ( 2 + {4 \over 3} \right )=28 \rightarrow {\color{blue}x^* = {84 \over 10} = 8{,}4}</math>
:<math>{\color{blue}y^* = {4 \over 9} \cdot 8{,}4 = {33{,}6 \over 9}}</math>
 

== Maximizar com duas variáveis ==

Maximizar <math>kx^ \alpha y^ \beta (\text{max } f(x,y) = \text{max } k \cdot f(x,y) \text{, se } k > 0)</math>

<math>(x,y) \in O(P,w)</math>

<math>P(p_1,p_2)</math>

<math>w(w_1,w_2)</math>

<math>O(P,w) = \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 : \langle (p_1,p_2),(x,y)\rangle \le \langle (p_1,p_2),(w_1,w_2)\rangle , x \ge 0, y \ge 0 \}</math>

<math>O(P,w) = \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 : p_1x + p_2y \le p_1w_1 + p_2w_2, x \ge 0, y \ge 0 \}</math>
 

{|
| max
| <math>k x ^ \alpha y ^ \beta</math>
| função objetivo
|-
| s.a
| <math>p_1x + p_2y \le p_1w_1 + p_2w_2</math>
| função restrição
|-
|
| <math>- x \le 0</math>
| equivalente a <math>x \ge 0</math> (todas as restrições devem ser consistentes)
|-
|
| <math>- y \le 0</math>
| idem
|}
 

[[Ficheiro:Grafico_exercicio_H((p1,p2),(p1w1,p2w2)).png|||alt=Gráfico de hiperplano H( (p1,p2) , (p1w1,p2w2)) )|semmoldura|nenhum||438x312px|]]
 

O gradiente da [https://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_de_Cobb-Douglas Cobb-Douglas] não está definido nos eixos. A solução não pode ser de [https://en.wikipedia.org/wiki/Corner_solution Canto].

<math>g(x,y) = p_1x + p_2y - p_1w_1 - p_2w_2 \rightarrow \nabla g = \begin{bmatrix} p_1 \\ p_2 \end{bmatrix}</math>

<math>f(x,y) = k x ^ \alpha y ^ \beta \rightarrow \nabla f = \begin{bmatrix} k \alpha x^{\alpha - 1} y ^ \beta \\ k \beta x^ \alpha y ^ {\beta - 1} \end{bmatrix}</math>

<math>\nabla f(x,y) = v \nabla g(x,y)</math>

:<math>\begin{bmatrix} k \alpha x^{\alpha - 1} y ^ \beta \\ k \beta x^ \alpha y ^ {\beta - 1} \end{bmatrix} = v \begin{bmatrix} p_1 \\ p_2 \end{bmatrix}</math>
 

Suponha que <math>v \ne 0</math>:
 

:<math>{k \alpha x ^ {\alpha - 1} y ^ \beta \over k \beta x ^ \alpha y ^ {\beta - 1}} = {vp_1 \over vp_2} \rightarrow {\alpha \over \beta} x ^ {-1} y ^ 1 = {p_1 \over p_2} \rightarrow y = \left ( {\beta \over \alpha} \cdot {p_1 \over p_2} \right ) x</math>
 

Substituindo <math>y</math> na função restrição:
 

:<math>p_1x + p_2 \left ( {\beta \over \alpha} \cdot {p_1 \over p_2} \right ) x - p_1w_1 - p_2w_2 = 0 \rightarrow p_1x \left ( 1 + {\beta \over \alpha} \right ) = p_1w_1 + p_2w_2 \rightarrow {\color{blue} x^* = {p_1w_1 + p_2w_2 \over p_1} \cdot \left ( {\alpha \over \alpha + \beta} \right ) }</math>

:<math>{\color{blue} y^*} = {\beta \over \alpha} \cdot {p_1 \over p_2} \cdot \left ( {p_1w_1 + p_2w_2 \over p_1} \right ) \cdot \left ( {\alpha \over \alpha + \beta} \right ) {\color{blue} = \left ( {p_1w_1 + p_2w_2 \over p_2} \right ) \cdot \left ( {\beta \over \alpha + \beta} \right ) }</math>
 

== Maximizar com três variáveis ==

Maximizar <math>kx^ \alpha y^ \beta z^ \gamma</math>

<math>(x,y,z) \in O(P,w)</math>

<math>P(p_1,p_2,p_3)</math>

<math>w(w_1,w_2,w_3)</math>

<math>O(P,w) = \{ (x,y,z) \in \mathbb{R}^3 : \langle (p_1,p_2,p_3),(x,y,z)\rangle \le \langle (p_1,p_2,p_3),(w_1,w_2,w_3)\rangle , x \ge 0, y \ge 0, z \ge 0 \}</math>

<math>O(P,w) = \{ (x,y,z) \in \mathbb{R}^2 : p_1x + p_2y + p_3z \le p_1w_1 + p_2w_2 + p_3w_3, x \ge 0, y \ge 0, z \ge 0 \}</math>
 

{|
| max
| <math>k x ^ \alpha y ^ \beta z ^ \gamma </math>
| função objetivo
|-
| s.a
| <math>p_1x + p_2y + p_3z \le p_1w_1 + p_2w_2 + p_3w_3</math>
| função restrição
|-
|
| <math>- x \le 0</math>
| equivalente a <math>x \ge 0</math> (todas as restrições devem ser consistentes)
|-
|
| <math>- y \le 0</math>
| idem
|-
|
| <math>- z \le 0</math>
| idem
|}
 

<math>g(x,y,z) = p_1x + p_2y + p_3z - p_1w_1 - p_2w_2 - p_3w_3 \rightarrow \nabla g = \begin{bmatrix} p_1 \\ p_2 \\ p_3 \end{bmatrix}</math>

<math>f(x,y,z) = k x ^ \alpha y ^ \beta z ^ \gamma \rightarrow \nabla f = \begin{bmatrix} k \alpha x^{\alpha - 1} y ^ \beta z ^ \gamma \\ k \beta x ^ \alpha y ^ {\beta - 1} z ^ \gamma \\ k \gamma x ^ \alpha y ^ \beta z ^ {\gamma - 1} \end{bmatrix}</math>

<math>\nabla f = v \nabla g \rightarrow \begin{bmatrix} k \alpha x^{\alpha - 1} y ^ \beta z ^ \gamma \\ k \beta x ^ \alpha y ^ {\beta - 1} z ^ \gamma \\ k \gamma x ^ \alpha y ^ \beta z ^ {\gamma - 1} \end{bmatrix} = v \begin{bmatrix} p_1 \\ p_2 \\ p_3 \end{bmatrix}</math>
 

Suponha que <math>v \ne 0</math>:
 

:<math>k \alpha x ^ {\alpha - 1} y ^ \beta z ^ \gamma = vp_1</math>
:<math>k \beta x ^ \alpha y ^ {\beta - 1} z ^ \gamma = vp_2</math>
:<math>k \gamma x ^ \alpha y ^ \beta z ^ {\gamma - 1} = vp_3</math>
 

:<math>{k \alpha x ^ {\alpha - 1} y ^ \beta z ^ \gamma \over p_1} = {k \beta x ^ \alpha y ^ {\beta - 1} z ^ \gamma \over p_2} \rightarrow {\alpha \over p_1} y = {\beta \over p_2} x \rightarrow y = \left ( {\beta \over \alpha} \cdot {p_1 \over p_2} \right ) x</math>

:<math>{k \alpha x ^ {\alpha - 1} y ^ \beta z ^ \gamma \over p_1} = {k \gamma x ^ \alpha y ^ \beta z ^ {\gamma - 1} \over p_3} \rightarrow {\alpha \over p_1} z = {\gamma \over p_3} x \rightarrow z = \left ( {\gamma \over \alpha} \cdot {p_1 \over p_3} \right ) x</math>
 

Substituindo <math>y</math> e <math>z</math> na função restrição:
 

:<math>p_1x + p_2y + p_3z - p_1w_1 - p_2w_2 - p_3w_3 = 0 \rightarrow p_1x + p_2 \left ( {\beta \over \alpha} \cdot {p_1 \over p_2} \right ) x + p_3 \left ( {\gamma \over \alpha} \cdot {p_1 \over p_3} \right ) x = p_1w_1 + p_2w_2 + p_3w_3</math>

:<math>p_1x + {\beta \over \alpha} p_1x + {\gamma \over \alpha} p_1x = p_1w_1 + p_2w_2 + p_3w_3 \rightarrow x \left ( 1 + {\beta \over \alpha} + {\gamma \over \alpha} \right ) = {p_1w_1 + p_2w_2 + p_3w_3 \over p_1}</math>

:<math>{\color{blue}x^* = \left ( {\alpha \over {\alpha +\beta + \gamma}} \right ) \cdot \left ( {p_1w_1 + p_2w_2 + p_3w_3 \over p_1} \right ) }</math>

:<math>{\color{blue}y^* = \left ( {\beta \over {\alpha +\beta + \gamma}} \right ) \cdot \left ( {p_1w_1 + p_2w_2 + p_3w_3 \over p_2} \right ) 
}</math>

:<math>{\color{blue}z^* = \left ( {\gamma \over {\alpha +\beta + \gamma}} \right ) \cdot \left ( {p_1w_1 + p_2w_2 + p_3w_3 \over p_3} \right ) }</math>
 

== Exercícios de Mat II na UCB - mar/2014 - Cálculo de Variáveis ==

Considere o problema de variações seguinte:

:maximizar <math>J(x) = \int_{0}^{T} L(t,x(t),x'(t))dt</math>
:<math>x(0)=x_0</math>
:<math>x(T)=x_T</math>
 

Calcule a equação diferencial obtida da [https://pt.wikipedia.org/wiki/Equa%C3%A7%C3%A3o_de_Euler-Lagrange equação de Euler] e ache os extremais, quando:

:<math>\text{P1: }J(x) = \int_{0}^{1}(4x(t)-(x'(t))^2-(x(t))^2)dt.</math>
::::<math>L(t,x(t),x'(t)) = 4x(t) - (x'(t))^2-(x(t))^2</math>
::::<math>{\partial L \over \partial x(t)}(t,x(t),x'(t)) = 4-2x(t)</math>
::::<math>{\partial L \over \partial x'(t)}(t,x(t),x'(t)) = -2x'(t)</math>
::::<math>{d \over dt} \left [{\partial L \over \partial x'(t)}(t,x(t),x'(t)) \right ]=-2x''(t)</math>
 

::::[https://pt.wikipedia.org/wiki/Equa%C3%A7%C3%A3o_de_Euler-Lagrange Equação de Euler]
 

::::<math>{\partial L \over \partial x(t)}(t,x(t),x'(t)) - {d \over dt} \left [ {\partial L \over \partial x'(t)} (t,x(t),x'(t)) \right ] = 0</math>
::::<math>4-2x(t)-(-2x''(t))=0 \rightarrow 2x''(t) - 2x(t) + 4 = 0 \rightarrow \color{blue} x''(t) - x(t) + 2 = 0</math>
 

::::Equação Diferencial Ordinária ([[Métodos numéricos/Equações diferenciais ordinárias|Wikibooks]], [https://pt.wikipedia.org/wiki/Equa%C3%A7%C3%A3o_diferencial_ordin%C3%A1ria Wikipédia])
 

::::<math>x(t)=x_p(t) + x_h(t)</math>. Sendo <math>x_p(t)</math> a solução particular (elimina-se cada derivada na [https://pt.wikipedia.org/wiki/Equa%C3%A7%C3%A3o_de_Euler-Lagrange equação de Euler]) e <math>x_h(t)</math> a solução homogênea (elimina-se cada constante na [https://pt.wikipedia.org/wiki/Equa%C3%A7%C3%A3o_de_Euler-Lagrange equação de Euler]).
 

::::<math>\cancel{x''(t)} - x(t) + 2 = 0 \rightarrow x_p(t) = 2</math>
::::<math>x''(t) - x(t) + \cancel{2} = 0 \rightarrow x''(t) - x(t) = 0 \rightarrow x_h(t) = x_h''(t)</math>
 

::::Na solução homogênea, substituir <math>x^n</math> por <math>\lambda^m</math>, sendo <math>n</math> um número em derivadas e <math>m</math>, algarismo arábico.
 

::::<math>x''(t) - x(t) = 0 \rightarrow \lambda^2 - \lambda^0 = 0 \rightarrow \lambda = \pm 1</math>
 

::::Solução geral: <math>{\color{blue} x(t)} = k e ^ {\lambda t} + 2 = {\color{blue} k_1 e ^ t + k_2 e ^ {-t} + 2}</math>
 

::::Concavidade
 

::::<math>{\partial ^2 L \over \partial x(t)^2} = - 2</math>
::::<math>{\partial ^2 L \over \partial x(t) \partial x'(t)} = 0</math>
::::<math>{\partial ^2 L \over \partial x'(t) \partial x(t)} = 0</math>
::::<math>{\partial ^2 L \over \partial x'(t)^2} = -2</math>
 

::::<math>-HL(x,x') = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}</math>
 

::::<math>L_-</math> é côncava. [https://pt.wikipedia.org/wiki/Sinal_de_conclus%C3%A3o <math>\therefore</math>] <math>x(t)</math> é solução do problema de maximização.
 

A partir de agora será omitido o <math>(t)</math> para facilitar a leitura, [https://pt.wiktionary.org/wiki/i.e. i.e.], subentendendo-se <math>x=x(t)</math>, <math>x'=x'(t)</math> e assim por diante.
 

:<math>\text{P2: }J(x) = \int_{0}^{1}(1+(x'(t))^2)^{1 \over 2}dt.</math>
::::<math>L(t,x(t),x'(t)) = (1 + (x'(t))^2)^{1 \over 2} \rightarrow L(t,x,x') = (1 + (x')^2)^{1 \over 2}</math>
::::<math>{\partial L \over \partial x}(t,x,x') = 0</math>
::::<math>{\partial L \over \partial x'}(t,x,x') = {1 \over 2} \cdot (1+(x')^2)^{-{1 \over 2}} \cdot \left ( 1+(x')^2 \right ) ' = {x' \over (1+(x')^2)^{1 \over 2}} \left ( \text{equivalente a } x' \cdot (1+(x')^2)^{-{1 \over 2}} \right )</math>
::::<math>{d \over dt} \left [{\partial L \over \partial x'}(t,x,x') \right ]= x'' \cdot (1+ (x')^2)^{-{1 \over 2}} - {1 \over 2} \cdot x' \cdot (1+ (x')^2)^{-{3 \over 2}} \cdot (0 + 2 \cdot x' \cdot x'') = 0</math>
 

::::[https://pt.wikipedia.org/wiki/Equa%C3%A7%C3%A3o_de_Euler-Lagrange Equação de Euler] (substituir <math>(1+(x')^2)</math> por <math>\alpha</math>).
 

::::<math>{\partial L \over \partial x}(t,x,x') - {d \over dt} \left [ {\partial L \over \partial x'} (t,x,x') \right ] = 0</math>
::::<math>-{ x'' \over \alpha ^ {1 \over 2}} + {(x')^2 \cdot x'' \over \alpha^{3 \over 2}} = {- \alpha \cdot x'' + (x')^2 \cdot x'' \over \cancel {\alpha ^ {3 \over 2}}} = 0 \rightarrow -x'' \cancel{ - (x')^2 \cdot x''} \cancel{ + (x')^2 \cdot x''} = 0 \rightarrow \color{blue}x''(t) = 0</math>
 

::::Integrando <math>x''(t)</math> e <math>x'(t)</math>.
 

::::<math>x'(t) = k_1</math>
::::<math>\color{blue}x(t) = k_1t + k_2</math>
 

::::Concavidade
 

::::<math>{\partial ^2 L \over \partial x^2} = {\partial ^2 L \over \partial x \partial x'} = {\partial ^2 L \over \partial x' \partial x} = 0</math>
 

::::<math>-HL(x,x') = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & {\partial ^2 L \over \partial (x')^2} \end{bmatrix}</math>
 

::::<math>L_-</math> não é côncava. [https://pt.wikipedia.org/wiki/Sinal_de_conclus%C3%A3o <math>\therefore</math>] <math>x(t)</math> é um extremal, mas não é solução do problema de maximização.
 

:<math>\text{P3: }J(x) = \int_{0}^{2}(t^2+(x'(t))^2+(x(t))^2)dt.</math>
::::<math>L(t,x(t),x'(t)) = t^2+(x'(t))^2+(x(t))^2 \rightarrow L(t,x,x') = t^2+(x')^2+x^2</math>
::::<math>{\partial L \over \partial x}(t,x,x') = 2x</math>
::::<math>{\partial L \over \partial x'}(t,x,x') = 2x'</math>
::::<math>{d \over dt} \left [{\partial L \over \partial x'}(t,x,x') \right ]=2x''</math>
 

::::[https://pt.wikipedia.org/wiki/Equa%C3%A7%C3%A3o_de_Euler-Lagrange Equação de Euler]
 

::::<math>{\partial L \over \partial x}(t,x,x') - {d \over dt} \left [ {\partial L \over \partial x'} (t,x,x') \right ] = 0</math>
::::<math>2x-(2x'')=0 \rightarrow - x'' + x = 0 \rightarrow \color{blue} x''(t) - x(t) = 0</math>
 

::::Equação Diferencial Ordinária ([[Métodos numéricos/Equações diferenciais ordinárias|Wikibooks]], [https://pt.wikipedia.org/wiki/Equa%C3%A7%C3%A3o_diferencial_ordin%C3%A1ria Wikipédia])
 

::::<math>x(t)=x_p(t) + x_h(t)</math>. Sendo <math>x_p(t)</math> a solução particular (elimina-se cada derivada na [https://pt.wikipedia.org/wiki/Equa%C3%A7%C3%A3o_de_Euler-Lagrange equação de Euler]) e <math>x_h(t)</math> a solução homogênea (elimina-se cada constante na [https://pt.wikipedia.org/wiki/Equa%C3%A7%C3%A3o_de_Euler-Lagrange equação de Euler]).
 

::::<math>\cancel{x''(t)} - x(t) = 0 \rightarrow x_p(t) = 0</math>
::::<math>x''(t) - x(t) = 0 \rightarrow x_h(t) = x_h''(t)</math>
 

::::Na solução homogênea, substituir <math>x^n</math> por <math>\lambda^m</math>, sendo <math>n</math> um número em derivadas e <math>m</math>, algarismo arábico.
 

::::<math>x''(t) - x(t) = 0 \rightarrow \lambda^2 - \lambda^0 = 0 \rightarrow \lambda = \pm 1</math>
 

::::Solução geral: <math>{\color{blue} x(t)} = k e ^ {\lambda t} = {\color{blue} k_1 e ^ t + k_2 e ^ {-t} }</math>
 

::::Concavidade
 

::::<math>{\partial ^2 L \over \partial x^2} = 2</math>
::::<math>{\partial ^2 L \over \partial x \partial x'} = {\partial ^2 L \over \partial x' \partial x} = 0</math>
::::<math>{\partial ^2 L \over \partial x'^2} = 2</math>
 

::::<math>-HL(x,x') = \begin{bmatrix} -2 & 0 \\ 0 & -2 \end{bmatrix}</math>
 

::::<math>L_-</math> não é côncava. [https://pt.wikipedia.org/wiki/Sinal_de_conclus%C3%A3o <math>\therefore</math>] <math>x(t)</math> é um extremal, mas não é solução do problema de maximização.
 

:<math>\text{P4: }J(x) = \int_{0}^{5}(tx'(t)+(x'(t))^2)dt.</math>
::::<math>L(t,x(t),x'(t)) = tx'(t)+(x'(t))^2 \rightarrow L(t,x,x') = tx'+(x')^2</math>
::::<math>{\partial L \over \partial x}(t,x,x') = 0</math>
::::<math>{\partial L \over \partial x'}(t,x,x') = t + 2x'</math>
::::<math>{d \over dt} \left [{\partial L \over \partial x'}(t,x,x') \right ]= 1 + 2x''</math>
 

::::[https://pt.wikipedia.org/wiki/Equa%C3%A7%C3%A3o_de_Euler-Lagrange Equação de Euler]
 

::::<math>{\partial L \over \partial x}(t,x,x') - {d \over dt} \left [ {\partial L \over \partial x'} (t,x,x') \right ] = 0</math>
::::<math>0-(1 + 2x'')=0 \rightarrow - 2x'' - 1 = 0 \rightarrow \color{blue}x''(t) = - {1 \over 2}</math>
 

::::Integrando <math>x''(t)</math> e <math>x'(t)</math> (considerando <math>k</math> como constante).
 

::::<math>x'(t) = - {1 \over 2} t + k_1 </math>
::::<math>x(t) = - {1 \over 4} t^2 + k_1t + k_2 </math>
 

::::Concavidade
 

::::<math>{\partial ^2 L \over \partial x^2} = {\partial ^2 L \over \partial x \partial x'} = {\partial ^2 L \over \partial x' \partial x} = 0</math>
::::<math>{\partial ^2 L \over \partial (x')^2}=2</math>
 

::::<math>-HL(x,x') = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & -2 \end{bmatrix}</math>
 

::::<math>L_-</math> não é côncava. [https://pt.wikipedia.org/wiki/Sinal_de_conclus%C3%A3o <math>\therefore</math>] <math>x(t)</math> é um extremal, mas não é solução do problema de maximização.
 

Fazer o mesmo para o exercício 11.4 do livro <ref>LOMELÍ, Héctor y RUMBOS, Beatriz. '''Métodos Dinámicos en Economía. Outra Búsqueda del Tiempo Perdido'''. Río Hondo: Instituto Tecnológico Autónomo de México, 2001.</ref> (pág 273), desde o item (a) até o item (i).

:<math>\text{P5 (a): }J[x] = \int_{0}^{40}- {\dot x^2 \over 2}dt \quad \text{con} \quad x(0) = 20 \quad \text{y} \quad x(40) = 0 \text{.}</math>
::::<math>L(t,x,\dot x) = - {\dot x^2 \over 2}</math>
::::<math>{\partial L \over \partial x}(t,x,\dot x) = 0</math>
::::<math>{\partial L \over \partial \dot x}(t,x, \dot x) = - \dot x</math>
::::<math>{d \over dt} \left [{\partial L \over \partial \dot x}(t,x, \dot x) \right ]= - \ddot x</math>
 

::::[https://pt.wikipedia.org/wiki/Equa%C3%A7%C3%A3o_de_Euler-Lagrange Equação de Euler]
 

::::<math>{\partial L \over \partial x}(t,x, \dot x) - {d \over dt} \left [ {\partial L \over \partial \dot x} (t,x, \dot x) \right ] = 0</math>
::::<math>0 - (- \ddot x) = 0 \rightarrow \color{blue}\ddot x(t) = 0</math>
 

::::Integrando <math>\ddot x(t)</math> e <math>\dot x(t)</math>.
 

::::<math>\dot x(t) = k_1</math>
::::<math>x(t) = k_1t+k_2</math>
 

::::<math>x(0) = k_1 \cdot 0 + k_2 = 20 \rightarrow k_2 = 20</math>
::::<math>x(40) = k_1 \cdot 40 + k_2 = 0 \rightarrow k_1 = -{20 \over 40} = -{1 \over 2}</math>
::::<math>\color{blue}x(t) = -{1 \over 2} t + 20</math>
 

::::Concavidade
 

::::<math>{\partial ^2 L \over \partial x^2} = {\partial ^2 L \over \partial x \partial \dot x} = {\partial ^2 L \over \partial \dot x \partial x} = 0</math>
::::<math>{\partial ^2 L \over \partial \dot x^2}=-1</math>
 

::::<math>-HL(x,\dot x) = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}</math>
 

::::<math>L_-</math> não é côncava. [https://pt.wikipedia.org/wiki/Sinal_de_conclus%C3%A3o <math>\therefore</math>] <math>x(t)</math> é um extremal, mas não é solução do problema de maximização.
 

:<math>\text{P5 (b): }J[x] = \int_{0}^{10}- (2x \dot x + \dot x^2)dt \quad \text{con} \quad x(0) = 10 \quad \text{y} \quad x(10) = 100 \text{.}</math>
::::<math>L(t,x,\dot x) = - 2x \dot x - \dot x^2</math>
::::<math>{\partial L \over \partial x}(t,x,\dot x) = - 2 \dot x</math>
::::<math>{\partial L \over \partial \dot x}(t,x, \dot x) = -2x - 2 \dot x</math>
::::<math>{d \over dt} \left [{\partial L \over \partial \dot x}(t,x, \dot x) \right ]= -2 \dot x - 2 \ddot x</math>
 

::::[https://pt.wikipedia.org/wiki/Equa%C3%A7%C3%A3o_de_Euler-Lagrange Equação de Euler]
 

::::<math>{\partial L \over \partial x}(t,x, \dot x) - {d \over dt} \left [ {\partial L \over \partial \dot x} (t,x, \dot x) \right ] = 0</math>
::::<math>-2 \dot x - (-2 \dot x - 2 \ddot x) = 0 \rightarrow -2 \dot x + 2 \dot x + 2 \ddot x = 0 \rightarrow \color{blue} \ddot x(t) = 0</math>
 

::::Integrando <math>\ddot x(t)</math> e <math>\dot x(t)</math>.
 

::::<math>\dot x(t) = k_1</math>
::::<math>x(t) = k_1t+k_2</math>
 

::::<math>x(0) = k_1 \cdot 0 + k_2 = 10 \rightarrow k_2 = 10</math>
::::<math>x(10) = k_1 \cdot 10 + k_2 = 100 \rightarrow k_1 = {100-10 \over 10} = 9</math>
::::<math>\color{blue}x(t) = 9t + 10</math>
 

::::Concavidade
 

::::<math>{\partial ^2 L \over \partial x^2} = 0</math>
::::<math>{\partial ^2 L \over \partial x \partial \dot x} = {\partial ^2 L \over \partial \dot x \partial x} = -2</math>
::::<math>{\partial ^2 L \over \partial \dot x^2}=-2</math>
 

::::<math>-HL(x,\dot x) = \begin{bmatrix} 0 & 2 \\ 2 & 2 \end{bmatrix}</math>
 

::::<math>L_-</math> é côncava. [https://pt.wikipedia.org/wiki/Sinal_de_conclus%C3%A3o <math>\therefore</math>] <math>x(t)</math> é solução do problema de maximização.
 

:<math>\text{P5 (c): }J[x] = \int_{0}^{2} (12tx + \dot x^2)dt \quad \text{con} \quad x(0) = 1 \quad \text{y} \quad x(2) = 17 \text{.}</math>
::::<math>L(t,x,\dot x) = 12tx + \dot x^2</math>
::::<math>{\partial L \over \partial x}(t,x,\dot x) = 12t</math>
::::<math>{\partial L \over \partial \dot x}(t,x, \dot x) = 2 \dot x</math>
::::<math>{d \over dt} \left [{\partial L \over \partial \dot x}(t,x, \dot x) \right ]= 2 \ddot x</math>
 

::::[https://pt.wikipedia.org/wiki/Equa%C3%A7%C3%A3o_de_Euler-Lagrange Equação de Euler]
 

::::<math>{\partial L \over \partial x}(t,x, \dot x) - {d \over dt} \left [ {\partial L \over \partial \dot x} (t,x, \dot x) \right ] = 0</math>
::::<math>12t - 2 \ddot x = 0 \rightarrow \color{blue}\ddot x(t) = 6t</math>
 

::::Integrando <math>\ddot x(t)</math> e <math>\dot x(t)</math>.
 

::::<math>\dot x(t) = 3t^2 + k_1</math>
::::<math>x(t) = t^3 + k_1t + k_2</math>
 

::::<math>x(0) = 0^3+k_1 \cdot 0 + k_2 = 1 \rightarrow k_2 = 1</math>
::::<math>x(2) = 2^3 + k_1 \cdot 2 + k_2 = 17 \rightarrow k_1 = {17-8-1 \over 2} = 4</math>
::::<math>\color{blue}x(t) = t^3 + 4t + 1</math>
 

::::Concavidade
 

::::<math>{\partial ^2 L \over \partial x^2} = {\partial ^2 L \over \partial x \partial \dot x} = {\partial ^2 L \over \partial \dot x \partial x} = 0</math>
::::<math>{\partial ^2 L \over \partial \dot x^2}=2</math>
 

::::<math>-HL(x,\dot x) = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & -2 \end{bmatrix}</math>
 

::::<math>L_-</math> não é côncava. [https://pt.wikipedia.org/wiki/Sinal_de_conclus%C3%A3o <math>\therefore</math>] <math>x(t)</math> é um extremal, mas não é solução do problema de maximização.
 

:<math>\text{P5 (d): }J[x] = \int_{0}^{2} (x + \dot x^2)dt \quad \text{con} \quad x(0) = 1 \quad \text{y} \quad x(2) = 10 \text{.}</math>
::::<math>L(t,x,\dot x) = x + \dot x^2</math>
::::<math>{\partial L \over \partial x}(t,x,\dot x) = 1</math>
::::<math>{\partial L \over \partial \dot x}(t,x, \dot x) = 2 \dot x</math>
::::<math>{d \over dt} \left [{\partial L \over \partial \dot x}(t,x, \dot x) \right ]= 2 \ddot x</math>
 

::::[https://pt.wikipedia.org/wiki/Equa%C3%A7%C3%A3o_de_Euler-Lagrange Equação de Euler]
 

::::<math>{\partial L \over \partial x}(t,x, \dot x) - {d \over dt} \left [ {\partial L \over \partial \dot x} (t,x, \dot x) \right ] = 0</math>
::::<math>1 - 2 \ddot x = 0 \rightarrow \color{blue}\ddot x(t) = {1 \over 2}</math>
 

::::Integrando <math>\ddot x(t)</math> e <math>\dot x(t)</math>.
 

::::<math>\dot x(t) = {1 \over 2}t + k_1</math>
::::<math>x(t) = {1 \over 4} t^2 + k_1t + k_2</math>
 

::::<math>x(0) = {1 \over 4} \cdot 0^2 + k_1 \cdot 0 + k_2 = 1 \rightarrow k_2 = 1</math>
::::<math>x(2) = {1 \over 4} \cdot 2^2 + k_1 \cdot 2 + k_2 = 10 \rightarrow k_1 = {10-1-1 \over 2} = {8 \over 2} = 4</math>
::::<math>\color{blue}x(t) = {1 \over 4} t^2 + 4t + 1</math>
 

::::Concavidade
 

::::<math>{\partial ^2 L \over \partial x^2} = {\partial ^2 L \over \partial x \partial \dot x} = {\partial ^2 L \over \partial \dot x \partial x} = 0</math>
::::<math>{\partial ^2 L \over \partial \dot x^2}=2</math>
 

::::<math>-HL(x,\dot x) = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & -2 \end{bmatrix}</math>
 

::::<math>L_-</math> não é côncava. [https://pt.wikipedia.org/wiki/Sinal_de_conclus%C3%A3o <math>\therefore</math>] <math>x(t)</math> é um extremal, mas não é solução do problema de maximização.
 

:<math>\text{P5 (e): }J[x] = \int_{0}^{2} (x^2 + t^2 \dot x)dt \quad \text{con} \quad x(0) = 0 \quad \text{y} \quad x(2) = 2 \text{.}</math>
::::<math>L(t,x,\dot x) = x^2 + t^2 \dot x</math>
::::<math>{\partial L \over \partial x}(t,x,\dot x) = 2x</math>
::::<math>{\partial L \over \partial \dot x}(t,x, \dot x) = t^2</math>
::::<math>{d \over dt} \left [{\partial L \over \partial \dot x}(t,x, \dot x) \right ]= 2t</math>
 

::::[https://pt.wikipedia.org/wiki/Equa%C3%A7%C3%A3o_de_Euler-Lagrange Equação de Euler]
 

::::<math>{\partial L \over \partial x}(t,x, \dot x) - {d \over dt} \left [ {\partial L \over \partial \dot x} (t,x, \dot x) \right ] = 0</math>
::::<math>2x - 2t = 0 \rightarrow \color{blue}x(t) = t</math>
 

::::Concavidade
 

::::<math>{\partial ^2 L \over \partial x^2} = 2 </math>
::::<math>{\partial ^2 L \over \partial x \partial \dot x} = {\partial ^2 L \over \partial \dot x \partial x} = {\partial ^2 L \over \partial \dot x^2} = 0</math>
 

::::<math>-HL(x,\dot x) = \begin{bmatrix} -2 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}</math>
 

::::<math>L_-</math> não é côncava. [https://pt.wikipedia.org/wiki/Sinal_de_conclus%C3%A3o <math>\therefore</math>] <math>x(t)</math> é um extremal, mas não é solução do problema de maximização.
 

:<math>\text{P5 (f): }J[x,y] = \int_{0}^{T} (2xy - 2x^2 - \dot x^2 + \dot y^2)dt \quad \text{encontrar únicamente la solución general.}</math>
::::<math>L(z) = L(t,x, \dot x, y, \dot y) = 2xy - 2x^2 - \dot x^2 + \dot y^2</math>
::::<math>{\partial L \over \partial z} = \begin{bmatrix} {\partial L \over \partial x} \\ {\partial L \over \partial y} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2y - 4x \\ 2x \end{bmatrix}</math>
::::<math>{\partial L \over \partial \dot z} = \begin{bmatrix} {\partial L \over \partial \dot x} \\ {\partial L \over \partial \dot y} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 \dot x \\ 2 \dot y \end{bmatrix}</math>
::::<math>{d \over dt} \left [ {\partial L \over \partial \dot z} \right ] = \begin{bmatrix} -2 \ddot x \\ 2 \ddot y \end{bmatrix}</math>
 

::::[https://pt.wikipedia.org/wiki/Equa%C3%A7%C3%A3o_de_Euler-Lagrange Equação de Euler]
 

::::<math>{\partial L \over \partial z}(t,x, \dot x, y, \dot y) - {d \over dt} \left [ {\partial L \over \partial \dot z} (t,x, \dot x, y, \dot y) \right ] = 0</math>
::::<math>\begin{bmatrix} 2y - 4x \\ 2x \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} -2 \ddot x \\ 2 \ddot y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} \rightarrow \left \{ \color{blue} \begin{matrix} 2y(t) - 4x(t) + 2 \ddot x(t) = 0 \\ 2x(t) - 2 \ddot y(t) = 0 \end{matrix} \right.</math>
 

::::<math>- \ddot y + x = 0 \rightarrow \ddot y(t) = x(t)</math>
 

::::<math>\ddot x - 2x + y = 0 \rightarrow \text{elevando a +2 em derivadas} \rightarrow \ddot {\ddot x} - 2 \ddot x + \ddot y = 0</math>
::::<math>\text{substituindo } \ddot y(t) \text{ por } x(t) \rightarrow \ddot {\ddot x}(t) - 2 \ddot x(t) + x(t) = 0</math>
 

::::Substituir <math>x^n</math> por <math>\lambda^m</math>, sendo <math>n</math> um número em derivadas e <math>m</math>, algarismo arábico.
 

::::<math>\lambda ^ 4 - 2 \lambda ^ 2 + \lambda ^ 0 = 0 \rightarrow \lambda ^ 4 - 2 \lambda ^ 2 + 1 = 0</math>
 

::::Substituir <math>\lambda ^ 2</math> por <math>r</math>.
 

::::<math>r ^ 2 - 2 r + 1 = 0 \rightarrow r = {2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 1} \over 2} = 1 \rightarrow \lambda ^ 2 = r \rightarrow \lambda = \pm 1</math>
 

::::<math>\color{blue}x(t) = k_1e^t + k_2te^t + k_3e^{-t} + k_4te^{-t}</math>
::::<math>\ddot y(t) = x(t) = k_1e^t + k_2te^t + k_3e^{-t} + k_4te^{-t}</math>
::::<math>\dot y(t) = k_1e^t + k_2(t-1)e^t - k_3e^{-t} - k_4(t+1)e^{-t} + c_1</math>
::::<math>\color{blue}y(t) = k_1e^t + k_2(t-2)e^t + k_3e^{-t} + k_4(t+2)e^{-t} + c_1t + c_2</math>
 

:<math>\text{P5 (g): }J[x,y] = \int_{0}^{10} (\dot x^2 + \dot y^2 + e^t)dt \quad \text{dadas} \quad x(0) = 0 \quad \text{,} \quad y(0) = 2 \quad \text{,} \quad x(10)=11 \quad \text{y} \quad y(10)=6 \text{.}</math>
::::<math>L(z) = L(t,x, \dot x, y, \dot y) = \dot x^2 + \dot y^2 + e^t</math>
::::<math>{\partial L \over \partial z} = \begin{bmatrix} {\partial L \over \partial x} \\ {\partial L \over \partial y} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}</math>
::::<math>{\partial L \over \partial \dot z} = \begin{bmatrix} {\partial L \over \partial \dot x} \\ {\partial L \over \partial \dot y} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \dot x \\ 2 \dot y \end{bmatrix}</math>
::::<math>{d \over dt} \left [ {\partial L \over \partial \dot z} \right ] = \begin{bmatrix} 2 \ddot x \\ 2 \ddot y \end{bmatrix}</math>
 

::::[https://pt.wikipedia.org/wiki/Equa%C3%A7%C3%A3o_de_Euler-Lagrange Equação de Euler]
 

::::<math>{\partial L \over \partial z}(t,x, \dot x, y, \dot y) - {d \over dt} \left [ {\partial L \over \partial \dot z} (t,x, \dot x, y, \dot y) \right ] = 0</math>
::::<math>\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 2 \ddot x \\ 2 \ddot y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} \rightarrow \left \{ \color{blue} \begin{matrix} - 2 \ddot x(t) = 0 \\ - 2 \ddot y(t) = 0 \end{matrix} \right.</math>
 

::::<math>\ddot x(t) = 0 \rightarrow \dot x(t) = k_1 \rightarrow x(t) = k_1t + k_2</math>
::::<math>\ddot y(t) = 0 \rightarrow \dot y(t) = c_1 \rightarrow y(t) = c_1t + c_2</math>
 

::::<math>x(0) = k_1 \cdot 0 + k_2 = 0 \rightarrow k_2 = 0</math>
::::<math>x(10) = k_1 \cdot 10 + k_2 = 11 \rightarrow k_1 = {11 - 0 \over 10} = {11 \over 10}</math>
::::<math>\color{blue}x(t) = {11 \over 10} t</math>
 

::::<math>y(0) = c_1 \cdot 0 + c_2 = 2 \rightarrow c_2 = 2</math>
::::<math>y(10) = c_1 \cdot 10 + c_2 = 6 \rightarrow c_1 = {6 - 2 \over 10} = {2 \over 5}</math>
::::<math>\color{blue}y(t) = {2 \over 5} t + 2</math>
 

:<math>\text{P5 (h): }J[x,y] = \int_{0}^{\pi \over 2} (\dot x^2 + \dot y^2 + 2xy)dt \quad \text{dadas} \quad x(0) = y(0) = 0 \quad \text{y} \quad x \left ({\pi \over 2} \right ) = y \left ({\pi \over 2} \right ) = 1 \text{.}</math>
::::<math>L(z) = L(t,x, \dot x, y, \dot y) = \dot x^2 + \dot y^2 + 2xy</math>
::::<math>{\partial L \over \partial z} = \begin{bmatrix} {\partial L \over \partial x} \\ {\partial L \over \partial y} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2y \\ 2x \end{bmatrix}</math>
::::<math>{\partial L \over \partial \dot z} = \begin{bmatrix} {\partial L \over \partial \dot x} \\ {\partial L \over \partial \dot y} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \dot x \\ 2 \dot y \end{bmatrix}</math>
::::<math>{d \over dt} \left [ {\partial L \over \partial \dot z} \right ] = \begin{bmatrix} 2 \ddot x \\ 2 \ddot y \end{bmatrix}</math>
 

::::[https://pt.wikipedia.org/wiki/Equa%C3%A7%C3%A3o_de_Euler-Lagrange Equação de Euler]
 

::::<math>{\partial L \over \partial z}(t,x, \dot x, y, \dot y) - {d \over dt} \left [ {\partial L \over \partial \dot z} (t,x, \dot x, y, \dot y) \right ] = 0</math>
::::<math>\begin{bmatrix} 2y \\ 2x \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 2 \ddot x \\ 2 \ddot y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} \rightarrow \left \{ \color{blue} \begin{matrix} - \ddot x(t) + y(t) = 0 \\ - \ddot y(t) + x(t) = 0 \end{matrix} \right.</math>
 

::::<math>-\ddot x + y = 0 \rightarrow \text{elevando a +2 em derivadas} \rightarrow - \ddot {\ddot x} + \ddot y = 0 \rightarrow - \ddot {\ddot x} + x = 0</math>
 

::::Substituir <math>x^n</math> por <math>\lambda^m</math>, sendo <math>n</math> um número em derivadas e <math>m</math>, algarismo arábico.
 

::::<math>- \lambda ^ 4 + \lambda ^ 0 = 0 \rightarrow - \lambda ^ 4 + 1 = 0 \rightarrow \lambda^4 = 1 \rightarrow \lambda = \pm 1 \text{ ou } \pm i</math>
 

::::<math>\color{red}x(t) = k_1e^t + k_2e^{-t} + k_3 \cos t - k_4 \sen t</math>
::::<math>\color{red}\ddot y = x(t) = k_1e^t + k_2e^{-t} + k_3 \cos t - k_4 \sen t</math>
::::<math>\color{red}\dot y = k_1e^t - k_2e^{-t} + k_3 \sen t + k_4 \cos t + c_1</math>
::::<math>\color{red}y(t) = k_1e^t + k_2e^{-t} - k_3 \cos t + k_4 \sen t + c_1 t + c_2</math>
 

:<math>\text{P5 (i): }J[x] = \int_{0}^{1} (1 + \ddot x ^2)dt \quad \text{con} \quad x(0) = 0 \quad \text{y} \quad \dot x(0) = x(1) = \dot x(1) = 1 \text{.}</math>
::::<math>L(t,x,\dot x, \ddot x) = 1 + \ddot x ^2</math>
::::<math>{\partial L \over \partial x}(t,x,\dot x, \ddot x) = 0</math>
::::<math>{\partial L \over \partial \dot x}(t,x, \dot x, \ddot x) = 0</math>
::::<math>{d \over dt} \left [{\partial L \over \partial \dot x}(t,x, \dot x, \ddot x) \right ]= 0</math>
::::<math>{\partial L \over \partial \ddot x}(t,x, \dot x, \ddot x) = 2 \ddot x</math>
::::<math>{d^2 \over dt^2} \left [{\partial L \over \partial \ddot x}(t,x, \dot x, \ddot x) \right ]= 2 \dot {\ddot x}</math>
 

::::Equação de Euler-Poisson
 

::::<math>{\partial L \over \partial x}(t,x, \dot x, \ddot x) - {d \over dt} \left [ {\partial L \over \partial \dot x} (t,x, \dot x, \ddot x) \right ] + {d^2 \over dt^2} \left [ {\partial L \over \partial \ddot x} (t,x, \dot x, \ddot x) \right ] = 0</math>
::::<math>0 - 0 + 2 \dot {\ddot x} = 0 \rightarrow \color{blue}\dot {\ddot x} = 0</math>
 

::::Integrando <math>\dot {\ddot x}(t)</math>, <math>\ddot x(t)</math> e <math>\dot x(t)</math>.
 

::::<math>\dot {\ddot x}(t) = 0 \rightarrow \int_{0}^{1} (\dot {\ddot x}(t)) dt = \int_{0}^{1} (0) dt \rightarrow \ddot x(t) = k_1</math>
::::<math>\dot x(t) = k_1t + k_2</math>
::::<math>x(t) = {k_1 \over 2} t^2 + k_2 t + k_3</math>
 

::::Substituindo as condições iniciais.
 

::::<math>x(0) = {k_1 \over 2} \cdot 0^2 + k_2 \cdot 0 + k_3 = 0 \rightarrow k_3 = 0</math>
::::<math>\dot x(0) = k_1 \cdot 0 + k_2 = 1 \rightarrow k_2 = 1</math>
::::<math>x(1) = {k_1 \over 2} \cdot 1^2 + k_2 \cdot 1 + k_3 = 1 \rightarrow k_1 = (1 - 1 - 0) \cdot 2 = 0 </math>
::::<math>{\color{blue}x(t)} = {0 \over 2} t^2 + 1 \cdot t + 0 = {\color{blue}t}</math>
 

::::Ainda há mais uma condição que não precisou ser utilizada para chegar ao extremal. Entretanto, podemos substituir a condição no extremal encontrado para ver se é atendida.
 

::::<math>\dot x(1) = k_1 \cdot 1 + k_2 = 1 \rightarrow k_2 = 1</math>. Atende.
 

== Exercício 1 <ref>BONIFAZ F., José Luis; LAMA C., Ruy. '''Optimización dinámica y teoría económica'''. Lima: Centro de Investigatión de la Universidad del Pacífico, 1999.</ref> - Controle Ótimo ==

1. Halle las sendas óptimas <math>u^*(t)</math>, <math>y^*(t)</math> y <math>\lambda^*(t)</math> en los seguientes casos:
 

:{|
| a.
|
|-
| max
| <math>V = \int_{0}^{2}(3y(t)-2u(t)^2)dt</math>
|-
| s.a
| <math>y'(t) = 3u(t) - 1</math>
|-
|
| <math>y(0) = 1</math>
|-
|
| <math>y(2) = y_2 (\text{libre})</math>
|}
 

::::Construir Hamiltoniano.
 

::::<math>H(t, \lambda(t), u(t), y(t)) = f(t, y(t), u(t)) + \lambda(t) \cdot g(t,y(t),u(t))</math>
::::<math>H(t, \lambda(t), u(t), y(t)) = 3y(t) - 2u(t)^2 + \lambda(t) \cdot (3u(t) - 1)</math>
 

::::Princípio do Ótimo de [https://pt.wikipedia.org/wiki/Princ%C3%ADpio_m%C3%ADnimo_de_Pontryagin Pontryagin] (condição necessária de H).
 

::::<math>{\partial H \over \partial u(t)} = -4u(t)+3\lambda(t) = 0 \rightarrow u^*(t) = {3 \over 4} \lambda(t)</math>
 

::::As equações do movimento do problema.
 

::::<math>y'(t) = {\partial H \over \partial \lambda(t)} = 3u(t) - 1</math>
::::<math>\lambda'(t) = - {\partial H \over \partial y(t)} = -3 \rightarrow \text{ integrar }\lambda'(t) \rightarrow \lambda(t) = \int_{0}^{2} (-3) dt = -3t + k_1</math>
 

::::Encontrar a constante <math>k_1</math> por meio da condição de transversalidade.
 

::::<math>H(t) \cdot dt - \lambda(t) \cdot dy(t) = 0</math>

::::Quando o tempo final <math>t</math> é fixo e o Hamiltoniano não depende explicitamente do tempo <math>\left ( {\partial H \over \partial t} = 0 \right ) \, </math>, então, <math>H(x^*(t),u^*(t),\lambda^*(t)) = \text{constante}</math>. Se o tempo final <math>t</math> é livre, então <math>H(x^*(t),u^*(t),\lambda^*(t)) = 0</math>. Portanto:
 

::::<math>\cancel{H(t) \cdot dt} - \lambda(t) \cdot dy(t) = 0 \rightarrow - \lambda(t) \cdot dy(t) = 0 </math>
 

::::Para que a variação <math>dy(t)</math> seja maior que zero, é necessário que <math>\lambda(t) = 0</math>.
 

::::<math>\lambda(2) = 0 \rightarrow -3t + k_1 = 0 \rightarrow k_1 = 6 \rightarrow \color{blue}\lambda^*(t) = -3t + 6</math>
 

::::Substituir <math>\lambda^*(t)</math> em <math>u^*(t)</math>.
 

::::<math>{\color{blue}u^*(t)} = {3 \over 4} \lambda^*(t) = {3 \over 4} \cdot (-3t + 6) = \color{blue}{-9t + 18 \over 4}</math>
 

::::Substituir <math>u^*(t)</math> em <math>y'(t)</math>.
 

::::<math>y'(t) = 3u^*(t) - 1 = 3 \cdot \left ({-9t+18 \over 4} \right) - 1 = {-27t+54 \over 4} - 1 = {-27t+50 \over 4} = -{1 \over 4} \cdot (27t-50)</math>
 

::::Integrar <math>y'(t)</math>.
 

::::<math>y^*(t) = \int_{0}^{2} (y'(t)) dt = - {1 \over 4} \cdot \int_{0}^{2} (27t-50) dt = - {1 \over 4} \left ( {27t^2 \over 2} - 50t + k_2 \right ) = - {27t^2 \over 8} + {50t \over 4} - {k_2 \over 4}</math>
 

::::Usar as condições iniciais do problema para achar a constante <math>k_2</math>:
 

::::<math>y(0) = - {27 \cdot 0^2 \over 8} + {50 \cdot 0 \over 4} - {k_2 \over 4} = 1 \rightarrow k_2 = -4</math>
 

::::<math>\color{blue}y^*(t) = - {27t^2 \over 8} + {50t \over 4} + 1 </math>
 

::::Montar a Hessiana para ver se a função Hamiltoniano é côncava. Se sim, então <math>\lambda^*(t)</math>, <math>u^*(t)</math> e <math>y^*(t)</math> são soluções do problema de Controle Ótimo.
 

::::<math> - \text{Hessiana} = \begin{bmatrix} {\partial^2H \over \partial u(t)^2} & {\partial^2H \over \partial y(t) \partial u(t)} \\ {\partial^2H \over \partial u(t) \partial y(t)} & {\partial^2H \over \partial y(t)^2} \end{bmatrix} = - \begin{bmatrix} -4 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}</math>
 

::::<math>\left. \begin{matrix} H1 < 0 \\ H2 = 0 \end{matrix} \right \} \left. \begin{matrix} - H1 > 0 \\ - H2 = 0 \end{matrix} \right \}</math> [https://pt.wikipedia.org/wiki/Sinal_de_conclus%C3%A3o <math>\therefore</math>], <math>-H</math> é positiva semi-definida e a função Hamiltoniana é côncava.
 

:{|
| b.
|
|-
| max
| <math>V = \int_{0}^{1}Ln(4yu)dt</math>
|-
| s.a
| <math>y' = 4y(1-u)</math>
|-
|
| <math>y(0) = 1</math>
|-
|
| <math>y(1) = e^2</math>
|}
 

::::Construir Hamiltoniano.
 

::::<math>H(t, \lambda, u, y) = Ln(4yu) + \lambda \cdot 4y(1-u)</math>
 

::::Princípio do Ótimo de [https://pt.wikipedia.org/wiki/Princ%C3%ADpio_m%C3%ADnimo_de_Pontryagin Pontryagin] (condição necessária, mas não suficiente).
 

::::<math>{\partial H \over \partial u(t)} = {(4yu)' \over 4yu} - 4y \lambda = {4y \over 4yu} - 4y \lambda = 0 \rightarrow u^*(t) = {1 \over 4y(t) \lambda(t)}</math>
 

::::As equações do movimento do problema.
 

::::<math>y' = {\partial H \over \partial \lambda} = 4y(1-u)</math>
::::<math>\lambda' = - {\partial H \over \partial y} = - \left ({(4yu)' \over 4yu} + 4 \lambda -4 \lambda u \right ) = - {1 \over y} - 4 \lambda + \cancel{4 \lambda} \cdot {1 \over \cancel{4 \lambda} y} = -4 \lambda \rightarrow \text{ integrar }\lambda' \rightarrow \lambda = \int_{0}^{1} (- 4 \lambda) dt = k_1 e^{-4t}</math>
 

::::Substituir <math>\lambda</math> em <math>y'</math>.
 

::::<math>y' = 4y(1-u^*) = 4y\left (1 - {1 \over 4y \lambda} \right ) = 4y - \left ( {\cancel{4y} \over \cancel{4y} \cdot k_1e^{-4t}} \right ) = 4y - {e^{4t} \over k_1}</math>
 

::::Como resolver <math>x'(t) = a(t)x(t) + b(t)</math>
 

::::Defina <math>\alpha (t) = \int_{0}^{t} a(s) ds</math>
 

::::<math>x(t) = e^{\alpha (t)} \left ( \int_{0}^{t} e^{-\alpha (s)} \cdot b(s)ds + c \right ) </math>
 

::::Verificação
 

::::<math>x'(t) = \alpha'(t) \cdot e^{\alpha(t)} \left ( \int_{0}^{t} e ^ {-\alpha(t)} \cdot b(s)ds + c \right ) + \cancel{e^{\alpha(t)}} \left ( \cancel{e^{-\alpha(t)}} \cdot b(t) \right) = \alpha'(t) x(t) + b(t)</math>
 

::::<math>y'(t)= 4y - {e^{4t} \over k_1} \qquad a(t)=4 \qquad b(t)=- {e^{4t} \over k_1}</math>
 

::::<math>\alpha(t) = \int_{0}^{t} 4ds = 4s \Big|_{0}^{t} = 4t </math>
 

::::<math>y(t) = e^{4t} \left ( \int_{0}^{t} \cancel{e^{-4s}} \left ( -{\cancel{e^{4s}} \over k_1} \right ) ds + c \right ) = e^{4t} \left ( \int_{0}^{t} -{1 \over k_1} ds + c \right ) = e^{4t} \left ( -{t \over k_1} + c \right )</math>
 

::::<math>y(0) = e^{4 \cdot 0} \left ( - {0 \over k_1} + c \right ) = 1 \rightarrow c = 1</math>
 

::::<math>y(1) = e^{4 \cdot 1} \left ( - {1 \over k_1} + 1 \right ) = e^2 \rightarrow e^{-2} = {-1 + k_1 \over k_1} \rightarrow k_1 e^{-2} - k_1= -1 = k_1 (e^{-2} - 1) \rightarrow k_1 = - {1 \over e^{-2}-1} \approx 1,15652</math>
 

::::Logo:
 

::::::<math>{\color{blue}y^*(t) }= e^{4t} \left ( -{t \over k_1} + c \right ) \approx {\color{blue}e^{4t} \left ( -{t \over 1,16} + 1 \right )}</math>
::::::<math>{\color{blue}\lambda^*(t)} = k_1 e^{-4t} \approx {\color{blue}{1,16 \over e^{4t}}}</math>
::::::<math>{\color{blue}u^*(t)} = {1 \over 4y^*(t)\lambda^*(t)} = {1 \over 4 \cdot \cancel{e^{4t}} \left ( -{t \over 1,16} + 1 \right ) \cdot {1,16 \over \cancel{e^{4t}}} } \approx {\color{blue} {1 \over -4t + 4,63} }</math>
 

::::Verificar se a função Hamiltoniana é côncava em relação a <math>y</math> e <math>u</math>.
 

::::<math>\color{red} - \text{Hessiana} = \begin{bmatrix} {\partial^2H \over \partial u(t)^2} & {\partial^2H \over \partial y(t) \partial u(t)} \\ {\partial^2H \over \partial u(t) \partial y(t)} & {\partial^2H \over \partial y(t)^2} \end{bmatrix} = - \begin{bmatrix} -{1 \over u^2} & 0 \\ 0 & -{1 \over y^2} \end{bmatrix}</math>
 

::::<math>\left. \begin{matrix} H1 < 0 \\ H2 < 0 \end{matrix} \right \} \left. \begin{matrix} - H1 > 0 \\ - H2 > 0 \end{matrix} \right \}</math> [https://pt.wikipedia.org/wiki/Sinal_de_conclus%C3%A3o <math>\therefore</math>], <math>-H</math> é positiva definida e a função Hamiltoniana é côncava.
 

:{|
| c.
|
|-
| max
| <math>V = \int_{0}^{1}-u^2 dt</math>
|-
| s.a
| <math>y' = y + u</math>
|-
|
| <math>y(0) = 1</math>
|-
|
| <math>y(1) = 0</math>
|}
 

::::Construir Hamiltoniano.
 

::::<math>H(t, \lambda, u, y) = -u^2 + \lambda \cdot (y + u)</math>. <math>H</math> não é linear em relação a <math>u</math>.
 

::::Princípio do Ótimo de [https://pt.wikipedia.org/wiki/Princ%C3%ADpio_m%C3%ADnimo_de_Pontryagin Pontryagin] (condição necessária de H).
 

::::<math>{\partial H \over \partial u} = -2u + \lambda = 0 \rightarrow u^* = {\lambda \over 2}</math>
 

::::As equações do movimento do problema.
 

::::<math>y' = {\partial H \over \partial \lambda} = y + u</math>
::::<math>\lambda' = - {\partial H \over \partial y} = -\lambda \rightarrow \text{ integrar }\lambda' \rightarrow \lambda^*(t) = \int_{0}^{1} (-\lambda) dt = k_1e^{-t}</math>
 

::::Substituir <math>\lambda^*(t)</math> em <math>u^*(t)</math>.
 

::::<math>u^*(t) = {\lambda^* \over 2} = {k_1e^{-t} \over 2} </math>
 

::::Equação Diferencial Ordinária ([[Métodos numéricos/Equações diferenciais ordinárias|Wikibooks]], [https://pt.wikipedia.org/wiki/Equa%C3%A7%C3%A3o_diferencial_ordin%C3%A1ria Wikipédia]) (e substituir <math>u^*(t)</math> em <math>y'(t)</math>).
 

::::<math>y'(t) = y(t) + {k_1 e^{-t} \over 2} \qquad a(t)=1 \qquad b(t)= {k_1 e^{-t} \over 2}</math>
 

::::<math>\alpha (t) = \int_{0}^{t} a(s) ds = \int_0^t 1ds = t</math>
 

::::<math>y(t) = e^{\alpha (t)} \left ( \int_{0}^{t} e^{-\alpha (t)} \cdot b(s)ds \right ) = e^t \left ( \int_{0}^{t} e^{-s} \cdot {k_1 \over 2} e^{-s} ds \right ) = e^t \left ( \int_{0}^{t} {k_1 \over 2} e^{-2s} ds \right ) = e^t \left ( -{k_1 \over 2} \cdot {e^{-2t} \over 2} +c \right ) = -{k_1 \over 4} e^{-t} +c \cdot e^t</math>
 

::::<math>y(0) = -{k_1 \over 4} e^{-0} +c \cdot e^0 = 1 \rightarrow c = 1 + {k_1 \over 4} </math>
 

::::<math>y(1) = -{k_1 \over 4} e^{-1} +c \cdot e^1 = 0 \rightarrow c = {0 + {k_1 \over 4} e^{-1} \over e} = {k_1 \over 4} \cdot e^{-2}</math>
 

::::::<math>{1+k_1 \over 4} = {k_1 \over 4} \cdot e^{-2} \rightarrow 4 + k_1 = e^{-2} k_1 \rightarrow k_1(1-e^{-2}) = -4 \rightarrow k_1 = {-4 \over 1-e^{-2}} \approx -4,62607 </math>
 

::::<math>c= 1+{k_1 \over 4} \approx 1 - {4,62 \over 4} \approx -0,15652</math>
 

::::Logo:
 

::::::<math>{\color{blue}\lambda^*(t)} = k_1 e^{-t} \approx \color{blue}-4,63 e^{-t}</math>
::::::<math>{\color{blue}u^*(t)} = {k_1 e^{-t} \over 2}  \approx \color{blue} -2,31 e^{-t}</math>
::::::<math>{\color{blue}y^*(t) }= -{k_1 \over 4} \cdot e^{-t} + c \cdot e^t \approx \color{blue} 1,16 e^{-t} -0,16 e^t </math>
 

::::Verificar se a função Hamiltoniana é côncava em relação a <math>y</math> e <math>u</math>.
 

::::<math> - \text{Hessiana} = \begin{bmatrix} H_{uu} & H_{yu} \\ H_{uy} & H_{yy} \end{bmatrix} = - \begin{bmatrix} -2 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}</math>
 

::::<math>\left. \begin{matrix} H1 < 0 \\ H2 = 0 \end{matrix} \right \} \left. \begin{matrix} - H1 > 0 \\ - H2 = 0 \end{matrix} \right \}</math> [https://pt.wikipedia.org/wiki/Sinal_de_conclus%C3%A3o <math>\therefore</math>], <math>-H</math> é positiva semi-definida e a função Hamiltoniana é côncava.
 

:{|
| d.
|
|-
| max
| <math>V = \int_{0}^{1} -{1 \over 2} \cdot (u^2 + y^2) dt</math>
|-
| s.a
| <math>y' = u - y</math>
|-
|
| <math>y(0) = 1</math>
|-
|
| <math>y(1) = y_1(\text{libre})</math>
|}
 

::::Construir Hamiltoniano.
 

::::<math>H(t, \lambda, u, y) = -{1 \over 2} \cdot (u^2 + y^2) + \lambda \cdot (u - y)</math>. <math>H</math> não é linear em relação a <math>u</math>.
 

::::Princípio do Ótimo de [https://pt.wikipedia.org/wiki/Princ%C3%ADpio_m%C3%ADnimo_de_Pontryagin Pontryagin] (condição necessária de H).
 

::::<math>{\partial H \over \partial u} = -u + \lambda = 0 \rightarrow u^* = \lambda</math>
 

::::As equações do movimento do problema.
 

::::<math>y' = {\partial H \over \partial \lambda} = u - y</math>
::::<math>\lambda' = - {\partial H \over \partial y} = y + \lambda</math>
 

::::Substituir <math>u</math> em <math>y'</math>.
 

::::<math>y' = u - y = \lambda - y</math>
 

::::Logo, <math>\begin{matrix} \lambda' = \lambda + y \\ y' = \lambda - y \end{matrix} \rightarrow \begin{bmatrix} \lambda \\ y \end{bmatrix}' = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \lambda \\ y \end{bmatrix} \rightarrow J_f = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}</math>
 

::::Diagrama de Fase
 

::::::Encontrar as singularidades
 

::::::::<math>\lambda + y = 0 \rightarrow \lambda = -y</math>
::::::::<math>\lambda - y = 0 \rightarrow - y - y = 0 \rightarrow - 2y = 0 \rightarrow y = 0 \rightarrow \lambda = -y = 0</math>
::::::::Singularidade (0,0)
 

::::::Determinar os autovalores e autovetores:
 

::::::::<math>\begin{bmatrix} 1-\lambda & 1 \\ 1 & -1-\lambda\end{bmatrix}</math>
::::::::<math>(1-\lambda)(-1-\lambda)-1 = 0 = -1 \cancel{-\lambda + \lambda} + \lambda^2 - 1 = \lambda^2 - 2 \rightarrow \lambda \approx \pm 1,41421</math>
::::::::Autovetores (pelo Scilab): <math>v_1 = (-0,92 \quad -0,38) \qquad v_2 = (0,38 \quad -0,92)</math>
 

::::::[[Ficheiro:Grafico autovetor.png|||alt=Gráfico autovetor|semmoldura|nenhum||307x269px|]]
 

:{|
| e.
|
|-
| max
| <math>V = \int_{0}^{T} -dt</math>
|-
| s.a
| <math>y' = y + u</math>
|-
|
| <math>y(0) = 5</math>
|-
|
| <math>y(T) = 11(\text{T libre})</math>
|}
 

::::Construir Hamiltoniano.
 

::::<math>H(t, \lambda, u, y) = - 1 + \lambda \cdot (y + u)</math>. <math>H</math> é linear em relação a <math>u</math>. Quando isto ocorre, <math>u^*(t)</math> está localizada na fronteira do conjunto. Exemplo:
 

::::::<math>u \in [a,b]</math>
::::::<math>u^*(t) = a, \text{se } \lambda < 0</math>
::::::<math>u^*(t) = b, \text{se } \lambda > 0</math>
 

::::::[[Ficheiro:Grafico exemplo linear.png|||alt=Gráfico exemplo - linear|semmoldura|nenhum||548x188px|]]
 

::::Para determinar <math>\lambda</math>, usamos as equações de movimento.
 

::::<math>y'(t) = {\partial H \over \partial \lambda(t)} = y(t) + u(t)</math>
 

::::<math>\lambda'(t) = - {\partial H \over \partial y(t)} = - \lambda(t) \rightarrow \text{integrar } \lambda'(t) \rightarrow \lambda(t) = k_1 e^{-t}.</math> Como <math>e^{-t}</math> é positivo, o sinal de <math>\lambda</math> depende do valor de <math>k_1</math>.
 

::::Como <math>T</math> é livre, usamos a condição de Transversalidade.
 

::::<math>H(T) = 0 = -1 + \lambda(T)y(T) + \lambda(T)u(T) = -1 + k_1e^{-T} \cdot 11 + k_1e^{-T} u(T) \rightarrow u(T) = {1 \over k_1e^{-T}} - {11k_1e^{-T} \over k_1e^{-T}}  = {e^T \over k_1} - 11</math>
 

::::Logo, <math>y' = y + u = y + {e^t \over k_1} - 11</math>.
 

::::Porém, neste problema não foram estabelecidas as restrições para <math>u</math>. Não temos a informação <math>u \in [a,b]</math>, portanto este problema não tem solução.
 

:{|
| f.
|
|-
| max
| <math>V = \int_{0}^{\infty} (1 - y)u dt</math>
|-
| s.a
| <math>y' = (1 - y)u</math>
|-
|
| <math>y(0) = 0</math>
|-
|
| <math>u(t) \in [0,1]</math>
|}
 

:{|
| g.
|
|-
| max
| <math>V = \int_{0}^{T} (y^2 + ay + bu + cu^2) dt</math>
|-
| s.a
| <math>y' = u</math>
|-
|
| <math>y(0) = d</math>
|-
|
| <math>y(T) = y_T (\text{T libre})</math>
|-
|
| <math>a,b,c,d>0</math>
|}
 

:{|
| h.
|
|-
| max
| <math>V = \int_{0}^{1} (2y - 3u - u^2) dt</math>
|-
| s.a
| <math>y' = y + u</math>
|-
|
| <math>y(0) = 5</math>
|-
|
| <math>y(1) = y_1(\text{libre})</math>
|}
 

== Exercícios 4(a. e b.), 5(a.) e 6(a.) <ref>BONIFAZ F., José Luis; LAMA C., Ruy. '''Optimización dinámica y teoría económica'''. Lima: Centro de Investigatión de la Universidad del Pacífico, 1999.</ref> - Controle Ótimo ==

4. La curva de demanda de un mercado en el instante "<math>t</math>" viene dada por:
 

::::<math>q(t) = a - bq(t) \qquad a,b>0</math>
 

::Donde <math>q(t)</math> y <math>p(t)</math> representan la cantidad y el precio, respectivamente. En este mercado existe una firma grande que fija el precio, y un grupo de firmas pequeñas que son tomadoras de precios. Nuevas firmas pequeñas entrarán al mercado si la firma grande determina un precio mayor a <math>p^*</math>. La producción agregada de las firmas pequeñas <math>(y(t))</math> se comporta de acuerdo con la siguiente ecuación diferencial:
 

::::<math>y' = k(p-p^*) \qquad k>0</math>
::::<math>y(0) = y_0 \qquad y_0>0</math>
 

::La compañía grande produce una cantidad <math>q(t) - y(t)</math>, y presenta un costo medio constante e igual a c <math>(p^* > c > 0)</math>. El objetivo de la empresa es maximizar el valor presente de sus beneficios descontados a la tasa "<math>r</math>":
 

::::<math>\Pi = \int_{0}^{\infty} e^{-n}[p-c][a-bp-y]dt</math>
 

::a. Plante un diagrama de fase que explique la dinámica del precio y la producción de las pequeñas firmas.
::b. Encuentre el valor del precio y la producción de las pequeñas firmas en le estado estacionario.
 

5. La variación de las ventas (<math>V</math>) de un producto de la firma XYZ decrece de manera proporcional al monto de las ventas, pero aumenta proporcionalmente al gasto en publicidad (<math>P</math>) destinado al sector del mercado que aún no adquiere el producto. De esta forma, las ventas se comportan de acuerdo con la siguiente ecuación diferencial:
 

::::<math>V' = -aV + bP \left [ 1 - {V \over M} \right ] \qquad a,b,M>0</math>
::::Dado <math>V(0) = V_0 \qquad V_0>0</math>
 

::Donde M es el valor de las ventas de todas las empresas dentro del mercado. El objetivo de la empresa es maximizar el valor de las ventas hasta el período "<math>T</math>":
 

::::<math>I = \int_{0}^{T} V(t) dt</math>
 

::a. Si la firma XYZ puede destinar a lo más <math>3,000</math> unidades monetárias (u.m.) en publicidad, mediante el principio del máximo halle la política publicitaria óptima y la evolución de las ventas. Asuma los siguientes valores para los parámetros: <math>a=1, b=2, M=100, \alpha = 4, T=12</math>. Considere que las variables de control y estado se encuentran expresadas en miles de u.m.
 

6. Suponga que un partido político acaba de ganar las elecciones presidenciales(<math>t=0</math>) y que las próximas elecciones se realizarán dentro de "<math>T</math>" años. El partido gobernante desea ser reelegido en las siguientes elecciones, razón por la cual busca maximizar la intención de voto de la ciudadanía representada a través de la función <math>v(*)</math>. Los votantes evalúan al gobierno sobre la base de la evolución de la inflación (<math>p</math>) y el desempleo (<math>u</math>) durante el período de gobierno. Los electores le asignan una mayor importancia a la situación económica cercana al período de elección, de acuerdo con el factor <math>e^\pi</math>. De este modo, el funcional objetivo del partido governante es el siguiente:


::::<math>V = \int_{0}^{T} v(u,p) e^{\pi} dt \qquad r>0</math>
 

::La inflación, el desempleo y la inflación esperada (<math>\pi</math>) en la economía se relacionan de acuerdo con la curva de Phillips:
 

::::<math>p=a-bu+c\pi \qquad a,b,c>0</math>
 

::Por otra parte, la inflación esperada se forma de acuerdo con expectativas adaptativas:
 

::::<math>v(u,p) = -u^2-kp \qquad k>0</math>
 

::a. Halle la trayectoria del desempleo, la inflación y la inflación esperada, si el valor inicial de la inflación esperada es <math>\pi(0) = \pi_0</math> y el valor terminal es libre. Considere al desempleo como la variable de control y a la inflación esperada como la variable de estado.
 

 

== Exercícios 6.3 a 6.5 <ref>LOMELÍ, Héctor y RUMBOS, Beatriz. '''Métodos Dinámicos en Economía. Outra Búsqueda del Tiempo Perdido'''. Río Hondo: Instituto Tecnológico Autónomo de México, 2001.</ref> ==

6.3 Comprobar que las siguientes sucesiones dadas son soluciones de las ecuaciones:
 

::<math>\text{a) } x_t = \cos \pi t; x_{t+1}= -x_t.</math>
 

::::<math>x_t = \cos (\pi \cdot t) \rightarrow \text{sequência}</math>
::::<math>x_0 = \cos (\pi \cdot 0) = \cos 0 = 1</math>
::::<math>x_1 = \cos (\pi \cdot 1) = -1</math>
::::<math>x_2 = \cos (\pi \cdot 2) = 1</math>
::::<math>x_3 = \cos (\pi \cdot 3) = -1</math>
 

::::<math>x_t \rightarrow \text{sequência } \{ 1,-1,1,-1,1,-1, \cdots \} </math>
::::<math>\cos \pi t \left \{ \begin{matrix} 1, \text{ se } t \text{ é par} \\ -1, \text{ se } t \text{ é ímpar} \end{matrix} \right \} x_t = (-1)^t </math>
 

::::Portanto, <math>x_{t+1} = \cos(\pi \cdot (t+1)) = (-1) \cdot \cos(\pi \cdot t) = -x_t</math>, o que comprova que <math>x_{t+1} = -x_t</math>.
 

::<math>\text{b) } x_t = 2^t; x_{t+1}= x_t + 2x_{t-1}.</math>
 

::::<math>x_t = 2^t \rightarrow \text{sequência}</math>
::::<math>x_0 = 2^0 = 1</math>
::::<math>x_1 = 2^1 = 2</math>
::::<math>x_2 = 2^2 = 4</math>
::::<math>x_3 = 2^3 = 8</math>
 

::::<math>x_t \rightarrow \text{sequência } \{ 1,2,4,8, \cdots \} </math>
 

::::Como <math>x_t = 2^t</math>, então <math>x_{t+1} = 2^{t+1} = 2^t \cdot 2^1 = 2(2^t) = 2^t + 2^t = 2^t + 2^{1 + t - 1} = 2^t + 2(2^{t-1})</math>. Substituindo <math>2^t</math> por <math>x_t</math> e <math>2^{t-1}</math> por <math>x_{t-1}</math>: <math>x_t + 2x_{t-1}</math>. Portanto, fica comprovado que <math>x_{t+1} = x_t + 2x_{t-1}</math>.
 

::<math>\text{c) } x_t = {t(t+1) \over 2}; x_{t+1}= x_t + t + 1.</math>
 

::::Como <math>x_t = {t(t+1) \over 2}</math>, então <math>x_{t+1} = {(t+1)((t+1)+1) \over 2} = {(t+1)(t+2) \over 2} = {t^2 + t + 2t + 2 \over 2} = {t^2 + t \over 2} + {2t \over 2} + {2 \over 2} = {t(t + 1) \over 2} + t + 1</math>.
 

::::Substituindo <math>{t(t + 1) \over 2}</math> por <math>x_t</math>, fica comprovado que <math>x_{t+1} = x_t + t + 1</math>.
 

6.4 Resolver las siguientes ecuaciones y analizar la convergencia del sistema. Realizar la gráfica de la función <math>x_t</math> en todos los casos.
 

::Apenas para lembrete: <math>\left \{ \begin{matrix} x_t = a^t \cdot x_0, \text{ se } b=0 \\ x_t = {b \over 1-a} + a^t \cdot \left(x_0 - {b \over 1-a} \right ), \text{ se } b \ne 0 \text{ e } a \ne 1 \end{matrix} \right.</math>
 

::<math>\text{a) } x_{t + 1} = -0.5x_t + 3</math>
 

::::Como <math>(a \ne 1 \text{ e } b \ne 0)</math>, então:
 

::::<math>x_t = {b \over 1-a} + a^t \cdot \left(x_0 - {b \over 1-a}\right) = {3 \over 1-(-0,5)} + (-0,5)^t \cdot \left(x_0 - {3 \over 1-(-0,5)}\right) = {3 \over {3 \over 2}} +(-0,5)^t \cdot \left(x_0 - {3 \over {3 \over 2}}\right) = 2 + (-0,5)^t \cdot (x_0 - 2)</math>
 

::::Como <math>(-0,5)^t</math> tende para zero com <math>t \to \infty</math>, então <math>(-0,5)^t \cdot (x_0 - 2)</math> tende para zero e, [https://pt.wikipedia.org/wiki/Sinal_de_conclus%C3%A3o <math>\therefore</math>], <math>\lim_{t \to \infty}2+(-0,5)^t \cdot (x_0-2) = 2.</math> Converge para o ponto <math>2</math>.
 

::::[[Ficheiro:Grafico convergindo para dois.png|||alt=Gráfico convergindo para dois|semmoldura|nenhum||463x240px|]]
 

::<math>\text{b) } 2x_{t + 1} = 3x_t + 4</math>
 

::::<math>x_{t+1} = {3x_t + 4 \over 2} = {3 \over 2} \cdot x_t + 2</math>
 

::::Como <math>(a \ne 1 \text{ e } b \ne 0)</math>, então:
 

::::<math>x_t = {b \over 1-a} + a^t \cdot \left(x_0 - {b \over 1-a}\right) = {2 \over 1-{3 \over 2}} + \left ({3 \over 2} \right)^t \cdot \left(x_0 - {2 \over 1-{3 \over 2}}\right) = -4 + 1,5^t \cdot (x_0 + 4)</math>
 

::::<math>1,5^t \cdot (x_0 + 4)</math> tende para o infinito positivo com <math>t \to \infty</math> e, [https://pt.wikipedia.org/wiki/Sinal_de_conclus%C3%A3o <math>\therefore</math>], <math>\lim_{t \to \infty}-4+1,5^t \cdot (x_0+4) = \infty.</math> Produz uma série divergente.
 

::::[[Ficheiro:Grafico tendente para infinito positivo.png|||alt=Gráfico tendente para infinito positivo|semmoldura|nenhum||446x224px|]]
 

::<math>\text{c) } x_{t + 1} = -x_t + 5</math>
 

::::Como <math>(a \ne 1 \text{ e } b \ne 0)</math>, então:
 

::::<math>x_t = {b \over 1-a} + a^t \cdot \left(x_0 - {b \over 1-a}\right) = {5 \over 1-(-1)} + (-1)^t \cdot \left(x_0 - {5 \over 1-(-1)}\right) = {5 \over 2} + (-1)^t \cdot \left(x_0 - {5 \over 2}\right)</math>
 

::::<math>(-1)^t \left \{ \begin{matrix} 1, \text{ se } t \text{ é par} \\ -1, \text{ se } t \text{ é ímpar} \end{matrix} \right.</math>
 

::::[https://pt.wikipedia.org/wiki/Sinal_de_conclus%C3%A3o <math>\therefore</math>], <math>\lim_{t \to \infty}{5 \over 2} + (-1)^t \cdot \left(x_0 - {5 \over 2}\right)</math> não está definido e produz uma série divergente.
 

::::[[Ficheiro:Grafico oscilando.png|||alt=Gráfico oscilando|semmoldura|nenhum||451x241px|]]
 

::<math>\text{d) } x_{t + 1} - x_t = -{4 \over 3}x_t</math>
 

::::<math>x_{t+1} = -{4 \over 3}x_t + x_t = -{2 \over 3}x_t</math>
 

::::Como <math>(b = 0)</math>, então:
 

::::<math>x_t = a^t \cdot x_0 = \left(-{1 \over 3}\right)^t \cdot x_0</math>
 

::::Como <math>\left(-{1 \over 3}\right)^t</math> tende para zero com <math>t \to \infty</math>, então <math>\lim_{t \to \infty}\left(-{1 \over 3}\right)^t \cdot x_0 = 0.</math> Converge para zero.
 

::::[[Ficheiro:Grafico convergindo para zero.png|||alt=Gráfico convergindo para zero|semmoldura|nenhum||455x250px|]]
 

6.5 El ingreso, <math>Y_t</math>, evoluciona de acuerdo a la siguiente ecuación:
 

::<math>Y_{t+1} = C_t + I_t,</math>
 

::en donde <math>I_t</math> es inversión y <math>C_t</math> es el consumo. Si <math>C_t = mY_t + c</math> con <math>m < 1</math> y <math>c > 0</math> y la inversión es constante de manera que <math>I_t = I</math>, obtener una ecuación en diferencias para el ingreso y resolver. Analizar la convergencia del modelo.
 

::<math>\text{Consumo }C_t = mY_t + c \qquad m<1 \qquad c>0 \qquad I_t = I \text{ (investimento constante)}</math>
 

::<math>Y_{t+1} = C_t + I_t = mY_t + c + I \qquad (a = m \ne 1 \text{ por ser menor que } 1, b = c + I \ne 0)</math>
 

::<math>Y_t = {b \over 1-a} + a^t \cdot \left(x_0 - {b \over 1-a}\right) = {c+I \over 1-m} + m^t \cdot \left(Y_0 - {c+I \over 1-m}\right) .</math> Tem como ponto fixo <math>Y^* = {c+I \over 1-m}.</math>
 

::<math>\lim_{t \to \infty} Y_t = \lim_{t \to \infty} Y^* + m^t \cdot (Y_0 - Y^*)</math>
 

::<math>Y^* > 0</math>, pois <math>c</math> e <math>I</math> são positivos e <math>m</math> menor que <math>1</math>.
 

::Se <math>m \in (-1,1) \setminus 0</math>, então <math>\lim_{t \to \infty} Y^* + m^t \cdot (Y_0 - Y^*) = Y^*</math>, convergindo monotonamente se <math> m>0 </math> ou alternadamente se <math> m<0 </math>.
 

::Conforme as condições iniciais, o <math>m</math> não pode ser maior que (ou igual a) <math>1</math>. No caso de <math>m<-1</math>, o <math>\lim_{t \to \infty} Y^* + m^t \cdot (Y_0 - Y^*)</math> não é definido e produz uma série divergente.
 

{{Referências}}