Mostrar código-fonte de Cálculo (Volume 3)/Sequências numéricas infinitas

{{fusão|Cálculo (Volume 3)/Seqüências numéricas infinitas}}
__TOC__
<div style="background-color:#DFDFDF;width:100%;text-align:center;">'''''Wikiversidade - Disciplina: Cálculo IV'''''</div>
{{Indentar}}

==Conceitos Iniciais==

Uma sequência pode ser entendida como um conjunto de valores enumerados em uma ordem, de forma a estabelecer uma lista. Esta lista é, usualmente, denotada como <math>a_n</math>, genericamente devido ao fato de que cada elemento pode ser identificado pela posição na lista. Temos, por exemplo, <math> a_1, a_2, a_3, a_4, \cdots a_n</math>, como uma representação de uma sequência.

===Representação===
Para se representar uma sequência, colocam-se os membros entre parênteses, seraparados por vírgulas (quando há números decimais na sequência, usa-se o ponto-e-vírgula). Exemplos:

<math>\,\!P.a.(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,...)</math>

<math>\,\!P.g.(1;0,5;0,25;0,125;0,0625;0,03125;0,015625;...)</math>

Vejamos alguns exemplos de sequências, notando que, a princípio, não há uma regra clara para estabelecimento de cada valor que os termos da mesma assumem:

<math>\{0,1,0,3,0,5,1,7 \cdots\}</math>

<math>\left\{\frac{1}{3},\frac{2}{9},\frac{3}{27}\cdots \right\}</math>

<math>\left\{\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2},\frac{5\pi}{2}\cdots \right\}</math>

===Fórmula do termo geral===
[[Imagem:Sucesión aritmética.png|thumb|250px|Uma progressão aritmética.]]
Por vezes, uma sequência possui um padrão que permite criar uma fórmula do termo geral. É uma equação fundamental que determina os termos da sequência.

Em uma progressão aritmética, por exemplo, a fórmula do termo geral é:

<math>a_n=a_1+(n-1).r\,\!</math>


Apesar de não haver uma exigência de que haja uma equação que descreva o comportamento dos elementos de uma sequência, as sequências que mantem uma relação como regra para definição de seus termos são muito úteis para o estudo do comportamento numérico. De modo genérico, podemos dizer que o mais comum é estabelecer uma relação do numero que designa o ítem da sequência e o elemento. Por exemplo, podemos ter:

<math>a_n = \frac{n(n+1)}{2}</math>

Esta sequência nos fornece para cada termo a somatória dos números inteiros até o nésimo elemento da sequência. 
A função sequência tem um gráfico onde os valores são apresentados como pontos cuja magnitude é expressa em <math>y</math> e o número do indice da sequência é expresso em <math>x</math>, vejamos o exemplo abaixo:

[[Imagem:sequencia.png]]

Podemos observar que os pontos representantes das amplitudes fazem com que o aspecto do gráfico de uma sequência seja diferente do conjunto contínuo que nos abituamos a observar em gráficos de funções. Enquanto a função se mantém definida para <math>\mathbb{R}</math>, a sequência define valores em <math>\mathbb{N}^*</math>.

Observando o gráfico da sequência, vemos que a medida que os números índice crescem as amplitudes se aproximam de um valor fixo em "y". Esta característica torna-se bastante útil para análise de tendências. Por este motivo vamos analisar estas sequências com maior atenção.

== Formalmente ==

'''Definição''': Uma seqüência (em Portugal diz-se sucessão) é uma função onde o domínio é <math>\Z_+^* \,\!</math> e cuja imagem é <math>\R \,\!</math> ou <math>\Z \,\!</math>.
<math>f: \Z_+^* \rightarrow \R</math>

É uma lista de elementos, ou seja, um conjunto ordenado de maneira que cada elemento fica naturalmente seqüenciado. Uma seqüência é uma função com domínio igual ao conjunto dos números inteiros positivos (ou, o que é o mesmo, o conjunto dos números naturais não-nulos).

A seqüência dos inteiros positivos é: 1, 2, 3, ..., ''n'' - 1, ''n'', ''n'' + 1, ... Cada número é um termo, com ''n'' sendo o ''enésimo'' termo. Denota-se a seqüência por:
{''a''<sub>''n''</sub>}; assim sendo, na lista de inteiros positivos acima, ''a''<sub>1</sub> é 1, ''a''<sub>317</sub> é 317, e ''a''<sub>''n''</sub> é ''n''.

A seqüência também é indicada por: ''a''<sub>0</sub>, ''a''<sub>1</sub>, ''a''<sub>2</sub>, ..., ''a''<sub>''n''</sub>, ... Os termos da seqüência fazem parte de um conjunto comumente indicado por '''S'''; Eles são uma '''seqüência em S'''.

Uma seqüência pode ter um número ''finito'' ou ''infinito'' de termos; portanto, pode ser uma ''seqüência finita'' ou uma ''seqüência infinita''. Obviamente, é impossível enumerar ou explicitar todos os termos de uma seqüência infinita. seqüências infinitas são dadas listando-se seus primeiros termos e colocando um sinal de reticências donde, com costumeira sorte, se depreende a regra formadora do restante da seqüência.

Formalmente, uma seqüência pode ser definida como uma função de <math>\mathbb{N}</math> (o conjunto dos números naturais) em '''S'''.  

Se ''S'' for o conjunto dos inteiros, então trata-se de uma seqüência inteira. Se for um conjunto de polinômios, então é uma seqüência polinomial.

Uma ''subseqüência'' de uma seqüência ''S'' é formada removendo-se alguns elementos de ''S'' sem mudar a posição relativa dos elementos restantes.

Alternativamente, pode-se definir uma seqüência de modo ''recursivo''. Consiste em se definir alguns termos iniciais e, a partir daí, atribui-se uma regra que a cada novo termo depende de um ou mais termos antecedentes. Talvez o exemplo mais famoso seja o da [[w:Seqüência de Fibonacci|seqüência de Fibonacci]].

A soma de uma seqüência é chamada de série matemática. Por exemplo:
:<math>1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\cdots+\frac{1}{2^{n-1}} = \frac{2^n-1}{2^{n-1}} </math>

'''Notações''':

   1 <math>(a_1, a_2, \ldots, a_n, \ldots)</math>
   2 <math>{a_1, a_2, a_3, \ldots}</math>
   3 <math>{f(n)} = f(1), f(2), f(3), \ldots, f(n), \ldots</math>
   4 <math>f(n) = a_n \qquad {a_n} = a_1, a_2, \ldots, a_n, \ldots</math>

OBS.: Utilizaremos mais a notação 4

OBS.: Estudaremos apenas seqüências que obedecem a uma lei de formação



== Evolução ==

As sequências evoluem, dependendo do seu número sequencial <math>n</math>, de diversas formas. Esta evolução pode ser classificada quando a equação da sequência é conhecida. Podemos, nestes casos, verificar se a evolução da fórmula leva a números em ordem crescente ou decrescente em um intervalo ou durante sua evolução completa, do primeiro elemento ao infinito.

Uma sequência é classificada como crescente quando, para cada <math>n</math>, temos <math>a_n < a_{n+1}</math> e decrescente quando <math>a_n > a_{n+1}</math>. Este comportamento pode ser encontrado em um trecho em particular da evolução, delimitado por dois valores de <math>n</math>, ou em toda a evolução. Sob este contexto, uma sequência crescente ou decrescente pode ser chamada de '''monotônica''' quando apresenta apenas um dos comportamentos.

Vamos analisar a evolução da sequência: <math>a_n = \frac{n+1}{5n-2}</math>

<math>a_1 = \frac{1+1}{5(1)-2}=\frac{2}{3}</math>

<math>a_2 = \frac{2+1}{5(2)-2}=\frac{3}{8}</math>

<math>a_3 = \frac{3+1}{5(3)-2}=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}</math>

<math>a_4 = \frac{4+1}{5(4)-2}=\frac{5}{18}</math>

<math>a_5 = \frac{5+1}{5(5)-2}=\frac{6}{23}</math>

ou seja, temos:

<math>a_n = \left\{\frac{2}{3},\frac{3}{8},\frac{1}{3},\frac{5}{18},\frac{6}{23}, \cdots \right\}</math>

Portanto, a sequência aparentemente indefinível algebricamente por uma expressão em função do índice, se mostra redutível a uma equação. Estas séries redutíveis a equações nos fornecem informações muito úteis, nos permitindo encontrar relações e regras que podemos usar na síntese de equações.

== Limites no infinito ==

Temos sequências que se aproximam de valores quando <math>n</math> tende a aumentar indefinidamente, ou seja, quando o valor desta variável tende a infinito. Este comportamento é similar ao encontrado quando analisamos funções que tendem a valores quando levadas ao infinito. A única diferença entre funções e sequências, quando analisadas sob este aspecto, é o fato das sequências exigirem valores inteiros das variáveis, enquanto que funções admitem valores reais para as mesmas.

Uma vez que temos a evolução de valores de sequências similares a valores de funções, é plausível concluir que limites em valores estritamente limitados a números inteiros possam levar a análise de limites de forma semelhante. Então vejamos como esta análise pode ser conduzida:

Conforme fizemos o estudo de limites no infinito no Volume 1, temos <math>N</math> como um número tomado sob a abscissa inteira, ou seja, um número inteiro. Uma vez que tomamos este número, façamos a sequência <math>a_n</math> evoluir a números maiores e observamos que estes se aproximam de um valor <math>M</math>, quanto mais alto seja <math>N</math> mais proximo de <math>M</math> a sequência <math>a_n</math> se estabelece:

<math>a_n > M</math> sempre que <math>n > N </math>

Desta forma, os valores tomados para a sequência são inteiros e o número <math>M</math> tem a única obrigação de estar definido para um valor <math>N</math>. Portanto, podemos arbitrar valores cada vez maiores para <math>M</math> dentro do limite estabelecido. Neste intervalo, qualquer valor de <math>N</math> inteiro leva a valores que se aproximam de <math>M</math> por parte de <math>a_n</math>.

O fato de ser possível encontrar este limite nos reporta a informação de convergência, ou seja dizemos que uma sequência '''converge''' quando é possível encontar um limite no infinito, caso contrário dizemos que a sequência '''diverge'''. Portanto, podemos classificar as sequências como '''convergentes''' ou '''divergentes''' de acordo com a existência do limite no infinito ou sua inexistência.

==Limite de uma sequência==

'''Definição''': Dada uma seqüência <math>{a_n} \,\!</math>, dizemos que o número <math>L \in \R \,\!</math> é o limite de <math>{a_n} \,\!</math> para <math>n \rightarrow +\infty \,\!</math> se, <math>\forall \quad \varepsilon  \,\!</math> &gt; 0, <math>\exists N \,\!</math> tal que <math>n \ge N \Rightarrow |a_n - L|  \,\!</math> &lt; <math>\epsilon \,\!</math>.

'''Definição''': Se a seqüência <math>{a_n} \,\!</math> tem limite L, dizemos que ela é convergente e que converge a L. Caso contrário, dizemos que ela diverge.


Encontremos o limite quanto <math>n</math> tende a infinito, para a sequênca do exemplo acima:
 
<math>\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{5n-2}</math>:

<math>\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \frac{1+\frac{1}{n}}{5-\frac{2}{n}}</math>

<math>\lim_{n \to \infty} a_n = \frac{1}{5}</math>

Desta forma o resultado acima nos fornece a certeza de que podemos arbitrar valores para a variável de forma a conseguir a precisão que queiramos para a sequência e que sempre teremos valores mais próximos deste limite a medida que o valor da variável aumenta. 

==Propriedades de sequências==

Sejam <math>\{a_n\}, \{b_n\}</math> duas seqüências convergentes, isto é, <math>\lim_{n \to \infty} a_n = A</math> e <math>\lim_{n \to \infty} b_n = B</math>.
Então:

* <math>\lim_{n \to \infty} (a_n \pm b_n) = A + B</math>
* <math>\lim_{n \to \infty} k\cdot(a_n) = k \! \cdot \! A</math>
* <math>\lim_{n \to \infty} (a_n \cdot b_n) = A \cdot B</math>
* <math>\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = \frac{A}{B}, \quad B \ne 0</math>


==Subsequências==

'''Definição''': Dada uma seqüência <math>f: \Z_+^* \rightarrow \R</math>, as restrições de <math>f</math> a subconjuntos de <math>\Z_+^*</math> serão denominadas subseqüências de <math>f</math>.

'''Teorema''': Se <math>\lim_{n \to \infty} a_n = L</math>, então toda subseqüência de <math>\{a_n\}</math> converge para o mesmo limite L.

'''Teorema''': Dada a seqüência <math>\{a_n\}</math>, se as subseqüências de ordem par e as subseqüências de ordem ímpar convergem para o mesmo valor L, então <math>\{a_n\}</math> converge também para L.

'''Definição''': Dada uma seqüência <math>{a_n}</math>, temos que:

* l é chamada de cota inferior se <math>l \le a_n, \forall n</math>
* L é chamada de cota superior se <math>L \ge a_n, \forall n</math>
* <math>{a_n}</math> é dita limitada se possui cota inferior e cota superior

'''Observações''':

* Se <math>\{a_n\}</math> é uma seqüência crescente (<math>a_1 \le a_2 \le a_3 \le \ldots</math>), então <math>a_1</math> é uma cota inferior
* Se <math>\{a_n\}</math> é uma seqüência decrescente (<math>a_1 \ge a_2 \ge a_3 \ge \ldots</math>), então <math>a_1</math> é uma cota superior
* Se <math>\{a_n\}</math> é uma seqüência decrescente e seus termos são positivos (<math>a_n</math> &gt; <math>0</math>), então <math>a_n</math> é limitada, <math>0 \le a_n \le a_1</math>

'''Teorema''': Toda seqüência monótona e limitada é convergente.

==Sequências monótonas e limitadas==

'''Definição''': Seja <math>\{a_n\}</math> uma seqüência monótona:

* '''crescente''', se <math>a_n \le a_{n+1}</math>
* '''decrescentes''', se <math>a_n \ge a_{n+1}</math>



{{Indentar/fim}}
{{AutoCat}}