Mostrar código-fonte de Cálculo (Volume 1)/Conceitos básicos (funções)

<div style="background-color:#DFDFDF;width:100%;text-align:center;">'''''Wikiversidade - Disciplina: Cálculo I'''''</div>

==Conceitos básicos==
===Definições iniciais:=== 

Para uma melhor compreensão do conteúdo subseqüente, sugerimos observar o tópico: [[Matemática elementar/Funções|Funções]], no livro: [[Matemática elementar]], pois o estudo completo de funções foge do escopo deste livro. Neste capítulo iremos destacar princípios e notações que nos serão úteis ao longo deste livro.

====Função, domínio e imagem====
 
Seja um conjunto de pontos '''A''', cujos membros são os números em <math>\R \Rightarrow \{-\infty,\dots,x_1, x_2, x_3,\dots,+\infty\}  \,\!</math>, então tomamos
<math>x \,\!</math> e denominamo-la '''variável independente''', visto que, arbitrariamente, lhe podemos atribuir qualquer valor em <math>\R \,\!</math> e portanto 
dizemos que:
<center>
 '''A''' é o '''domínio''' da variável <math>x \,\!</math>.
</center>

Da mesma forma, admitamos um conjunto de pontos '''B''', cujos membros são números que são obtidos única e exclusivamente por um conjunto de 
regras matemáticas '''<math> f  \,\!</math>''', quando números arbitrários em '''A''' lhe são transferidos; visto que há um único valor assumido para cada valor arbitrário transferido a '''<math> f  \,\!</math>''', dizemos que:
<center>
 '''B''' é '''função''' de '''A'''.
</center>
Sendo '''B''' obtido através das regras de <math>f \,\!</math> :
<center>
 '''A''' é '''domínio''' da função <math>f \,\!</math>.
</center>
Da mesma forma, como '''B''' é restrito aos valores definidos por '''A''' e às regras definidas por <math>f \,\!</math>, os seus elementos espelham estas condições, 
portanto, podemos dizer que:
<center>
 '''B''' é '''imagem''' da função <math>f \,\!</math>.
</center>

====Extensões de domínios====

Observemos a expressão: <math> \sqrt{12-x} </math>
Note que assim que atribuirmos  valores a  <math>x</math> , a  mesma  assumirá valores 
inválidos, valores de raízes quadradas de números negativos, para sanar este problema, poderemos atribuir uma faixa de valores válidos para o domínio de <math>x</math> , então teremos:
<center>
 <math> \sqrt{12-x}, x \le 12 </math>
</center>
Assim, teremos um domínio restrito a valores iguais ou menores que 12, portanto, incluindo-o, este extremo ao qual pertence o valor 12 chamamos de '''extremo fechado'''.

Temos uma situação semelhante, porém com uma sutil diferença, quando temos que fazer: <math>\log{x}</math> , neste caso, temos que restringir o valor 0 e todos os números abaixo dele, desta forma:
<center>

 <math> \log{x}, x > 0 \,\!</math>

</center>
Poderemos atribuir apenas valores maiores que 0, uma vez que este valor não pertence ao conjunto de números que podem ser atribuídos à variável, chamamos este de '''extremo aberto'''.

====Notações====
 
 
O conjunto de números '''B''' <math>\{-\infty,\dots,y_1, y_2, y_3,\dots,+\infty\}  \,\!</math> dos quais <math> y_n  \,\!</math> dependem do conjunto 
'''A''' <math>\{-\infty,\dots,x_1, x_2, x_3,\dots,\infty\}  \,\!</math> de onde temos <math> x_n  \,\!</math>, estabelecemos o par de números <math> \{x_n , y_n\}  \,\!</math>,
ou simplesmente:
<center>
 <math> (x, y)  \,\!</math> 
</center>
Este é chamado de  '''par ordenado'''.

Sendo também '''<math> f  \,\!</math>''' a representação dos valores de <math> (x, y)  \,\!</math>, então podemos dizer que:
<center>

 <math> y=f(x)  \,\!</math>

</center>
Sendo <math> f(x)  \,\!</math> o valor de <math> y \,\!</math> quando definido pelas operações em <math>f \,\!</math>.

Faixas de valores que delimitam os domínios podem ser representados com desigualdades, como nos exemplos abaixo:
<center>
 <math> -2 < x < 4 ; -12 \le x < 8 \,\!</math>
</center>
Porém, os extremos podem ser colocados em um par entre delimitadores de forma que, para os extremos fechados usamos os delimitadores [ ou ], para os extremos 
abertos usamos ( ou ), habilitando-nos a identificar os extremos mais claramente, desta forma podemos identificar os domínios do exemplo acima desta forma:
<center>
 <math>    ( -2, 4 ) ; [ -12, 8 )    \,\!</math>
</center>

Também é comum usar colchetes invertidos para extremos abertos:
<center>
 <math> ]-2, 4[; [-12, 8[  \,\!</math>
</center>

===Operações com funções===

Consideremos duas funções ''f'' e ''g''; admitindo que as duas são, intuitivamente, expressões que se traduzem em valores, podemos dizer que:
<center>
 <math> (f + g)(x)     = f(x) + g(x) \,\!</math>
 <math> (f - g)(x)     = f(x) - g(x) \,\!</math>
 <math> (f \cdot g)(x) = f(x) \cdot g(x) \,\!</math>
 <math> (f : g)(x)     = f(x) : g(x) \,\!</math>
</center>
Sendo ''D(f)'' o domínio da função ''f'' e ''D(g)'' o domínio da função ''g'', o domínio da função resultante das operações acima é sempre:

<center>
 <math> D(f) \cap D(g) \,\!</math>
</center>

{{AutoCat}}

[[en:Calculus/Functions]]