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== Espaço Vetorial <math> \mathbb{R}^n </math> ==
* Definição:
:O espaço euclidiano n-dimensional é o produto cartesiano de n fatores iguais a <math> \mathbb{R} </math>, cujo <math> n \in \mathbb{N} </math>: 
::<math> \mathbb{R}^n = \mathbb{R}\times\mathbb{R}\times\cdots \times\mathbb{R} </math>
:Quando n = 1 (reta); n = 2 (plano); n = 3 (espaço euclidiano tridimensional); n = 0 (espaço nulo)
* Os pontos <math> a \in \mathbb{R}^n </math>:
:são todos os pontos a = <math> (a_1, a_2, \cdots ,a_n) </math>, onde <math> a_1, a_2, \cdots ,a_n \in \mathbb{R}</math>
* Unicidade de pontos:
:Dados a = <math> (a_1, a_2, \cdots ,a_n) </math> e b = <math> (b_1, b_2, \cdots ,b_n) </math>. Temos que <math> a=b \Leftrightarrow a_i = b_i, \forall i \in I_n </math>
: Relembrando da análise real que <math> I_n = \{i \in \mathbb{N}; 1 \le i \le n \}</math>
=== Propriedades do Espaço Vetorial <math> \mathbb{R}^n </math>===
* Soma e produto no <math> \mathbb{R}^n </math>
: Dados <math> a,b \in \mathbb{R}^n, \alpha \in \mathbb{R} </math>
::<math> a+b = (a_1+b_1,\cdots, a_n+b_n)</math>
::<math> \alpha\cdot a = ( \alpha a_1,\cdots,\alpha a_n) </math>
* Estas operações fazem de <math> \mathbb{R}^n </math> um ''espaço vetorial'' de dimensão n sobre o corpo dos <math> \mathbb{R} </math>.
:O elemento neutro para adição é <math> \vec 0 = (0,0,...,0) </math>
:O simétrico de <math> a \; </math> é <math> -a \;</math> assim <math> -a = (-a_1, -a_2, \cdots, -a_n) </math>
* Os elementos <math> a \in \mathbb{R}^n </math> serão chamados pontos ou vetores
* Chamaremos ''aplicação linear'' ao invés de ''transformação linear''.
* A base canônica de <math> \mathbb{R}^n </math> é formada pelos vetores:
:<math> e_1=(1,0,0,0,\cdots,0,0,0); e_2=(0,1,0,0,\cdots,0,0,0); \cdots; e_n=(0,0,0,0,\cdots,0,0,1) </math>
*Dado <math> a \in \mathbb{R}^n </math> temos que <math> a = \sum_{i=1}^{n} a_i\cdot e_i </math>
=== Exemplos ===
* Podemos estabelecer uma bijeção natural entre o conjunto <math> \mathfrak{L} ( \mathbb{R}^m; \mathbb{R}^n ) </math> das aplicações lineares <math> A:\mathbb{R}^m \rightarrow \mathbb{R}^n </math> e o conjunto <math> M(n\times m) </math> das matrizes reais <math> (m_{ij}) \; </math> com n linhas e m colunas.
** A matriz <math> (M_{ij}) </math> correspondente à aplicação linear A é definida pelas igualdades:
: (*) <math> A \cdot e_j = \sum_{i=1}^{n} a_{ij}e_j; j \in I_m </math>
**Assim a matriz <math> (a_{ij}) </math> da aplicação linear <math> A:\mathbb{R}^m \rightarrow \mathbb{R}^n </math> tem como colunas os m vetores <math> A \cdot e_j = (a_{1j}, \cdots, a_{nj} ) \in \mathbb{R}^n</math>, transformados por A dos vetores da base canônica de <math>\mathbb{R}^n</math>
**Reciprocamente dada uma matriz <math> (a_{ij}) </math> com n linhas e m colunas, a igualdade (*) define os valores de uma aplicação linear <math> A:\mathbb{R}^m \rightarrow \mathbb{R}^n </math> nos m vetores da base canônica. Isto é suficiente para definir o valor de A em qualquer vetor <math> a\in\mathbb{R}^m </math> tendo-se <math> A\cdot x = \sum_{j=1}^{m} xj\cdot Ae_j </math>
** Cada matriz real <math> n\times m </math> pode ser considerada como um ponto do espaço euclidiano <math> \mathbb{R}^{nm} </math>, basta escrever suas colunas uma após a outra numa linha. Assim sempre que for conveniente, podemos substituir o conjunto <math> \mathfrak{L} ( \mathbb{R}^m; \mathbb{R}^n ) </math> das aplicações lineares de <math> \mathbb{R}^m</math> em <math> \mathbb{R}^n</math>; ora pelo conjunto <math> M(n\times m) </math> das matrizes reais com n linhas e m colunas; ora pelo espaço euclidiano nm-dimensional<math> \mathbb{R}^{nm} </math>.
** <math> M(nxm) \approx \mathfrak{L} ( \mathbb{R}^m; \mathbb{R}^n ) \approx \mathbb{R}^{nm} </math> são isomorfos.
* Os funcionais lineares <math> f:\mathbb{R}^m \rightarrow \mathbb{R}^n </math>são um tipo especial de aplicação linear.
** Sejam <math> y_j = f(e_j); j \in I_m </math> os valores que o funcional assume nos vetores da base canônica. Para qualquer <math> a \in \mathbb{R}^m </math>, temos <math> a = \sum_{i=1}^{m} a_ie_i </math>, logo <math> f(a) = \sum_{i=1}^{m} a_if(e_i) </math>, ou seja, <math> f(a) = \sum_{i=1}^{m} y_ia_i </math>
**Note que <math> (y_1, \cdots, y_n) </math> é a matriz <math> 1 \times m </math> da aplicação linear <math> f </math>
* Seja <math> \pi_i:\mathbb{R}^m \rightarrow \mathbb{R}; i \in I_m </math> o funcional que se anula em todos os vetores da base canônica exceto um, o vetor <math> e_i </math>:
: onde se tem <math> \pi_i(e_i)=1 </math>. Então <math> \pi_i(a)=a_i =</math> i-ésima coordenada de <math> a \in \mathbb{R}^m </math>. Assim, <math> \pi_i </math> é a i-ésima projeção do produto cartesiano <math> \mathbb{R}^m \mbox{ em }\mathbb{R} </math>. Os funcionais lineares <math> \pi_i; i \in I_m </math> constituem uma base do espaço vetorial <math> \mathfrak{L} ( \mathbb{R}^m; \mathbb{R}^n ) = (\mathbb{R})^*</math> chamada a base dual da base canônica de <math> \mathbb{R}^m </math>
* Uma aplicação <math> \varphi:\mathbb{R}^m \times \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^p </math> chama-se bilinear quando é linear separadamente em relação a cada uma das suas variáveis. Então é verdade que:
: <math> \varphi(a+a',b)= \varphi(a,b)+\varphi (a',b) </math>
: <math> \varphi(a,b+b')= \varphi(a,b)+\varphi (a,b') </math>
: <math> \varphi(\alpha a,b)= \alpha\cdot\varphi(a,b)</math>
: <math> \varphi(a,\alpha b)= \alpha\cdot\varphi(a,b)</math>
::quaisquer que sejam <math> a,a' \in \mathbb{R}^m; b,b' \in \mathbb{R}^n e \alpha \in \mathbb{R} </math>.
**Se <math> \varphi </math> é bilinear então, para <math> a \in \mathbb{R}^m \mbox{ e } b \in \mathbb{R}^n</math> arbitrários vale:
::<math> \varphi(a,b) = \varphi(\sum a_ie_i,\sum b_je_j)=\sum a_ib_i\varphi(e_i,e_j) </math>:
:de modo que <math> \varphi </math> fica inteiramente determinado pelos mn valores <math> \varphi(e_i,e_j) \in \mathbb{R}^p </math> que assume ns pares ordenados de vetores básicos<math> (e_i,e_j) </math>. Note que <math> \varphi(a,0) = \varphi(0,b)=0 </math> quaisquer que sejam <math> a \in \mathbb{R}^m \mbox{ e } b \in \mathbb{R}^n</math>.

== Produto Interno ==

O produto interno é a função <math> < , >:(E \times E \rightarrow \mathbb{R}) </math>.
* simetria: <math> <a,b> \; = \; <b,a>, \forall a,b \in E</math>
* bilinear
** soma: <math> <a + a',b> \; = \; <a,b> + <a',b>, \forall a,a',b \in E</math>
** produto: <math> <\alpha a,b> \; = \; \alpha <b,a>, \forall a,b \in E \alpha \in \mathbb{R}</math>
* positivo: <math> <a,a> \; > 0, \mbox{ com } a \ne 0 </math>

Lema 1 (Produto interno canônico)
:<math> Seja \; f:\mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n \mapsto \mathbb{R}, f(x,y)=<x,y> </math>
:tome <math> a,b \in \mathbb{R}^n, <a,b> \; = \; a_1b_1+...+ a_nb_n \; = \; \sum_{i=1}^n a_ib_i</math>

== Norma ==
Dado <math> x \in \mathbb{R}, <x,x> \; = \; |x|^2 = \sum_{i=1}^n x_i^2 </math> é a norma do vetor x (norma euclidiana)
* De maneira geral, <math> n:\mathbb{R}^n \mapsto \mathbb{R}</math> é uma norma então
** <math>n(a+b) \le n(a)+n(b)</math>
** <math>n(\alpha a) \; = \; \alpha n(a)</math>
** <math> n(a) \ge 0 \; e \; n(a)=0 <=> a=0 </math>

=== Desigualdade de Cauchy-Schwarz ===
<math> |<a,b>| \le |a||b|, \forall a,b \in \mathbb{R}^n</math>

== Ver também ==
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