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== Função Sobrejetiva ==
Uma função <math> f : A \mapsto B </math> é dita sobrejetiva se <math> f(A) = B </math>, ou seja, se <math> \forall y \in B, \exists x \in A; \mbox{ tal que } f(x) = y </math>.
: Ao se verificar a sobrejetividade de uma função, deve estar claro qual conjunto está sendo considerado como contradomínio. Modificando-o, uma função que não é sobrejetiva pode passar a ser.
:Exemplo. Seja <math> A = \{ a, b \}</math>. A função f, definida por <math> f(x) = x, \forall x \in A </math>, não é sobrejetiva de A em <math> \{a, b, c\}</math> mas é sobrejetiva de A em <math> \{a, b\}</math>.
* Toda função é sobrejetiva na sua imagem, ou seja, <math>f: A \mapsto f(A)</math> é sobrejetiva.

== Função Injetiva ==
Uma função <math> f : A \mapsto B </math> é dita injetiva se ocorre uma destas:
* para quaisquer <math> x, y \in A </math> tais que <math> x \ne y </math> temos <math> f(x) \ne f(y)</math>;
* <math> x, y \in A </math> são tais que <math> f(x) = f(y) </math>, então <math> x = y </math>;
* <math> \forall \; y \in f(A), \exists x! \in A \mbox{ tal que } f(x) = y</math>.
* Dizemos que a função f tem a propriedade P em A se <math> f|A </math> tem a propriedade P. Por exemplo, dizer que f é injetiva em A significa que <math> f|A </math> é injetiva. Isto é muito usual, sobretudo em conversas informais entre matemáticos. Entretanto, isto deve ser usado com cuidado para não cairmos em armadilhas.

== Função Bijetiva ==
Uma função <math> f : A \mapsto B </math> é dita bijetiva ou bijeção se ela é injetiva e sobrejetiva.
: Exemplo: Sejam <math> A = \{1, 2, 3\}, B = \{2, 4, 6\} e C = \{1, 4, 9, 16\}</math>. Consideremos as funções <math> f : A \mapsto B, g : A \mapsto C \mbox{ e } h : A \mapsto A </math> definidas por <math> f(x) = 2x, g(x) = x^2, h(x) = 2 \forall \; x \in A</math>.
: Temos que f é injetiva e sobrejetiva e, portanto, bijetiva. Temos ainda que g é injetiva, mas não é sobrejetiva e h não é injetiva e nem sobrejetiva.

== Teorema de Cantor ==
 Dado A um conjunto e P(A), o conjunto das partes de A, não existe uma função <math> f: A \mapsto P(A)</math> que seja sobrejetiva.
: Prova 1
* para que f não seja sobrejetiva, <math> P(A) \setminus f(A) \ne \varnothing \Rightarrow \exists \; y \in P(A), tal \; que \; \forall \; x \in A,
 f(x) \ne y</math>. Ou seja, existe algum y em P(A), que não é imagem de nenhum elemento de A pela função f.
* Pela f ser uma função, <math> \forall x \in A, \exists \; y \in P(A), tal \; que \; y=f(x) \in P(A)</math>. 
* Tomemos <math> f: A \mapsto P(A), com f(x)=\{x\}</math>, assim <math> P(A) \setminus f(A) = P(A) \setminus \bigcup_{x \in A}\{x\}</math>. As outras funções que existir deverá ter que <math>\# P(A) \setminus \bigcup_{x \in A} \{x\} = \# IM_f - \# A, \forall \; f:A \mapsto P(A).</math>
** Em outras palavras, outras funções que existirem, basta x deixar de flexar {x} e flexar outro elemento.
=== 2 ===
: Prova 2 
* Vamos considerar um subconjunto de P(A), U(A), como sendo os conjuntos unitários formados pelos elementos de A, mais o conjunto vazio.
* Assim U(A) sempre têm um elemento a mais que A, qualquer função que tomarmos, <math> g: A \mapsto U(A) </math> não é sobrejetiva, pois sempre vai faltar um elemento em U(A) para ser flexado.
* É fácil ver que g é uma restrição da função f. Como g não é sobrejetiva, f também não é.

== Propriedades interessantes sobre funções ==
* <math> \phi(A \cup B) = \phi(A) \cup \phi(B) </math>
* <math> \phi(A \cap B) \subset \phi(A) \cup \phi(B) </math>
* <math> A \subset B \Rightarrow \phi(A) \subset \phi(B)</math>
* <math> \phi(\varnothing) = \varnothing </math>

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