Análise real/Propriedades-Funções

Função Sobrejetiva

Uma função $f:A\mapsto B$ é dita sobrejetiva se $f(A)=B$, ou seja, se $\mathrm{\forall }y\in B,\mathrm{\exists }x\in A;\text{ tal que }f(x)=y$.

Ao se verificar a sobrejetividade de uma função, deve estar claro qual conjunto está sendo considerado como contradomínio. Modificando-o, uma função que não é sobrejetiva pode passar a ser.

Exemplo. Seja $A=\{a,b\}$. A função f, definida por $f(x)=x,\mathrm{\forall }x\in A$, não é sobrejetiva de A em $\{a,b,c\}$ mas é sobrejetiva de A em $\{a,b\}$.

• Toda função é sobrejetiva na sua imagem, ou seja, $f:A\mapsto f(A)$ é sobrejetiva.

Função Injetiva

Uma função $f:A\mapsto B$ é dita injetiva se ocorre uma destas:

• para quaisquer $x,y\in A$ tais que $x\ne y$ temos $f(x)\ne f(y)$;
• $x,y\in A$ são tais que $f(x)=f(y)$, então $x=y$;
• $\mathrm{\forall }y\in f(A),\mathrm{\exists }x!\in A\text{ tal que }f(x)=y$.
• Dizemos que a função f tem a propriedade P em A se $f|A$ tem a propriedade P. Por exemplo, dizer que f é injetiva em A significa que $f|A$ é injetiva. Isto é muito usual, sobretudo em conversas informais entre matemáticos. Entretanto, isto deve ser usado com cuidado para não cairmos em armadilhas.

Função Bijetiva

Uma função $f:A\mapsto B$ é dita bijetiva ou bijeção se ela é injetiva e sobrejetiva.

Exemplo: Sejam $A=\{1,2,3\},B=\{2,4,6\}eC=\{1,4,9,16\}$. Consideremos as funções $f:A\mapsto B,g:A\mapsto C\text{ e }h:A\mapsto A$ definidas por $f(x)=2x,g(x)=x^2,h(x)=2\mathrm{\forall }x\in A$.

Temos que f é injetiva e sobrejetiva e, portanto, bijetiva. Temos ainda que g é injetiva, mas não é sobrejetiva e h não é injetiva e nem sobrejetiva.

Teorema de Cantor

Dado A um conjunto e P(A), o conjunto das partes de A, não existe uma função $f:A\mapsto P(A)$ que seja sobrejetiva.

Prova 1

• para que f não seja sobrejetiva, $P(A)\setminus f(A)\ne \varnothing \Rightarrow \mathrm{\exists }y\in P(A),talque\mathrm{\forall }x\in A,f(x)\ne y$. Ou seja, existe algum y em P(A), que não é imagem de nenhum elemento de A pela função f.
• Pela f ser uma função, $\mathrm{\forall }x\in A,\mathrm{\exists }y\in P(A),talquey=f(x)\in P(A)$.
• Tomemos $f:A\mapsto P(A),comf(x)=\{x\}$, assim $P(A)\setminus f(A)=P(A)\setminus \bigcup _{x\in A}\{x\}$. As outras funções que existir deverá ter que $\mathrm{\#}P(A)\setminus \bigcup _{x\in A}\{x\}=\mathrm{\#}I{M}_f-\mathrm{\#}A,\mathrm{\forall }f:A\mapsto P(A).$
  • Em outras palavras, outras funções que existirem, basta x deixar de flexar {x} e flexar outro elemento.

2

Prova 2

• Vamos considerar um subconjunto de P(A), U(A), como sendo os conjuntos unitários formados pelos elementos de A, mais o conjunto vazio.
• Assim U(A) sempre têm um elemento a mais que A, qualquer função que tomarmos, $g:A\mapsto U(A)$ não é sobrejetiva, pois sempre vai faltar um elemento em U(A) para ser flexado.
• É fácil ver que g é uma restrição da função f. Como g não é sobrejetiva, f também não é.

Propriedades interessantes sobre funções

• $\varphi (A\cup B)=\varphi (A)\cup \varphi (B)$
• $\varphi (A\cap B)\subset \varphi (A)\cup \varphi (B)$
• $A\subset B\Rightarrow \varphi (A)\subset \varphi (B)$
• $\varphi (\varnothing )=\varnothing$