Mostrar código-fonte de Álgebra linear/Transformações lineares

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{{Esboço|Matemática}}

== Transformações Lineares ==
=== Definição ===
{{Definição
|Uma função <math>T : V \to W,</math> onde <math>V</math> e <math>W</math> são espaços vetoriais sobre um corpo <math>K,</math> é dita uma ''transformação linear'' se, para todos <math>u, v \in V</math> e para todo <math>\lambda \in K,</math> tem-se
: <math> \;T(u + v) = T(u) + T(v)</math>
: <math>T(\lambda u) = \lambda \, T(u)</math>
}}

=== Existência de uma transformação ===
Sejam V e W espaços vetoriais sobre um corpo K, onde a <math> dim \; V < \infty </math>. Seja <math> \{v_1, v_2,...,v_n \} \; </math> uma base de V e <math> w_1, w_2,...,w_n \;</math> vetores quaisquer de W. Então existe uma transformação linear <math>T:V \mapsto W , Tv_i=w_i, i=1,...,n</math>.

{{Prova|
*T existe e está bem definida
*:Dado <math> v \in V, \exists x=(x_1,...,x_n), x_i \in K, i=1,...,n</math> tal que <math> v=\sum_{i=1}^n x_iv_i</math>. Podemos definir T em v como <math> Tv=\sum_{i=1}^n x_iw_i</math>. Sendo <math> \{v_1, v_2,...,v_n \} \; </math> uma base, tem-se a unicidade de <math>(x_1,...,x_n)</math> e, consequentemente, T está bem definida por meio da regra que associa o vetor <math>v \in V</math> ao vetor <math>Tv \in W</math>. Vemos através da definição que <math> Tv=\sum_{i=1}^n x_iTv_i=\sum_{i=1}^n x_iw_i \Rightarrow Tv_i=w_i, i=1,...,n</math>.
*T é linear
*:Tome <math>w \in V, w = \sum_{i=1}^n y_iv_i, c \in K</math>. Assim <math> cv+w = c\sum_{i=1}^n x_iv_i + \sum_{i=1}^n y_iv_i = \sum_{i=1}^n (cx_i+y_i)v_i </math>. Pela definição <math>T(cv+w)=\sum_{i=1}^n (cx_i+y_i)w_i</math>. De outro modo <math>cTv+ Tw=c\sum_{i=1}^n x_iw_i+ \sum_{i=1}^ny_iw_i = \sum_{i=1}^n (cx_i+y_i)w_i</math>. Portanto <math>T(cv+w)=cTv+ Tw \;</math>.
*T é única
*:Suponha que exista <math> U:V \mapsto W, Uv_i=w_i, i=1,...,n \; </math>, então se <math>v=\sum_{i=1}^n x_iv_i </math>, então <math>Uv=\sum_{i=1}^n x_iUv_i=\sum_{i=1}^n x_iw_i = Tv, \forall v \in V</math>.
}}

== Imagem de uma transformação linear ==
A seguir será discutido um exemplo de como achar a imagem de uma transformação linear. Considere <math> T:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}^2</math>, definida por <math>T(x,y)=(2x+3y, 4x-3y)</math>.
O valor de <math>T</math> em um ponto <math>(x, y)</math> pode ser reescrito da seguinte forma:
:<math> T(x, y) = (2x+3y,4x-3y) = x(2,4) + y(3,-3)</math>.
Consequentemente, todo ponto da imagem é uma combinação linear dos vetores <math>(2,4)</math> e <math>(3,-3)</math>, isto é, tais vetores formam um conjunto de geradores para a imagem de <math>T</math>. Como poderá ser verificado pelo leitor<ref>Ver por exemplo [http://www.wolframalpha.com/input/?i=vectors+%282%2C4%29+and+%283%2C+%E2%88%923%29 no Wolfram Alpha]</ref>, estes vetores também são linearmente independentes, constituindo portanto uma base para a imagem de <math>T</math>.

== Núcleo ==
{{Definição
|Seja <math>T: V \to W\,</math> uma transformação linear entre os espaços vetoriais ''V'' e ''W''. O '''núcleo''' da transformação linear, '''Ker(T)''', é a imagem inversa do vetor nulo em W:
: <math>Ker(T) = \{ v \in V | T(v) = 0 \} \,</math>
}}

===Teorema do núcleo===
O núcleo de uma transformação linear é um subespaço vetorial do seu domínio

A demonstração é simples:
* ''Ker(T)'' não é vazio, pois 0<sub>V</sub> é um elemento de ''Ker(T)'', já que ''T(0<sub>V</sub>) = 0<sub>W</sub>''
* Se <math>v, w \in Ker(T)\,,</math> então ''T(v) = T(w) = 0'', logo, pela linearidade de ''T'', ''T(v + w) = 0'' e <math>v + w \in Ker(T)\,</math>
* Se <math>\lambda \in K\,</math> e <math>v \in Ker(T)\,,</math> temos <math>T(v) = 0\,</math> logo <math>T(\lambda v) = \lambda T(v) = \lambda 0 = 0\,,</math> ou seja, <math>\lambda v \in Ker(T)\,</math>

== Posto e nulidade ==
Se <math> dim V< \infty </math>, e <math> T:V \mapsto W </math>
* O posto(T) = dim Im(T),isto é, a dimensão da imagem de T(V), isto é, a quantidade de vetores L.I. que geram toda a imagem de T(V).
e
* A Nulidade(T) = dim Ker(T), isto é, é a dimensão do núcleo de T(V), isto é, a quantidade de vetores L.I. que geram todo o núcleo de T(V).

==== Teorema do posto e da nulidade ====
Sejam V e W espaço vetoriais sobre o corpo K e <math>T:V \mapsto W</math>. Se <math> dim V < \infty </math>, então posto(T) + Nulidade(T) = dim V

''' Prova '''
* Definindo a base do núcleo e a base do espaço:
Seja <math> \{v_1, v_2, ..., v_k \} \;</math> uma base do Ker(T). Existem vetores <math> v_j, \;</math> com j=k+1,...,n onde <math> \{v_1, v_2, ..., v_k, v_{k+1}, ... v_n \} \;</math> é uma base de V.
* Definindo a base da imagem:
Como <math> \{v_1, v_2, ..., v_n \} \;</math> é a base de V, T aplicada nessa base gera um conjunto que gera a imagem de T por V. Aplicando T sobre os vetores da base de V, temos <math>Tv_1, Tv_2, ..., Tv_n \;</math>, mas <math>Tv_1 = Tv_2 = ... = Tv_k = 0 \;</math>, pela definição de núcleo. Assim os vetores <math>Tv_{k+1}, ..., Tv_n \;</math> geram a imagem de T(V).
* Provando que os vetores são independentes:
Como queremos uma base, eles devem ser independentes, isto é, devem <math>\exists c_i \in K,</math> tal que <math>\sum_{i=1}^n c_iv_i = 0 \Leftrightarrow c_i=0, i=1,...,n</math>.

Tomemos <math>\sum_{i=k+1}^n c_i(Tv_i) = 0 \Leftrightarrow T(\sum_{i=k+1}^n c_iv_i) = 0</math>. Logo <math>w=\sum_{i=k+1}^n c_iv_i \in Ker(T)</math>. Como <math> w \in Ker(T), w = \sum_{i=1}^k b_iv_i, b_i \in K</math>.

Portanto <math>w=\sum_{i=k+1}^n c_iv_i = \sum_{i=1}^k b_iv_i \Leftrightarrow \sum_{i=k+1}^n c_iv_i - \sum_{i=1}^k b_iv_i = 0</math>. Como <math> v_1, v_2, ..., v_k \;</math> são L.I., então <math> b_i = c_i = 0, \forall i = 1,...,n </math>.
* Definindo posto e nulidade:
O Posto(T) = dim Im(T). Como <math>Tv_{k+1}, ..., Tv_n \;</math> geram a imagem de T(V), logo o posto(T)= n - (k+1) +1 = n-k.

A nulidade (T) = dim Ker(T). Como <math> \{v_1, v_2, ..., v_k \} \;</math> é uma base do Ker(T), logo a Nulidade (T)= k - 1 + 1 = k

Como n = dim V, Nulidade(T)=k e Posto(T)=n-k, portanto Posto(T) + Nulidade(T) = dim(V).

== Funcionais lineares ==
=== Definição ===
{{Definição
|Uma função <math>f: V \rightarrow K ,</math> onde V é um espaço vetorial sobre '''K''', é chamada de funcional linear se, <math>\forall u, v \in V</math> e <math> \forall \lambda \in K:</math> 

: <math>f(u + v) = f(u) + f(v)</math>
: <math>f( \lambda v) = \lambda f(v)</math>
}}


{{Teorema||(existência e unicidade)
|Se '''V''' é um espaço vetorial de dimensão ''n'' e <math>\alpha = \{v_1, v_2, \ldots, v_n \}</math> é
uma base de '''V''', então existe um único funcional ''f'', tal que <math>f(v_i) = \lambda_i, i = 1, 2, \ldots, n</math> e <math>\lambda_i \in K</math>
}}


{{Teorema||(base dual)
|Se '''V''' é um espaço vetorial, <math>\mathrm{dim} V = n</math> e <math>\beta = \{v_1, v_2, \ldots, v_n\} </math>
é uma base de V, então existe uma única base <math>\beta^* = \{f_1, f_2, \ldots, f_n\}</math> de <math>V^*</math>
tal que <math>f_i(v_j) = \delta_{ij}</math>
}}

{{Definição
|:<math>\beta^{*}</math> é chamada de base dual de <math>\beta</math>
: <math>V^*</math> é chamado de espaço dual de V
}}

'''Corolários''':

: <math>f = \sum f(v_i)f_i</math>
: <math>v = \sum f_i(v)v_i</math>

=== Teoremas ===
{{Teorema||(representação dos funcionais lineares)
|Sejam '''V''' um espaço vetorial sobre '''K''', <math>\mathrm{dim} V = n,</math> com produto interno, e
<math>f: V \rightarrow K</math> um funcional linear. Então existe um único vetor <math>v_o \in V,</math> tal
que <math>f(v) = \langle v, v_o \rangle,</math> <math>\forall v \in V.</math> 
}}

Demonstra-se ainda que <math>v_o = \sum \overline{f(e_i)}e_i</math>

== Operador linear ==
Dizemos que T uma transformação linear, <math> T:V \mapsto V</math> é chamada operador linear de T sobre V.

== Adjunto de um operador linear ==
=== Definição ===
{{Definição
|Seja '''V''' um espaço vetorial.

O operador adjunto, <math>T^* : V \rightarrow V ,</math> de um determinado operador linear <math>T : V \rightarrow V</math> é definido pela igualdade:

: <math> \langle T(u), v \rangle = \langle u, T^*(v) \rangle , \quad \forall u, v \in V</math>
}}

Demonstra-se que todo operador linear possui um e apenas um operador adjunto correspondente.

A partir da definição, podemos obter as seguintes conseqüências (prove!):

: <math>(S + T)^* = S^* + T^*</math>
: <math>(\lambda T)^* = \bar{\lambda} T^*</math>
: <math>(S \circ T)^* = T^* \circ S^*</math>

{{Proposição
|Seja '''V''' um espaço vetorial sobre '''K''', <math>\mathrm{dim} V = n,</math> com produto interno. 
Seja <math>\alpha = \{e_1, e_2, \ldots, e_n\}</math> uma base ortonormal de '''V'''. Então
<math>[T]_\alpha = (a_{ij}),</math> onde <math>a_{ij} = \langle T(e_j), e_i \rangle</math>
}}


{{Corolário
|Seja '''V''' um espaço vetorial sobre '''K''', <math>\mathrm{dim} V = n,</math> com produto interno. 
Então, para qualquer base <math>\alpha = \{e_1, e_2, \ldots, e_n\}</math> ortonormal de '''V''', temos que
a matriz <math>[T^*]_\alpha = (\overline{[T]_\alpha})^t.</math> 
}}

== Operadores especiais ==
* Auto-adjunto (<math>T^* = T</math>)
* Unitário (<math>T^* = T^{-1}</math>)
* Normal (<math>T^*T = TT^*</math>)

=== Operador auto-adjunto ===
{{Definição
|<math>T: V \rightarrow V</math> é chamado de auto-adjunto se <math>T^* = T.</math> 
}}
Uma matriz '''A''' é auto-adjunta se <math>\overline{A}^t = A.</math> 

* Se <math>K = R,</math> <math>[T]_\alpha</math> é chamada simétrica.
* Se <math>K = C,</math> <math>[T]_\alpha</math> é chamada hermitiana.

Os seguintes enunciados são úteis na prova de teoremas do operador auto-adjunto:

: Se <math>\langle T(u), v \rangle = 0, \forall u, v \in V,</math> então <math>T = 0.</math> 
: Se '''V''' é complexo e <math>\langle T(u), u \rangle = 0, \forall u \in V,</math> então <math>T = 0.</math> 

'''Prove''':

* Se <math>T^* = T</math> e <math>\langle T(u), u \rangle = 0, \forall u \in V,</math> então <math>T = 0.</math> 
* Seja <math>T: V \rightarrow V,</math> com '''V''' complexo. Então <math>T^* = T \iff \langle T(v), v \rangle \in R.</math> 

=== Operador unitário ===
{{Definição
|<math>T: V \rightarrow V</math> é chamado de unitário se <math>T^* = T^{-1}.</math> 
}}

Uma matriz '''A''' é unitária se <math>{\overline{A}}^t = A^{-1}</math>


'''Prove''':

* '''T''' é unitário <math>\iff \langle T(u), T(v) \rangle = \langle u, v \rangle</math> ('''T''' preserva o produto interno)
* '''T''' é unitário <math>\iff |T(u)| = |u|</math> ('''T''' preserva a norma)
* '''T''' é unitário <math>\iff T^{-1}</math> é unitário

=== Operador normal ===
{{Definição
|<math>T: V \rightarrow V</math> é chamado de normal se <math>TT^* = T^*T.</math> 
}}
Uma matriz '''A''' é normal se <math>AA^* = A^*A</math>

'''Prove''':

* Todo operador auto-adjunto é normal
* Todo operador unitário é normal

É importante ressaltar, ainda, que existem operadores normais que não são unitários nem auto-adjuntos.

== Subespaço invariante ==
=== Definição ===
{{Definição
|'''W''', subespaço vetorial de '''V''', é dito invariante sob o operador <math>T: V \rightarrow V,</math> se <math>T(W) \subset W.</math> 
}}
Dizemos também que '''W''' é '''T'''-invariante.

=== Exercícios ===
'''Prove''':

* Se '''W''' é '''T'''-invariante, então <math>W^\perp</math> é <math>T^*</math>-invariante.
* Se '''W''' é '''T'''-invariante e '''T''' é auto-adjunto, então '''W''' é <math>T^*</math>-invariante.
* Se '''W''' é '''T'''-invariante e '''T''' é inversível, então <math>T(W) = W.</math> 
* Se '''W''' é '''T'''-invariante e '''T''' é inversível, então '''W''' é <math>T^{-1}</math>-invariante e <math>T^{-1}(W) = W.</math> 
* Se '''W''' é '''T'''-invariante e '''T''' é unitário, então '''W''' é <math>T^{-1}</math>-invariante (ou <math>T^*</math>-invariante).
* Se '''W''' é '''T'''-invariante e '''T''' é unitário, então <math>W^\perp</math> é '''T'''-invariante.

== Notas ==
<references/>

== Ver também ==
=== Wikipédia ===
* [[w:Transformação linear#Núcleo|Núcleo da transformação linear]]
* [[w:Transformação linear|Transformação linear]]

{{AutoCat}}

[[en:Linear Algebra/Definition of Homomorphism]]