Notas de Mecânica/Momentum de Inércia

Energia Cinética de Rotação

Analisaremos aqui a energia cinética de rotação de um corpo rígido.

Movimento circular de uma partícula única

Consideremos uma partícula de massa $m$ em um movimento circular de raio $r$ com velocidade $v$ de em torno de um eixo fixo. A partícula é mantida nesta trajetória circular por meio de uma haste fina e sem massa, a função desta haste é apenas manter a partícula nesta trajetória circular.

A energia cinética de rotação da partícula é simplesmente:

$K=\frac{1}{2}m{v}^2$

Lembremos agora a relação entre variaveis lineares e angulares no movimento de rotação, em particular o que relaciona a velocidade e a velocidade angular de uma partícula a saber:

$v=\omega r$

Desta forma podemos reescrever a energia cinética como:

$K=\frac{1}{2}m(\omega r{)}^2$

$K=\frac{1}{2}m{r}^2{\omega }^2$

Movimento circular de um corpo rígido composto por duas partículas

Consideremos agora o movimento de rotação de duas partículas $1$ e $2$ respectivamente de massas $m_1$ e $m_2$ unidas por uma haste sem massa. O eixo fixo de rotação encontra-se a uma distância $r_1$ da partícula $1$ e a uma distância $r_2$ da partícula $2$, como ilustrado na figura. Cada partícula terá sua trajetória circular particular e portanto a velocidade de cada partícula em módulo será diferente.

A energia cinética de rotação deste sistema é:

$K=\frac{1}{2}{m}_1{v}_1^2+\frac{1}{2}{m}_2{v}_2^2$

Contudo as partículas terão a mesma velocidade angular $\omega$, e desta forma podemos usar: $v_1=r_1\omega ;v_2=r_2\omega$ Logo podemos reescrever a energia cinética como:

$K=\frac{1}{2}{m}_1(r_1\omega {)}^2+\frac{1}{2}{m}_2(r_2\omega {)}^2$

$K=\frac{1}{2}{m}_1{r}_1^2{\omega }^2+\frac{1}{2}{m}_2{r}_2^2{\omega }^2$

$K=\frac{1}{2}(m_1{r}_1^2+m_2{r}_2^2){\omega }^2$

Movimento circular de um corpo rígido composto por $N$ partículas

Consideramos agora a rotação de um corpo rigido em forma de uma placa fina (sem espessura) em torno de um eixo fixo no sentido antihorário, indicado na figura, que é perpendicular ao plano desta placa. Esta placa é composta de $N$ partículas cada uma localizada a $r_i$ do eixo e com massa $m_i$ .

A energia cinética deste sistema de $N$ partículas é dada pela soma da energia cinética das partículas que o compoem:

$K=\frac{1}{2}{m}_1{v}_1^2+\frac{1}{2}{m}_2{v}_2^2+\dots +\frac{1}{2}{m}_N{v}_N^2$

Usamos agora que: $v_i=r_i\omega$

$K=\frac{1}{2}{m}_1(r_1\omega {)}^2+\frac{1}{2}{m}_2(r_2\omega {)}^2+\dots +\frac{1}{2}{m}_N(r_N\omega {)}^2$

$K=\frac{1}{2}(m_1{r}_1^2+m_2{r}_2^2+\dots +m_N{r}_N^2){\omega }^2$

De maneira compacta:

$K=\frac{1}{2}\left(\sum _{i=1}^N{m}_i{r}_i^2\right){\omega }^2$

Definição do momento de inércia

Acabamos de obter a energia cinética de um corpo que é composto de $N$ partículas, que reescrevemos como:

$K=\frac{1}{2}I{\omega }^2$

onde:

$I\equiv \sum _{i=1}^N{m}_i{r}_i^2$

Se agora compararmos com a energia de translação deste corpo:

$K=\frac{1}{2}M{V}^2$

onde $M=m_1+m_2+\dots +m_N$

Podemos interpretar $I$ equação anterior como sendo uma medida da dificuldade de colocar um corpo em movimento de rotação ou mudar este movimento, assim como a massa $M$ do corpo é uma medida da dificuldade de colocar um corpo em movimento de translação ou mudar o movimento de translação do corpo. Chamaremos então a quantidade $I$ de momentum de inércia do corpo ou inércia rotacional do corpo.

A unidade desta quantidade no SI é o $kg{m}^2$

Propriedades do Momentum de inércia

O exemplo a seguir tem por intuito exemplificar uma das características do momentum de inércia:

Consideremos um corpo que é composto por duas partículas de massa $m_1=5kg$ e $m_2=15kg$ que estão conectadas por uma haste fina e sem massa de comprimento $L=10m$.

a) Qual é o momentum de inércia do corpo considerando um eixo de rotação que passa pela partícula 1 e é perpendicular a haste?

$I=m_1{r}_1^2+m_2{r}_2^2$

$I=5(0{)}^2+15(10{)}^2$

$I=150kg{m}^2$

b) Qual é o momentum de inércia do corpo considerando um eixo de rotação que passa pela partícula 2 e é perpendicular a haste?

$I=m_1{r}_1^2+m_2{r}_2^2$

$I=5(10{)}^2+15(0{)}^2$

$I=50kg{m}^2$

Resumindo os dois casos :

$I=150kg{m}^2$

$I=50kg{m}^2$

Notamos que um mesmo corpo pode ter momenta de inércia diferentes dependendo do eixo em torno do qual estamos girando o corpo. No exemplo anterior a inércia rotacional é maior em torno do eixo que passa pela partícula 1 do que o eixo que passa pela partícula 2, ou seja: O momentum de inércia é uma quantidade que depende do eixo que estamos girando o corpo.

Uma pergunta natural que podemos fazer agora é:

Em torno de que eixo a inércia rotacional possivel? Será o eixo que passa pela partícula 2 realmente a menor?

Para responder esta pergunta consideremos um caso genérico.

Cosideremos um eixo de rotação genérico distante $x$ da partícula 1 e perpendicular a haste.

a) Qual é o momentum de inércia em torno deste eixo genérico.

$I=m_1{r}_1^2+m_2{r}_2^2$

$I=m_1{x}^2+m_2(L-x{)}^2$

$I=m_1{x}^2+m_2(L^2-2Lx+x^2)$

b) Para qual valor de $x$ teremos um mínimo de $I=I(x)$?

Usaremos as condições de mínimo que você aprendeu nas suas aulas de cálculo:

$\frac{dI}{dx}=0$

$\frac{d^{2}I}{d{x}^2}>0$

$\frac{dI}{dx}=0\Rightarrow \frac{d(m_1{x}^2+m_2(L^2-2Lx+x^2))}{dx}=0$

$2m_{1}x+m_2(-2L+2x)=0$

$x=\frac{m_{2}L}{m_1+m_2}$

$\frac{d^{2}I}{d{x}^2}=\frac{d(2m_{1}x+m_2(-2L+2x))}{dx}=2m_1+2m_2>0$

Logo o $x$ calculado é realmente um mínimo

$x=\frac{m_{2}L}{m_1+m_2}\Rightarrow I=I_{minimo}$

Notemos que este valor de $x$ é a posição do centro de massa colocando nossa origem sobre a partícula 1: Lembremos que a posição do CM de um sistema de partícula é dado por

$x_{CM}=\frac{m_1{x}_1+m_2{x}_2}{m_1+m_2}\Rightarrow x_{CM}=\frac{m_{1}0+m_{2}L}{m_1+m_2}$

Logo podemos concluir que o eixo que nos dá o menor momentum de inércia possível é aquele que passa pelo centro de massa do corpo.

E para nosso exemplo este momento de inércia mínimo é:

$I=m_1{x}^2+m_2(L-x{)}^2$

$I=m_1(\frac{m_{2}L}{m_1+m_2}{)}^2+m_2(L-\frac{m_{2}L}{m_1+m_2}{)}^2$

$I=m_1(\frac{m_{2}L}{m_1+m_2}{)}^2+m_2(\frac{m_{1}L}{m_1+m_2}{)}^2$

$I=\frac{L^2(m_1{m}_2^2+m_2{m}_1^2)}{(m_1+m_2{)}^2}$