colisões inelásticas

colisões completamente inelásticas

Antes da colisão

Momentum linear antes da colisão:

{\vec{P}}_{i} = {\vec{p}}_{1, i} + {\vec{p}}_{2, i}

P_{i} = m_{1} v_{1, i}

Energia cinética antes da colisão:

$K_{i} = \frac{1}{2} m_{1} v_{i}^{2}$

Após a colisão:

Momentum linear após a colisão:

{\vec{P}}_{f} = {\vec{p}}_{1, f} + {\vec{p}}_{2, f}

P_{f} = m_{1} v_{1, f} + m_{2} v_{2, f}

Energia cinética após a colisão:

K_{f} = \frac{1}{2} m_{1} v_{1, f}^{2} + \frac{1}{2} m_{2} v_{2, f}^{2}

Conservação de Momentum Linear:

P_{i} = P_{f}

m_{1} v_{1, i} = m_{1} v_{1, f} + m_{2} v_{2, f}

Reacrupando os termos

$m_{1} (v_{1, i} - v_{1, f}) = m_{2} v_{2, f}$

Conservação da energia cinética:

K_{i} = K_{f}

\frac{1}{2} m_{1} v_{1, i}^{2} = \frac{1}{2} m_{1} v_{1, f}^{2} + \frac{1}{2} m_{2} v_{2, f}^{2}

Reacrupando os termos

\frac{1}{2} m_{1} (v_{1, i}^{2} - v_{1, f}^{2}) = \frac{1}{2} m_{2} v_{2, f}^{2}

m_{1} (v_{1, i}^{2} - v_{1, f}^{2}) = m_{2} v_{2, f}^{2}

m_{1} (v_{1, i} - v_{1, f}) (v_{1, i} + v_{1, f}) = m_{2} v_{2, f}^{2}

Usando a equação oriunda da conservação do momentum na equação anterior:

m_{1} (v_{1, i} - v_{1, f}) (v_{1, i} + v_{1, f}) = m_{2} v_{2, f}^{2}

m_{2} v_{2, i} (v_{1, i} + v_{1, f}) = m_{2} v_{2, f}^{2}

m_{2} v_{2, i} (v_{1, i} + v_{1, f}) = m_{2} v_{2, f}^{2}

v_{2, f} (v_{1, i} + v_{1, f}) = v_{2, f}^{2}

(v_{1, i} + v_{1, f}) = v_{2, f}

Substituindo na equação do momentum:

m_{1} v_{1, i} = m_{1} v_{1, f} + m_{2} v_{2, f}

m_{1} v_{1, i} = m_{1} v_{1, f} + m_{2} (v_{1, i} + v_{1, f})

Reagrupando de maneira a escrever a velocidade final em termos da velocidade inicial:

m_{1} v_{1, i} - m_{2} v_{1, i} = m_{1} v_{1, f} + m_{2} v_{1, f}

logo:

v_{1, f} = \frac{v_{1, i} (m_{1} - m_{2})}{m_{1} + m_{2}}

Substituindo na equação que relaciona as velocidades teremos:

(v_{1, i} + v_{1, f}) = v_{2, f}

(v_{1, i} + \frac{v_{1, i} (m_{1} - m_{2})}{m_{1} + m_{2}}) = v_{2, f}

Reescrevendo:

\frac{(v_{1, i} (m_{1} + m_{2}) + v_{1, i} (m_{1} - m_{2})}{m_{1} + m_{2}} = v_{2, f}

v_{2, f} = \frac{2 m_{1} v_{1, i}}{m_{1} + m_{2}}

Resumindo:

Antes da colisão: após a colisão:

v_{1, f} = \frac{v_{1, i} (m_{1} - m_{2})}{m_{1} + m_{2}} v

v_{2, f} = \frac{2 m_{1} v_{1, i}}{m_{1} + m_{2}}

m_{1} = m_{2}

v_{1, f} = \frac{v_{1, i} (m_{1} - m_{2})}{m_{1} + m_{2}} = \frac{v_{1, i} (m_{2} - m_{2})}{m_{2} + m_{2}} = 0

v_{2, f} = \frac{2 m_{1} v_{1, i}}{m_{1} + m_{2}} = \frac{2 m_{2} v_{1, i}}{m_{2} + m_{2}} = \frac{2 m_{2} v_{1, i}}{2 m_{2}} = v_{1, i}

m_{1} < < m_{2}

v_{1, f} = \frac{v_{1, i} (m_{1} - m_{2})}{m_{1} + m_{2}} \approx \frac{v_{1, i} (- m_{2})}{m_{2}} = - v_{1, i}

v_{2, f} = \frac{2 m_{1} v_{1, i}}{m_{1} + m_{2}} \approx \frac{2 m_{1} v_{1, i}}{m_{2}} \approx 0

m_{1} > > m_{2}

v_{1, f} = \frac{v_{1, i} (m_{1} - m_{2})}{m_{1} + m_{2}} \approx \frac{v_{1, i} (m_{1})}{m_{1}} = v_{1, i}

v_{2, f} = \frac{2 m_{1} v_{1, i}}{m_{1} + m_{2}} \approx \frac{2 m_{1} v_{1, i}}{m_{1}} = 2 v_{1, i}

Se usarmos um referencial que se move com a velocidade inicial da partícula 2 (partícula alvo) caimos no mesmo caso anterior (alvo em repouso)

V_{1, i} = v_{1, i} - v_{2, i}; V_{1, f} = v_{1, f} - v_{2, i}

V_{2, i} = v_{2, i} - v_{2, i} = 0; V_{2, f} = v_{2, f} - v_{2, i}

Usando os resultados anteriores:

V_{1, f} = \frac{V_{1, i} (m_{1} - m_{2})}{m_{1} + m_{2}}

V_{2, f} = \frac{2 m_{1} V_{1, i}}{m_{1} + m_{2}}

Lembrando que:

V_{1, f} = v_{1, f} - v_{2, i} ⟹ v_{1, f} = v_{2, i} + V_{1, f}

V_{2, f} = v_{2, f} - v_{2, i} ⟹ v_{2, f} = v_{2, i} + V_{2, f}

V_{1, i} = v_{1, i} - v_{2, i}

Logo:

v_{1, f} = v_{2, i} + \frac{(v_{1, i} - v_{2, i}) (m_{1} - m_{2})}{m_{1} + m_{2}}

v_{2, f} = v_{2, i} + \frac{2 m_{1} (v_{1, i} - v_{2, i})}{m_{1} + m_{2}}