Métodos numéricos/Interpolação polinomial

Introdução

A Interpolação consiste em determinar uma função (polinómio) que assume valores conhecidos em certos pontos (nós de interpolação).

Teorema: Dados $n+1$ nós $x_0,\dots ,x_n$ e os respectivos valores $f(x_0),\dots ,f(x_n)$ ; existe um e só um polinómio interpolador de grau $\le n$ para esses valores.

Polinómio interpolador de Lagrange

Dados $n+1$ nós de interpolação $x_0,\dots ,x_n$, o polinómio de Lagrange é um polinómio da forma $p_n(x)=\sum _{i=0}^{n}f(x_i)H_i(x)$ onde $H_i(x)=\prod _{j=0,i\ne j}^n\frac{(x-x_i)}{(x_j-x_i)}$.

Note que para qualquer nó $x_k$, $H_i(x_k)=\{\begin{array}{cc}0,& sek\ne i\\ 1,& sek=i\end{array}$

Polinómio interpolador de Newton

Trata-se de uma fórmula alternativa para o cálculo do polinómio interpolador, baseada numa construção sucessiva a partir dos polinómios de graus inferiores. Para estabelecer essa fórmula convém introduzir a noção de diferença dividida.

As diferenças divididas são razões incrementais e constituem aproximações discretas de derivadas, desde que se utilizem pontos suficientemente próximos.

A diferença dividida de 1ª ordem é definida de uma forma geral por: f [ xi, xj] = ( fi - fj ) / ( xi - xj ) e uma diferença dividida de ordem k, pode ser obtida a partir das anteriores : f [ xi , ... , xi+k] = ( f [ xi+1, ... , xi+k ] - f [ xi, ... , xi+k-1 ] ) / ( xi+k - xi )

Fórmula de Newton

pn(x) = pn-1(x) + f [ x0 , ... , xn ] (x - x0) ... ( x - xn-1)