Medida e integração/A reta real estendida

No estudo da teoria da medida, é comum lidar com sequências e séries de funções. Como se sabe da análise real, algumas vezes os termos de uma sequência assumem valores arbitrariamente grandes e este é um dos casos em que se diz que a sequência não converge. Entretanto, em certos contextos é extremamente útil considerar este tipo de sequência como sendo convergente, pois os seus termos "tendem a infinito" ou se "aproximam do infinito". O problema é que o "infinito" não faz parte do conjunto dos números reais, então para que esta noção possa ter um sentido mais preciso, costuma-se definir um novo conjunto a partir dos números reais e dos elementos $-\mathrm{\infty }$ e $+\mathrm{\infty },$ de modo que este seja uma extensão da reta real:

• Predefinição:Observação

Em capítulos posteriores será considerado frequentemente o subconjunto ${\overline{ℝ}}_{+}$ da reta real estendida definido por

${\overline{ℝ}}_{+}:=[0,\mathrm{\infty }]={ℝ}_{+}\cup \{\mathrm{\infty }\}$.

Há outros motivos importantes para se considerar o $\mathrm{\infty }$ ao longo da teoria da medida, por exemplo:

• É de interesse poder integrar funções sobre conjuntos que tenham "medida infinita": perceba que $ℝ$ tem, intuitivamente, comprimento infinito;
• Mesmo quando se pretende fazer a integração de funções que tomam valores reais, pode ocorrer que ao considerar uma sequência de funções $f_n:X\mapsto {ℝ}_{+},$ o valor de $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}{f}_n(x)$ ou de $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{f}_n(x)$ seja infinito em alguns pontos $x\in X.$ Em tais situações, caso não se trabalhe com o $\mathrm{\infty }$, se perde uma parte da elegância e simplicidade dos principais resultados sobre convergência (por exemplo, o teorema da convergência monótona e a "integração termo a termo" de séries de funções). Torna-se então mais conveniente a introdução do símbolo $\mathrm{\infty }$ e de algumas convenções para se fazer cálculos envolvendo este símbolo.

Na próxima seção serão definidas algumas estruturas que facilitam o uso de $\overline{ℝ}:$ uma relação de ordem, uma topologia e também uma aritmética.

Ordem, topologia e aritmética na reta real estendida

A retal real estendida se torna um Predefinição:W definindo $-\mathrm{\infty }\le a\le +\mathrm{\infty }$ para todo número real $a$. Analogamente, a ordem sobre ${\overline{ℝ}}_{+}$ é induzida ordem de $\overline{ℝ},$ ou seja, para cada $a\in {ℝ}_{+}$ se tem $0\le a<\mathrm{\infty }.$

Com esta ordem, se $\mathrm{\varnothing }=X\subset \overline{ℝ}$ e $X$ não é limitado superiormente, isto é, se para todo $y\in ℝ$ existe algum $x\in X$ tal que $x>y,$ então $\sup X=\mathrm{\infty }.$ Analogamente, se $X$ não é limitado inferiormente, então $\inf X=-\mathrm{\infty }.$ Deste modo, todo subconjunto não vazio de $\overline{ℝ}$ (e, em particular, de $ℝ$) tem Predefinição:Busca e Predefinição:Busca em $\overline{ℝ},$ o que faz da reta real estendida um Predefinição:W. Este é um dos principais motivos para a introdução dos símbolos $-\mathrm{\infty }$ e $+\mathrm{\infty }.$

A partir desta relação de ordem, defini-se a Predefinição:Busca sobre $\overline{ℝ}.$ Os intervalos abertos são os subconjuntos de $\overline{ℝ}$ que podem ser escritos em uma das seguintes formas:

• $(a,b):=\{x\in ℝ:a\in ℝ,b\in ℝ\text{ e }a<x<b\}$
• $[-\mathrm{\infty },a):=\{x\in \overline{ℝ}:a\in ℝ\text{ e }-\mathrm{\infty }\le x<a\}$
• $(a,+\mathrm{\infty }]:=\{x\in \overline{ℝ}:a\in ℝ\text{ e }a<x\le +\mathrm{\infty }\}$

Deste modo, um conjunto $U\subset \overline{ℝ}$ é aberto se for uma reunião de intervalos dos tipos acima (pois eles formam uma Predefinição:Busca para $\overline{ℝ}$).

Com esta topologia, as noções de limite envolvendo o infinito podem ser definidas de forma unificada a partir da definição topológica de limite.

Observe que ao fazer a interseção de $ℝ$ com intervalos abertos de $\overline{ℝ}$ se obtém um intervalo aberto de $ℝ,$ ou seja, um conjunto da forma $(a,b),$ $(-\mathrm{\infty },a)$ ou $(a,+\mathrm{\infty }).$ Levando em conta que estes intervalos formam uma base de abertos para a topologia usual de $ℝ,$ segue que tal topologia é induzida pela que se definiu sobre $\overline{ℝ}$ anteriormente e que a inclusão $x\in ℝ\mapsto x\in \overline{ℝ}$ é contínua. Do mesmo modo, a topologia usual sobre ${\overline{ℝ}}_{+}$ é a induzida pela topologia usual de $\overline{ℝ}.$

As operações aritméticas de $ℝ$ podem ser parcialmente estendidas para $\overline{ℝ}$ da seguinte maneira:

$\begin{array}{cccc}a+\mathrm{\infty }=+\mathrm{\infty }+a& =+\mathrm{\infty },& a& \ne -\mathrm{\infty }\\ a-\mathrm{\infty }=-\mathrm{\infty }+a& =-\mathrm{\infty },& a& \ne +\mathrm{\infty }\\ a\cdot \pm \mathrm{\infty }=\pm \mathrm{\infty }\cdot a& =\pm \mathrm{\infty },& a& \in (0,+\mathrm{\infty }]\\ a\cdot \pm \mathrm{\infty }=\pm \mathrm{\infty }\cdot a& =\mp \mathrm{\infty },& a& \in [-\mathrm{\infty },0)\\ a\cdot +\mathrm{\infty }=+\mathrm{\infty }\cdot a& =0,& a& =0\end{array}$

Aqui, $a+\mathrm{\infty }$ significa tanto $a+(+\mathrm{\infty })$ quanto $a-(-\mathrm{\infty })$ e $a-\mathrm{\infty }$ significa tanto $a-(+\mathrm{\infty })$ quanto $a+(-\mathrm{\infty }).$

Também será convencionado que $|\pm \mathrm{\infty }|=+\mathrm{\infty }.$

Quando se restringe as operações apenas ao conjunto ${\overline{ℝ}}_{+},$ vale:

$a+\mathrm{\infty }=\mathrm{\infty }+a=\mathrm{\infty },a\in {\overline{ℝ}}_{+}$

$a\cdot \mathrm{\infty }=\mathrm{\infty }\cdot a=\{\begin{array}{cc}\mathrm{\infty },& \text{se }a\in (0,+\mathrm{\infty }]\\ 0,& \text{se }a=0\end{array}$

Por mais estranho que possa parecer a definição de $0\cdot \mathrm{\infty }$ (ou $\mathrm{\infty }\cdot 0$) como sendo $0,$ verifica-se facilmente que, com esta escolha, em ${\overline{ℝ}}_{+}$ continuam valendo as propriedades comutativa, associativa e distributiva, sem qualquer restrição. Vale ressaltar, no entanto, que as "leis de cancelamento" devem ser usadas com cuidado, pois:

• $a+b=a+c\Rightarrow b=c,$ apenas no caso em que $a<\mathrm{\infty }$
• $ab=ac\Rightarrow b=c,$ somente quando se tem $0<a<\mathrm{\infty }$

As expressões $1/0,$ $\mathrm{\infty }-\mathrm{\infty }$ e $\pm \mathrm{\infty }/\pm \mathrm{\infty }$ (chamadas de "formas indeterminadas") serão deixadas indefinidas, como é de costume em outros textos da área. As regras acima podem ser intuídas a partir das propriedades usuais de limites que tomam valores infinitos, presentes nos textos de Predefinição:Busca.

Com as definições dadas, $\overline{ℝ}$ não é um Predefinição:Busca nem mesmo um Predefinição:Busca. Apesar disto, ele ainda possui diversas propriedades bastante convenientes:

• $a+(b+c)$ e $(a+b)+c$ ou são iguais ou são ambos indefinidos.
• $a+b$ e $b+a$ ou são iguais ou são ambos indefinidos.
• $a\times (b\times c)$ e $(a\times b)\times c$ ou são iguais ou são ambos indefinidos.
• $a\times b$ e $b\times a$ ou são iguais ou são ambos indefinidos
• $a\times (b+c)$ e $(a\times b)+(a\times c)$ são iguais se ambos estiverem definidos.
• Se $a=b$ e se tanto $a+c$ quanto $b+c$ estiverem definidos, então $a+c=b+c$.
• Se $a=b$ e $c>0$ e tanto $a\times c$ quanto $b\times c$ estiverem definidos, então $a\times c=b\times c$.

Em geral, todas as regras usuais de aritmética continuam válidas em $\overline{ℝ},$ desde que todas as expressões envolvidas estejam definidas.

Na próxima seção será considerado uma [[../Mensurabilidade#defi:s-algebra|$\sigma$-álgebra]] que pode ser definida de modo muito natural a partir da topologia de um conjunto: Se $(X,𝒞)$ é um espaço topológico, tem-se em particular que $𝒞\subset 𝒫(X).$ Neste caso, conforme se demonstrou na [[../Mensurabilidade#prop:menor-s-algebra|Proposição 1.21]] existe a menor [[../Mensurabilidade#defi:s-algebra|$\sigma$-álgebra sobre $X$]] que contém $𝒞,$ que é $⟨𝒞⟩.$ Isto motiva a próxima definição.

Conjuntos de Borel

• Predefinição:Observação
• Predefinição:Observação

Conforme se aprende em topologia, se $(X,𝒞)$ e $(Y,{𝒞}^{\prime })$ são espaços topológicos, e $f:X\mapsto Y$ é uma função contínua, então a pré-imagem $f^{-1}(A)$ de qualquer aberto $A\in {𝒞}^{\prime }$ é um aberto da topologia $𝒞.$ Neste caso, levando em conta que $𝒞\subset {ℬ}_X,$ se conclui que $f^{-1}(A)\in {ℬ}_X,$ para qualquer $A\in {𝒞}^{\prime }.$ Isto significa que [[../Mensurabilidade#defi:fun-mens|$f$ é mensurável]] em relação a ${ℬ}_X$ e ${𝒞}^{\prime }.$ Estas funções mensuráveis recebem os nomes específicos, conforme a próxima definição.

A última propriedade da proposição anterior costuma ser usada para verificar se determinada função que toma valores reais é ou não mensurável.

A próxima definição apresenta alguns conceitos relacionados a ideia de limite: os limites de oscilação. Sua importância será notada no decorrer do estudo de sequências, tanto numéricas quanto de funções.

A seguir serão definidas algumas operações que se costuma fazer com funções com imagem na reta real estendida. A essência de tais operações é "tomar um limite em cada ponto do domínio da função". A definição 2.31 formaliza esta ideia:

No desenvolvimento da teoria de integração, será importante considerar os seguintes tipos particulares de funções da forma $\min \{f,g\}$ e $\max \{f,g\}:$