Mecânica dos fluidos/Pressão sobre corpos submersos

Pressão sobre uma placa retangular imersa em um fluido incompressível

Uma placa retangular, de dimensões L x W, espessura desprezível, imersa em um fluido incompressível de densidade $\rho$, sofre pressão sobre a sua superfície superior, devido ao peso desse fluido. Se a placa estiver imersa a uma profundidade D e perfeitamente alinhada horizontalmente, todos os pontos estarão sujeitos à mesma pressão $p=\rho gD$.

Se, no entanto, apenas a sua extremidade superior estiver alinhada com a horizontal e a face fizer um ângulo Θ com esta, os pontos sofrerão uma pressão que varia com a profundidade, de $\rho gD$ no topo a $\rho g(D+L\sin \theta )$ na extremidade inferior. Isso dará origem não apenas a uma força resultante sobre a superfície, mas também a um torque na direção horizontal.

Para obter a força, é preciso integrar a força infinitesimal sobre cada elemento de área da placa.

$dF=pdA=(\rho gh)dA$

A direção da pressão é sempre perpendicular à superfície da placa, pois o líquido está estático, o que simplifica o cálculo, tornando desnecessário trabalhar com vetores. Podemos introduzir a variável x, variando de 0 a L, ao longo da face da placa, sendo $h=D+x\sin \theta$, para integrar a equação acima.

$dF=\rho g(D+x\sin \theta )dA$

$dF=\rho g(D+x\sin \theta )Wdx$

$F=\rho gW(DL+\frac{L^2\sin \theta }{2})$

O torque sobre a superfície, por sua vez, tomando-se como referência a extremidade superior, será dado por

$d\mathrm{\Omega }=xdF=x\rho g(D+x\sin \theta )Wdx=\rho gW(Dx+x^2\sin \theta )dx$

$\mathrm{\Omega }=\rho gW(\frac{D{L}^2}{2}+\frac{L^3\sin \theta }{3})$

A profundidade do centro geométrico da placa é

$h_c=D+\frac{L\sin \theta }{2}$

e a pressão nessa profundidade é

$p_c=\rho g{h}_c=\rho g(D+\frac{L\sin \theta }{2})$

que daria origem, se aplicada uniformemente a toda a placa, a uma força

$F_c=p_{c}A=\rho g(D+\frac{L\sin \theta }{2})WL=\rho gW(DL+\frac{L^2\sin \theta }{2})$

que é igual à força resultante sobre a placa calculada acima. Assim, podemos escrever que a força resultante sobre a placa submersa é igual à força que apareceria se ela estivesse mergulhada na posição horizontal na profundidade em que se encontra o seu centro geométrico. Quanto ao torque, podemos dizer que ele é igual à força $F_C$ aplicada à posição

$x_{\mathrm{\Omega }}=\frac{\mathrm{\Omega }}{F_c}=\frac{\frac{DL}{2}+\frac{L^2\sin \theta }{3}}{D+\frac{L\sin \theta }{2}}$

$x_{\mathrm{\Omega }}=\frac{(\frac{DL}{2}+\frac{L^2\sin \theta }{4}+\frac{L^2\sin \theta }{12})}{D+\frac{L\sin \theta }{2}}=\frac{L}{2}+\frac{\frac{L^2\sin \theta }{12}}{D+\frac{L\sin \theta }{2}}$

Esse ponto está a uma profundidade

$h_{\mathrm{\Omega }}=D+x_{\mathrm{\Omega }}\sin \theta$

e é a coordenada vertical do ponto de aplicação da força resultante F_c. As outras coordenadas são, obviamente:

$y_{\mathrm{\Omega }}=\frac{W}{2}$

$z_{\mathrm{\Omega }}=x_{\mathrm{\Omega }}\cos \theta$

A força F_c, por sua vez, pode ser expressa por suas componentes em cada uma das dimensões

$F_H=F_c\sin \theta F_V=F_c\cos \theta F_y=0$

Os 6 valores F_H, F_V, F_y, h_Ω, z_Ω e y_Ω descrevem completamente a força aplicada à superficie.

Pressão sobre uma placa plana de qualquer formato imersa em um fluido incompressível

Qualquer que seja o formato da placa, podemos escrever, como acima

$dF=pdA=(\rho gh)dA=\rho g(D+x\sin \theta )dA$

$F=\rho g(D\int dA+\sin \theta \int xdA)=\rho g(DA+M_0\sin \theta )$

$d{\mathrm{\Omega }}_x=xdF=x\rho g(D+x\sin \theta )dA$

${\mathrm{\Omega }}_x=\rho g(D\int xdA+\sin \theta \int x^{2}dA)=\rho g(M_{0}D+I_0\sin \theta )$

onde

$M_0=\int xdAe{I}_0=\int x^{2}dA$

são, respectivamente, o primeiro e o segundo momentos da área da superfície com relação ao eixo que passa pela extremidade superior.

A profundidade do centro geométrico da placa é

$h_c=D+x_c\sin \theta =D+\frac{\int xdA}{\int dA}\sin \theta =D+\frac{M_0}{A}\sin \theta$

e a pressão nessa profundidade é

$p_c=\rho g{h}_c=\rho g(D+\frac{M_0}{A}\sin \theta )$

que daria origem, se aplicada uniformemente a toda a placa, a uma força

$F_c=p_{c}A=\rho g(DA+M_0\sin \theta )$

que também é igual à força resultante sobre a placa calculada acima. Assim, podemos escrever que a força resultante sobre a placa submersa, qualquer que seja o seu formato, é igual à força que apareceria se ela estivesse mergulhada na posição horizontal na profundidade em que se encontra o seu centro geométrico. Quanto ao torque, podemos lançar mão do teorema dos eixos paralelos (ou teorema de Steiner) e substituir

$I_0=I_c+A{x}_c^2=I_c+A{x}_c\cdot x_c=I_c+A{x}_c\frac{M_0}{A}=I_c+x_c{M}_0$

onde $I_c$ é o segundo momento da área (ou momento de inércia da placa) com relação a um eixo que passa pela posição $x_c$

${\mathrm{\Omega }}_x=\rho g(M_{0}D+I_0\sin \theta )=\rho g(A{x}_{c}D+(I_c+x_c{M}_0)\sin \theta )=\rho g{x}_c(DA+M_0\sin \theta )+\rho g{I}_c\sin \theta$

${\mathrm{\Omega }}_x=x_c{F}_c+\rho g{I}_c\sin \theta$

$x_{\mathrm{\Omega }}=\frac{{\mathrm{\Omega }}_x}{F_c}=\frac{x_c{F}_c+\rho g{I}_c\sin \theta }{F_c}=x_c+\frac{\rho g{I}_c\sin \theta }{F_c}=x_c+\frac{\rho g{I}_c\sin \theta }{\rho g{h}_{c}A}$

$x_{\mathrm{\Omega }}=x_c+\frac{I_c\sin \theta }{h_{c}A}$

No caso de uma placa retangular, não haverá torque na direção horizontal, devido à simetria $(y_{\mathrm{\Omega }}=\frac{W}{2})$. Para uma placa de formato qualquer, é preciso calculá-lo de acordo com as mesmas fórmulas. Os 6 valores F_H, F_V, F_y, h_Ω, z_Ω e y_Ω descrevem completamente a força aplicada à superficie.

Pressão sobre uma placa curva imersa em um fluido incompressível

No caso de uma placa curva, não temos mais os infinitesimais dF apontando todos para a mesma direção. O cálculo se torna mais complexo, porque é preciso integrar separadamente as componentes vertical e horizontal dF_H e dF_V:

$d{F}_H=pd{A}_{V}d{F}_V=pd{A}_H$

$F_H=\int pd{A}_V{F}_V=\int pd{A}_H$

onde dA_H e dA_V são, respectivamente, as projeções do elemento de área dA na direção horizontal e vertical. No caso de F_H, a fórmula deixa claro que a superfície curva A pode ser substituída pela sua projeção na vertical A_V, sem que o cálculo seja afetado. Assim, podemos usar a fórmula geral

$F_H=p_c{A}_V$

Quanto a F_V, pode-se usar o mesmo método ou desenvolver-se a expressão

$F_V=\int pd{A}_H=\int \rho ghd{A}_H=\rho g\int hd{A}_H=\rho g{V}_s$

onde V_s é o volume de fluido total que se encontra sobre a placa.

O torque na direção horizontal pode ser calculado a partir da força F_H como se a placa fosse plana. A direção x deve ser escolhida de forma a coincidir com o eixo vertical e a direção z, com a horizontal.

$x_{\mathrm{\Omega }}=x_c+\frac{I_c}{h_c{A}_V}$

${\mathrm{\Omega }}_H=x_{\mathrm{\Omega }}{F}_H$

Para calcular $z_{\mathrm{\Omega }}$, deve-se encontrar a coordenada horizontal do centro de massa do volume de fluido sobre a placa.

Vale ressaltar que o método usado para o cálculo de F_H é totalmente geral e pode ser usado qualquer que seja a direção desejada. Dependendo da posição da placa, pode ser conveniente escolher uma direção de análise que não coincida com a horizontal ou a vertical.

Caso especial de uma placa plana retangular

Se a placa for plana e retangular, de dimensões L x W, espessura desprezível, estiver imersa a uma profundidade D e a face fizer um ângulo Θ com esta, como na seção anterior

$F_H=p_c{A}_V=\rho g{h}_{c}WL\sin \theta =\rho g(D+\frac{L\sin \theta }{2})WL\sin \theta$

$F_H=\rho gW(DL+\frac{L^2\sin \theta }{2})\cdot \sin \theta =F_c\sin \theta$

que é a componente horizontal da força F_c calculada na seção anterior.

$F_V=\rho g{V}_s=\rho g(DWL\cos \theta +W\frac{L\sin \theta \cdot L\cos \theta }{2})=\rho gW(DL+\frac{L^2\sin \theta }{2})\cdot \cos \theta =F_c\cos \theta$

que é a componente vertical da força F_c calculada na seção anterior.

$x_{\mathrm{\Omega }}=x_c+\frac{I_c}{h_c{A}_V}=\frac{L\sin \theta }{2}+\frac{(\underset{0}{\overset{L\sin \theta }{\int }}(x-x_c{)}^{2}dA)}{(D+\frac{L}{2}\sin \theta )A_V}$

$x_{\mathrm{\Omega }}=\frac{L\sin \theta }{2}+\frac{W\frac{(L\sin \theta -\frac{L\sin \theta }{2}{)}^3-(0-\frac{L\sin \theta }{2}{)}^3}{3}}{(D+\frac{L}{2}\sin \theta )WL\sin \theta }=\frac{L\sin \theta }{2}+\frac{\frac{L^2}{12}{\sin }^2\theta }{D+\frac{L}{2}\sin \theta }$

$x_{\mathrm{\Omega }}=[\frac{L}{2}+\frac{\frac{L^2}{12}\sin \theta }{D+\frac{L}{2}\sin \theta }]\sin \theta$

que é o mesmo valor calculado na seção anterior, apenas multiplicado por $\sin \theta$, devido à mudança de orientação do eixo x, de paralelo à face da placa para a vertical. Na direção horizontal, podemos escrever $x=z\tan \theta$ e calcular

$z_{\mathrm{\Omega }}=\frac{M_{Vs}}{V_s}=\frac{\int zdV}{\int dV}=\frac{W\underset{0}{\overset{L\cos \theta }{\int }}\underset{-D}{\overset{z\tan \theta }{\int }}zdxdz}{W\underset{0}{\overset{L\cos \theta }{\int }}\underset{-D}{\overset{z\tan \theta }{\int }}dxdz}=\frac{\underset{0}{\overset{L\cos \theta }{\int }}z(z\tan \theta +D)dz}{\underset{0}{\overset{L\cos \theta }{\int }}(z\tan \theta +D)dz}$

$z_{\mathrm{\Omega }}=\frac{\frac{L^3{\cos }^3\theta \tan \theta }{3}+\frac{D{L}^2{\cos }^2\theta }{2}}{\frac{L^2{\cos }^2\theta \tan \theta }{2}+DL\cos \theta }=\frac{\frac{L^2\sin \theta }{3}+\frac{D}{2}}{\frac{L\sin \theta }{2}+D}\cdot \cos \theta$

que é o mesmo valor calculado na seção anterior.

Outros casos especiais

O método apresentado nesta seção é bastante genérico e serve para calcular a pressão sobre uma superfície qualquer, bastando dividi-la em um número apropriado n de superfícies (S₁, S₂, etc.) de forma que o cálculo se torne fácil.

• Placa apenas parcialmente submersa: neste caso, é preciso dividir a superfície S em n partes, calcular os parâmetros (F_H, F_V, F_y, x_Ω, y_Ω e zx_Ω) para cada uma das superfícies S_i totalmente submersas e somar os vetores.

• Placa submersa em fluidos diferentes: neste caso, é preciso dividir a superfície S em n partes, cada uma delas em contato com no máximo um fluido, calcular os parâmetros (F_H, F_V, F_y, x_Ω, y_Ω e zx_Ω) para cada uma das superfícies totalmente submersas e somar os vetores.

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