Lógica/Lógicas Não-clássicas/Lógica Modal

Introdução

Lógicas modais tratam de modalidades. Além dos conectivos são inseridos dois novos conectivos unários (modalidades):

Modalidade	$◻A$	$◊A$
Necessidade	Necessário	Possível
Temporal	Sempre no futuro	Em algum lugar no futuro
Doxástico	Acredito que	É consistente com minhas crenças
Provabilidade	É demonstrável que	É consistente que
Deôntica	É obrigatório que	É permitido que

Linguagem das lógicas modais:

• Alfabeto: Símbolos lógicos, $◻,◊$ e símbolos proposicionais ($P$).
• Linguagem: $L_{◻}$ é menor conjunto que:
  • $P\subseteq L_{◻}$
  • $A\in L_{◻}$ então $\mathrm{\neg }A\in L_{◻}$
  • $A,B\in L_{◻}$ então $A\mathrm{\#}B\in L_{◻}$ com $\mathrm{\#}\in \{\wedge ,\vee ,\to \}$
  • $A\in L_{◻}$ então $◻A,◊A\in L_{◻}$

Axiomatização da Lógica Modal Normal Mínima

Primeiramente definiremos a sintática da lógica modal por sua axiomática. Existem vários tipos de lógica modal, começaremos descrevendo a axiomática da menor lógica normal, também chamada de lógica K:

Axiomas

• A0) Todas as tautologias clássicas
• K) $◻(p\to q)\to (◻p\to ◻q)$

Regras de Inferência

• Modus Ponens: $\frac{⊢A\to B,⊢A}{⊢B}$
• Necessitação: $\frac{⊢A}{⊢◻A}$

Obs.: Para podermos derivar $◻A$ temos que ter provado $A$, não sempre verdade que $⊢p\to ◻p$

Outros Axiomas Importantes

Como já mencionamos existem várias lógicas modais diferentes. Em geral os axiomas e as regras de derivação acima são comuns a todas elas (todas aslógicas modais normais). Citaremos alguns outros axiomas que definem outras lógicas modais:

• T) $◻p\to p$
• 4) $◻p\to ◻◻p$
• 5) $◊p\to ◻◊p$
• B) $p\to ◻◊p$
• D) $◻p\to ◊p$

Semântica de Kripke

Estrutura de Kripke

Uma estrutura de Kripke é um par (W,R) onde:

• $W$ é um conjunto não vazio. Representa o conjunto de mundos possíveis
• $R\subseteq W\times W$ é uma relação binária. Relação de acessibilidade.

Modelo de Kripke

$\mu =(W,R,v)$ é um modelo de Kripke sse:

$v:P\to 2^W$ onde (W,R) é uma estrutura de Kripke. Ou seja v leva símbolos proposicionais aos mundos nos quais eles são verdadeiros.