Cálculo (Volume 2)/Integrais múltiplas

Existem várias situções em que não é possível ou não é fácil utilizar uma integral simples. Assim, surge o aparecimento das chamadas integrais múltiplas que "varrem" o domínio de integração com a ajuda de duas ou três variáveis.

Os integrais múltiplos podem ser:

Integral dupla
$\int \underset{R}{\int }f(x,y)dA$

Integral triplo
$\int \int \underset{D}{\int }f(x,y,z)dV$

Integrais Duplas

Integrais duplas são integrais definidas de funções de duas variáveis $f(x,y)$ sobre uma região limitada no plano $xy$. Denotamos por:

$\int \underset{R}{\int }f(x,y)dA$

a integral dupla de $f(x,y)$ sobre a região de integração $R$.

Integrais duplas sobre retângulos

Aqui, vamos considerar o caso de uma região de integração retangular, i.e., $R=\{(x,y)\in {ℝ}^2;a\le x\le b,c\le y\le d\}$.

Somas de Riemann

Esboço de uma região retangular particionada em subretângulos.

Como para integrais simples, integrais duplas são definidas como o limite de somas de Riemann. Para tanto, particionamos a região retangular $R$ em $n$subretângulos e denotamos a área do $k$-ésimo subretângulo por $\mathrm{\Delta }{A}_k=\mathrm{\Delta }{x}_k\mathrm{\Delta }{y}_k$, onde $\mathrm{\Delta }{x}_k$ e $\mathrm{\Delta }{y}_k$ são os comprimentos dos lados deste subretângulo. Uma soma de Riemann é dada por:

$\sum _{k=1}^{n}f(x_k,y_k)\mathrm{\Delta }{A}_k=\sum _{k=1}^{n}f(x_k,y_k)\mathrm{\Delta }{x}_k\mathrm{\Delta }{y}_k$

onde $(x_k,y_k)$ é um ponto qualquer pertencente ao $k$-ésimo subretângulo.

A integral dupla sobre $R$ é definida por:

$\int \underset{R}{\int }f(x,y)dA=\underset{\mathrm{\Delta }A\to 0}{\lim }\sum _{k=1}^{n}f(x_k,y_k)\mathrm{\Delta }{A}_k$

com o limite sendo tomado sobre todas as partições retangulares possíveis, fazendo a área dos subretângulos tender a zero. Quando este limite existe, dizemos que $f$ é integrável. É condição suficiente para a existência deste limite $f$ ser contínua.Predefinição:AutoCat