Análise real/Propriedades

Propriedades de conjuntos

Sejam $A,B\subset K$.

• $A\cup B=K,A\cap B\ne \varnothing \Rightarrow A-B={\complement }_{A}B=K-B={\complement }_{K}B$.
  • $Dadox\in K=A\cup B\Rightarrow x\in A\text{ ou }x\in B\text{ ou }x\in A\cap B$
• $A\cup B=K,A\cap B=\varnothing \Rightarrow \text{ dado }x\in K\Rightarrow x\in A\text{ ou }x\in B$.
• $A\subset B\Rightarrow B^C\subset A^C$.
  • Dado $x\in B^C\Rightarrow x\in ̸B{\Rightarrow }^{1}x\in ̸A\Rightarrow x\in A^C$. 1 Suponha que $A-B\ne \mathrm{\varnothing }\Rightarrow \mathrm{\exists }x\in K;x\in A,x\in ̸B\Rightarrow A\subset ̸B$ que opõe-se da nossa hipótese.

teorema

• $A\cup B=B{\iff }_{1}A\subset B{\iff }_{2}A\cap B=A$
  • ${\Rightarrow }_1:DefatoA\subset A\cup B.ComoA\cup B=B\Rightarrow A\cup B\subset B.LogoA\subset A\cup B\subset B\Rightarrow A\subset B.$
  • ${\Leftarrow }_1:DefatoA,B\subset A\cup B.ComoA\subset B,logoA\cup B\subset B.PortantoA\cup B=B.$
  • ${\Rightarrow }_2:DefatoA\cap B\subset A.ComoA\subset B,logoA\subset A\cap B.$
  • ${\Leftarrow }_2:ComoA\cap B=A\Rightarrow A\subset A\cap B.DefatoA\cap B\subset B\Rightarrow A\subset B.$

Relações de Morgan

• $(A\cup B{)}^C=A^C\cap B^C$
  • $\mathrm{\forall }x\in (A\cup B{)}^C\Rightarrow x\in ̸A\cup B.ComoA\cup B=(A-B)\cup (B-A)\cup (A\cap B),disjuntos\Rightarrow x\in ̸A-B,x\in ̸B-Aex\in ̸A\cap B\Rightarrow$
    • $\Rightarrow x\in ̸Aex\in ̸B\Rightarrow x\in A^{C}ex\in B^C\Rightarrow x\in A^C\cap B^C\Rightarrow (A\cup B{)}^C\subset A^C\cap B^C$ (1)
  • $\mathrm{\forall }x\in A^C\cap B^C\Rightarrow x\in A^{C}ex\in B^C\Rightarrow x\in ̸Aex\in ̸B\Rightarrow x\in ̸A-B,x\in ̸B-Aex\in ̸A\cap B\Rightarrow x\in ̸A\cup B\Rightarrow x\in (A\cup B{)}^C\Rightarrow A^C\cap B^C\subset (A\cup B{)}^C$ (2)
  • Por (1) e (2), temos que $(A\cup B{)}^C=A^C\cap B^C$
• $(A\cap B{)}^C=A^C\cup B^C$
  • $\mathrm{\forall }x\in (A\cap B{)}^C\Rightarrow x\in ̸A\cap B\Rightarrow x\in ̸Aex\in ̸B\Rightarrow x\in A^{C}ex\in B^C\Rightarrow x\in A^C\cup B^C$
  • $\mathrm{\forall }x\in A^C\cap B^C\Rightarrow x\in A^{C}ex\in B^C\Rightarrow x\in ̸Aex\in ̸B\Rightarrow x\in ̸A\cap B\Rightarrow x\in (A\cap B{)}^C$

exemplos

• $\varnothing \in \varnothing$
  • Considere K, um conjunto qualquer e $A=K\cap K^C$. Suponha que $\varnothing \in A$. Como A é a intersecção disjunta de dois conjuntos, logo $\varnothing \in Ke\varnothing \in K^C$. Mas não existe um elemento que pertença a um conjunto e ao seu complementar ao mesmo tempo. Portanto $\varnothing \in ̸\varnothing$
• $\varnothing \subset \varnothing$
  • Por contradição ${\varnothing }_A\subset ̸{\varnothing }_B\Rightarrow \mathrm{\exists }x\in {\varnothing }_A;x\in ̸{\varnothing }_B\Rightarrow {\varnothing }_A-{\varnothing }_B\ne \varnothing$. O que é um absurdo, pois estamos dizendo que um conjunto vazio tenha algum elemento.
  • Suponha um conjunto A qualquer e que $\varnothing \subset ̸A$, isso implica que o conjunto vazio têm um elemento que o A não tenha. Mas o conjunto vazio não têm elementos. Portanto o conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto, inclusive de si mesmo.
• $\varnothing \in \{\varnothing \}$
  • O conjunto das partes do conjunto $\{\}$, é $\{\varnothing \}$. Portanto o conjunto vazio pertence ao conjunto das partes do conjunto vazio.
• $\varnothing \subset \{\varnothing \}$
  • Tomemos as parte do conjunto $\{\}$, que é $\{\varnothing \}$. Todo conjunto é subconjunto de si mesmo, assim: $\{\varnothing \}\subset \{\varnothing \}$

condições entre conjuntos

Considere $A=\{x\in U;Pocorre\},B=\{x\in U;Qocorre\}eC=\{x\in U;Rocorre\}$. Determine a relação entre as condições P, Q e R, onde

• $A\cap B^C\subset C$
  • $\mathrm{\forall }x\in A\cap B^C\Rightarrow x\in Aex\in U-B\Rightarrow x\in C.$
    • $\therefore P\wedge \mathrm{\neg }Q\Rightarrow R$. Isto é, todo elemento do conjunto U que possui a propriedade P e não possui a propriedade Q, possui a propriedade R.
    • Devemos aqui ter bem claro que $x\in U-A$ significa que temos um elemento do conjunto U que não pertence ao conjunto A, isto é, não possui a propriedade P.
• $A^C\cup B^C\subset C$
  • $\mathrm{\forall }x\in A^C\cup B^C\Rightarrow x\in U-Aoux\in U-B\Rightarrow x\in C$
    • $\therefore \mathrm{\neg }P\vee \mathrm{\neg }Q\Rightarrow R$. Isto é, todo elemento do conjunto U que não possui a propriedade P ou não possui a propriedade Q, possui a propriedade R.

• $A^C\cup B\subset C^C$
  • $\mathrm{\forall }x\in A^C\cup B\Rightarrow x\in U-Aoux\in B\Rightarrow x\in U-C$
    • $\therefore \mathrm{\neg }P\vee Q\Rightarrow \mathrm{\neg }R$. Isto é, todo elemento do conjunto U que não possui a propriedade P ou possui a propriedade Q, não possui a propriedade R.

• $A^C\subset B^C\cup C$
  • $\mathrm{\forall }x\in A^C\Rightarrow x\in U-A\Rightarrow x\in U-Boux\in C$
    • $\therefore \mathrm{\neg }P\Rightarrow \mathrm{\neg }Q\vee R$. Isto é, todo elemento do conjunto U que não possui a propriedade P, não possui a propriedade Q ou possui a propriedade R.

• $A\subset B^C\cup C^C$
  • $\mathrm{\forall }x\in A\Rightarrow x\in B^C\cup C^C\Rightarrow x\in U-Boux\in U-C$
    • $\therefore P\Rightarrow \mathrm{\neg }Q\vee \mathrm{\neg }R$. Isto é, todo elemento do conjunto U que possui a propriedade P, não possui a propriedade Q ou não possui a propriedade R.