Cálculo (Volume 3)/Séries numéricas infinitas

Wikiversidade - Disciplina: Cálculo IV

Séries numéricas infinitas

Quando temos que representar um número de forma literal, por meio de equação infinita, podemos lançar mão de um recurso interessante, a série. Ela consiste de uma soma de parcelas literais significativas onde cada valor de parcela é um valor sequencial. Podemos dizer que a série é a somatória de uma sequência numérica simples, a qual se torna uma nova sequência.

Definição: Seja $\{a_n\}$ uma seqüência numérica. Chamamos de série numérica a soma descrita da seguinte forma:

$\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}{a}_n=a_1+a_2+a_3+\dots +a_n+\dots$

Observemos que $n$, como termo livre, pode assumir o valor que arbitremos, o que fornece um valor da série para cada valor inteiro que arbitremos. Assim, se tivermos um valor de série para cada $n$, temos uma nova seqUência gerada pela série.

Seqüência das somas parciais

Seja $\sum a_n$ uma série. Chamamos de seqüência das somas parciais a seqüência $S_n$, onde

$S_1=a_1$

$S_2=a_1+a_2=S_1+a_2$

$S_3=a_1+a_2+a_3=S_2+a_3$

$⋮$

$S_n=a_1+a_2+\dots +a_n=S_{n-1}+a_n$

Série convergente

Definição: Seja $\sum a_n$ uma série e $S_n$ a sua seqüência de somas parciais.

• Se $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{S}_n=S,|S|$ < $\mathrm{\infty }$, a série é dita convergente e tem soma $S$;
• Caso contrário, a série diverge

Note que esta constatação não é tão clara para muitas das séries. Para estas, temos que recorrer a diversos recursos de análise matemática, dentre os mais conhecidos temos a indução.

Critério do termo geral

Se $\sum a_n$ é uma série convergente, então $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n=0$

Teste da divergência

Se $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n\ne 0$, então a série $\sum a_n$ diverge.

Séries geométricas

São séries do tipo $\sum a\cdot r^{n-1}$.

A série geométrica:

• Converge se e só se $a=0$ ou $|r|<1$.
• Se $a=0$, então $\sum a\cdot r^{n-1}=0$ (independentemente do valor de $r$). Se $|r|<1$, então $\sum a\cdot r^{n-1}=\frac{a}{1-r}$.

A prova é feita por indução. Façamos um ensaio parcial da série, definindo as parcelas algebricamente:

$S_n=a+ar+a{r}^2+\cdots +a{r}^{n-1}$

Se multiplicarmos a equação por $r$:

$r{S}_n=ar+a{r}^2+\cdots +a{r}^{n-1}+a{r}^n$

Subtraímos as duas equações acima e obtemos:

$(1-r)S_n=a(1-r^n)$

Finalmente, temos $r^n=0$ se $|r|<1$ e $li{m}_{n\to \mathrm{\infty }}{S}_n$. O que nos revela que a série converge para:

$S_n=\frac{a}{1-r}$

Propriedades de séries

• Sejam $\sum a_n$ e $\sum b_n$ duas séries convergentes. Então $\sum (a_n\pm b_n)$ = $\sum a_n\pm \sum b_n$ converge
• Se $\sum a_n$ converge (diverge) e $k=0$, então $\sum k\cdot a_n=k\sum a_n$ converge (respectivamente, diverge) (se $k=0$, então $\sum k\cdot a_n=0$ converge)
• Se $\sum a_n$ converge e $\sum b_n$ diverge, então $\sum (a_n\pm b_n)$ diverge
• Sejam as séries $\sum a_n$ e $\sum b_k$ tais que $b_k=a_n$ a partir de algum n. Então ambas as séries têm o mesmo comportamento.