Cálculo (Volume 3)/Seqüências numéricas infinitas

Wikiversidade - Disciplina: Cálculo IV

Definição: Uma seqüência (em Portugal diz-se sucessão) é uma função onde o domínio é ${\mathbb{Z}}_{+}^{*}$ e cuja imagem é $ℝ$ ou $\mathbb{Z}$. $f:{\mathbb{Z}}_{+}^{*}\to ℝ$

É uma lista de elementos, ou seja, um conjunto ordenado de maneira que cada elemento fica naturalmente seqüenciado. Uma seqüência é uma função com domínio igual ao conjunto dos números inteiros positivos (ou, o que é o mesmo, o conjunto dos números naturais não-nulos).

A seqüência dos inteiros positivos é: 1, 2, 3, ..., n - 1, n, n + 1, ... Cada número é um termo, com n sendo o enésimo termo. Denota-se a seqüência por: {a_n}; assim sendo, na lista de inteiros positivos acima, a₁ é 1, a₃₁₇ é 317, e a_n é n.

A seqüência também é indicada por: a₀, a₁, a₂, ..., a_n, ... Os termos da seqüência fazem parte de um conjunto comumente indicado por S; Eles são uma seqüência em S.

Uma seqüência pode ter um número finito ou infinito de termos; portanto, pode ser uma seqüência finita ou uma seqüência infinita. Obviamente, é impossível enumerar ou explicitar todos os termos de uma seqüência infinita. seqüências infinitas são dadas listando-se seus primeiros termos e colocando um sinal de reticências donde, com costumeira sorte, se depreende a regra formadora do restante da seqüência.

Formalmente, uma seqüência pode ser definida como uma função de $\mathbb{N}$ (o conjunto dos números naturais) em S.

Se S for o conjunto dos inteiros, então trata-se de uma seqüência inteira. Se for um conjunto de polinômios, então é uma seqüência polinomial.

Uma subseqüência de uma seqüência S é formada removendo-se alguns elementos de S sem mudar a posição relativa dos elementos restantes.

Alternativamente, pode-se definir uma seqüência de modo recursivo. Consiste em se definir alguns termos iniciais e, a partir daí, atribui-se uma regra que a cada novo termo depende de um ou mais termos antecedentes. Talvez o exemplo mais famoso seja o da seqüência de Fibonacci.

A soma de uma seqüência é chamada de série matemática. Por exemplo:

$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\cdots +\frac{1}{2^{n-1}}=\frac{2^n-1}{2^{n-1}}$

Notações:

  1 $(a_1,a_2,\dots ,a_n,\dots )$
  2 $a_1,a_2,a_3,\dots$
  3 $f(n)=f(1),f(2),f(3),\dots ,f(n),\dots$
  4 $f(n)=a_n{a}_n=a_1,a_2,\dots ,a_n,\dots$

OBS.: Utilizaremos mais a notação 4

OBS.: Estudaremos apenas seqüências que obedecem a uma lei de formação

Representação

Para se representar uma sequência, colocam-se os membros entre parênteses, seraparados por vírgulas (quando há números decimais na sequência, usa-se o ponto-e-vírgula). Exemplos:

$P.a.(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,...)$

$P.g.(1;0,5;0,25;0,125;0,0625;0,03125;0,015625;...)$

Fórmula do termo geral

Uma progressão aritmética.

Por vezes, uma sequência possui um padrão que permite criar uma fórmula do termo geral. É uma equação fundamental que determina os termos da sequência.

Em uma progressão aritmética, por exemplo, a fórmula do termo geral é:

$a_n=a_1+(n-1).r$

Limite de uma seqüência

Definição: Dada uma seqüência $a_n$, dizemos que o número $L\in ℝ$ é o limite de $a_n$ para $n\to +\mathrm{\infty }$ se, $\mathrm{\forall }\epsilon$ > 0, $\mathrm{\exists }N$ tal que $n\ge N\Rightarrow |a_n-L|$ < $ϵ$.

Definição: Se a seqüência $a_n$ tem limite L, dizemos que ela é convergente e que converge a L. Caso contrário, dizemos que ela diverge.

Propriedades de seqüências

Sejam $\{a_n\},\{b_n\}$ duas seqüências convergentes, isto é, $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n=A$ e $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{b}_n=B$. Então:

• $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(a_n\pm b_n)=A+B$
• $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }k\cdot (a_n)=k\cdot A$
• $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(a_n\cdot b_n)=A\cdot B$
• $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{a_n}{b_n}=\frac{A}{B},B\ne 0$

Subseqüências

Definição: Dada uma seqüência $f:{\mathbb{Z}}_{+}^{*}\to ℝ$, as restrições de $f$ a subconjuntos de ${\mathbb{Z}}_{+}^{*}$ serão denominadas subseqüências de $f$.

Teorema: Se $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n=L$, então toda subseqüência de $\{a_n\}$ converge para o mesmo limite L.

Teorema: Dada a seqüência $\{a_n\}$, se as subseqüências de ordem par e as subseqüências de ordem ímpar convergem para o mesmo valor L, então $\{a_n\}$ converge também para L.

Definição: Dada uma seqüência $a_n$, temos que:

• l é chamada de cota inferior se $l\le a_n,\mathrm{\forall }n$
• L é chamada de cota superior se $L\ge a_n,\mathrm{\forall }n$
• $a_n$ é dita limitada se possui cota inferior e cota superior

Observações:

• Se $\{a_n\}$ é uma seqüência crescente ($a_1\le a_2\le a_3\le \dots$), então $a_1$ é uma cota inferior
• Se $\{a_n\}$ é uma seqüência decrescente ($a_1\ge a_2\ge a_3\ge \dots$), então $a_1$ é uma cota superior
• Se $\{a_n\}$ é uma seqüência decrescente e seus termos são positivos ($a_n$ > $0$), então $a_n$ é limitada, $0\le a_n\le a_1$

Teorema: Toda seqüência monótona e limitada é convergente.

Seqüências monótonas e limitadas

Definição: Seja $\{a_n\}$ uma seqüência monótona:

• crescente, se $a_n\le a_{n+1}$
• decrescentes, se $a_n\ge a_{n+1}$