Geometria Euclidiana Plana/Axiomas de Incidência

Geometria Axiomática

• 1.1 Axioma do Ponto e Reta: Ao dizer que um ponto pertence a uma reta, a existência desse ponto na reta é unívoca, ou seja, o ponto não pode estar fora da reta ou em dois lugares na reta ou em outra reta(a não ser se estiver na intersecção), uma vez que pertence a reta.
  • Ex.: Dado A um ponto e r uma reta, se $A\in r$ , então é absurdo dizer que $A\in ̸r$ e se $A\in ̸r$ , então é absurdo dizer que $A\in r$.

• 1.2 Axioma do Ponto e Plano: Ao dizer que um ponto pertence a um plano, a existência desse ponto no plano é unívoca, ou seja, o ponto não pode estar em dois lugares no plano ou em outro plano(a não ser na intersecção) e nem fora desse plano, uma vez que pertence ao plano.
  • Ex.: Dado A um ponto e $\alpha$ um plano, se $A\in \alpha$ , então é absurdo dizer que $A\in ̸\alpha$ e se $A\in ̸\alpha$ , então é absurdo dizer que $A\in \alpha$.

• 1.3 Axioma de dois pontos distintos de uma reta: Ao dizer que existem dois pontos pertencente a uma reta, a existência desses pontos na reta é unívoca: ou são o mesmo ponto ou são distintos.
  • Ex: Dado $A\ne B\in r$, então é absurdo dizer que $A=B$ e se $A=B\in r$ , então é absurdo dizer que $A\ne B\in r$.

Axiomas de Incidência

• 2.1 Axioma de Incidência I: Dados dois pontos distintos, existe uma única reta que os contém.
  • Ex.: Dados $A\ne B\in \alpha$ então existe uma única $r\in \alpha$ tal que $A,B\in \alpha$.

• Definição: Uma reta que passa por dois pontos distintos pode ser definida por eles, sejam A e B esses pontos e r a reta, logo $r=\overleftrightarrow{AB}$
• 2.2 Axioma de Incidência II: Dado uma reta r, existe um ponto que pertence a reta r e um ponto que não pertence a reta r