Análise real/Conjunto de Funções

Conjunto de Funções

Dados dois conjuntos A e B, denotamos por F(A;B) o conjunto de todas as funções $f:A\mapsto B$.

Família de Funções

Sejam I e C conjuntos não vazios. Uma família $(A_i{)}_{i\in I}$ de elementos de C é uma função $A:I\mapsto C$ para a qual denotamos por $A_i$ (em vez de $A(i)$) a imagem de i por A. Dizemos que a família está indexada pelo índice $i\in I$, que I é o conjunto de índices e que $A_i$ é o i-ésimo elemento (ou membro) da família. Quando I é o conjunto dos números naturais substituímos a palavra família por sequência.

Os gramáticos que nos perdoem, mas usamos o sufixo “ésimo” em i-ésimo mesmo quando i não é um número cardinal.

Observe que na notação $(A_i{)}_{i\in I}$ não aparece o contradomínio C da função. Por isto, ao introduzirmos uma família, é obrigatório dizer que tipo de objetos constituem o seu contradomínio. Por exemplo, uma família de pessoas é uma função cujo contradomínio é um conjunto de pessoas. Da mesma forma, uma família de macacos é uma função cujo contradomínio é um conjunto de macacos (agora são os biólogos que hão de nos perdoar).

Como dito anteriormente, o uso mais frequente do termo família é quando o contradomínio é uma coleção de conjuntos. Trata-se, então, de uma família de conjuntos. Neste caso, existem notações especiais para a união e a interseção da coleção. Se $(A_i{)}_{i\in I}$ é uma família de conjuntos, então a união e a interseção da família são definidas, respectivamente, por $\bigcup _{i\in I}{A}_i=\{x;\mathrm{\exists }i\in I,\text{ tal que }x\in A_i\}$ e $\bigcap _{i\in I}{A}_i=\{x;x\in A_i\mathrm{\forall }i\in I\}$

Exemplo. Sejam $A_i=(i,i+1)\text{ e }{A}_i=(-i^2-1,i^2)$. Então: $\bigcup _{i\in \mathbb{Q}}{A}_i=ℝ,\bigcap _{i\in \mathbb{Q}}{B}_i=(-1,0),\bigcap _{i\in \mathbb{Q}}{A}_i=\varnothing ,\bigcup _{i\in \mathbb{Q}}{B}_i=ℝ,\bigcup _{i\in \mathbb{Z}}{A}_i=ℝ-\mathbb{Z}$.

Se I é o conjunto dos números inteiros de m até n, então também é usual escrever $\bigcup _{i=m}^n{A}_i=A_m\cup ...\cup A_n\text{ e }\bigcap _{i=m}^n{A}_i=A_m\cap ...\cap A_n$.

Se I é o conjunto de todos os inteiros positivos, então as notações usuais são $\bigcup _{i=m}^{\mathrm{\infty }}{A}_i=\bigcup _{i\in \mathbb{N}}{A}_i=A_1\cup A_2\cup ...\text{ e }\bigcap _{i=m}^{\mathrm{\infty }}{A}_i=\bigcap _{i\in \mathbb{N}}{A}_i=A_1\cap A_2\cap ...$.

O símbolo $\mathrm{\infty }$ (infinito) que aparece nas notações anteriores não é um número. Ele é apenas um símbolo tipográfico cujo papel é dizer que tanto a união quanto a interseção da família $(A_i{)}_{i\in I}$ são tomadas para todo $i\in \{1,2,3,...\}$. Este mesmo símbolo aparecerá em várias notações ao longo do texto sendo que em cada uma delas seu papel será diferente.

Porém, sempre devemos ter em mente que infinito não é número!

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