Notas de Mecânica/Movimento em duas e três dimensões

Redefinição das grandezas cinemáticas

Posição

Em 2D:

$\overrightarrow{r}=x\hat{i}+y\hat{j}$

Em 3D:

$\overrightarrow{r}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}$

Deslocamento

Em 2D:

${\overrightarrow{r}}_i=x_i\hat{i}+y_i\hat{j}$

${\overrightarrow{r}}_f=x_f\hat{i}+y_f\hat{j}$

$\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}={\overrightarrow{r}}_f-{\overrightarrow{r}}_i$

$\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}=(x_f\hat{i}+y_f\hat{j})-(x_i\hat{i}+y_i\hat{j})$

$\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}=(x_f-x_i)\hat{i}+(y_f-y_i)\hat{j}$

$\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}=\mathrm{\Delta }x\hat{i}+\mathrm{\Delta }y\hat{j}$

Em 3D :

${\overrightarrow{r}}_i=x_i\hat{i}+y_i\hat{j}+z_i\hat{k}$

${\overrightarrow{r}}_f=x_f\hat{i}+y_f\hat{j}+z_f\hat{k}$

$\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}={\overrightarrow{r}}_f-{\overrightarrow{r}}_i$

$\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}=(x_f\hat{i}+y_f\hat{j}+z_f\hat{k})-(x_i\hat{i}+y_i\hat{j}+z_i\hat{k})$

$\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}=(x_f-x_i)\hat{i}+(y_f-y_i)\hat{j}+(z_f-z_i)\hat{k}$

$\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}=\mathrm{\Delta }x\hat{i}+\mathrm{\Delta }y\hat{j}+\mathrm{\Delta }z\hat{k}$

Velocidade

${\overrightarrow{v}}_{med}=\frac{\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}}{\mathrm{\Delta }t}$

em 2D:

${\overrightarrow{v}}_{med}=\frac{\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}}{\mathrm{\Delta }t}=\frac{\mathrm{\Delta }x\hat{i}+\mathrm{\Delta }y\hat{j}}{\mathrm{\Delta }t}$

${\overrightarrow{v}}_{med}=\frac{\mathrm{\Delta }x}{\mathrm{\Delta }t}\hat{i}+\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }t}\hat{j}$

${\overrightarrow{v}}_{med}=v_{med,x}\hat{i}+v_{med,y}\hat{j}$

$\overrightarrow{v}=\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}}{\mathrm{\Delta }t}$

$\overrightarrow{v}=\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{\Delta }x}{\mathrm{\Delta }t}\hat{i}+\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }t}\hat{j}$

$\overrightarrow{v}=v_x\hat{i}+v_y\hat{j}$

em 3D:

${\overrightarrow{v}}_{med}=\frac{\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}}{\mathrm{\Delta }t}=\frac{\mathrm{\Delta }x\hat{i}+\mathrm{\Delta }y\hat{j}+\mathrm{\Delta }z\hat{k}}{\mathrm{\Delta }t}$

${\overrightarrow{v}}_{med}=\frac{\mathrm{\Delta }x}{\mathrm{\Delta }t}\hat{i}+\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }t}\hat{j}+\frac{\mathrm{\Delta }z}{\mathrm{\Delta }t}\hat{k}$

${\overrightarrow{v}}_{med}=v_{med,x}\hat{i}+v_{med,y}\hat{j}+v_{med,z}\hat{k}$

$\overrightarrow{v}=\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}}{\mathrm{\Delta }t}$

$\overrightarrow{v}=\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{\Delta }x}{\mathrm{\Delta }t}\hat{i}+\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }t}\hat{j}+\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{\Delta }z}{\mathrm{\Delta }t}\hat{k}$

$\overrightarrow{v}=v_x\hat{i}+v_y\hat{j}+v_z\hat{k}$

Aceleração

${\overrightarrow{a}}_{med}=\frac{\mathrm{\Delta }\overrightarrow{v}}{\mathrm{\Delta }t}$

em 2D:

${\overrightarrow{a}}_{med}=\frac{\mathrm{\Delta }\overrightarrow{v}}{\mathrm{\Delta }t}=\frac{\mathrm{\Delta }{v}_x\hat{i}+\mathrm{\Delta }{v}_y\hat{j}}{\mathrm{\Delta }t}$

${\overrightarrow{a}}_{med}=\frac{\mathrm{\Delta }{v}_x}{\mathrm{\Delta }t}\hat{i}+\frac{\mathrm{\Delta }{v}_y}{\mathrm{\Delta }t}\hat{j}$

${\overrightarrow{a}}_{med}=a_{med,x}\hat{i}+a_{med,y}\hat{j}$

$\overrightarrow{a}=\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{\Delta }\overrightarrow{v}}{\mathrm{\Delta }t}$

$\overrightarrow{a}=\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{\Delta }{v}_x}{\mathrm{\Delta }t}\hat{i}+\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{\Delta }{v}_y}{\mathrm{\Delta }t}\hat{j}$

$\overrightarrow{a}=a_x\hat{i}+a_y\hat{j}$

em 3D:

${\overrightarrow{a}}_{med}=\frac{\mathrm{\Delta }\overrightarrow{v}}{\mathrm{\Delta }t}=\frac{\mathrm{\Delta }{v}_x\hat{i}+\mathrm{\Delta }{v}_y\hat{j}+\mathrm{\Delta }{v}_z\hat{k}}{\mathrm{\Delta }t}$

${\overrightarrow{a}}_{med}=\frac{\mathrm{\Delta }{v}_x}{\mathrm{\Delta }t}\hat{i}+\frac{\mathrm{\Delta }{v}_y}{\mathrm{\Delta }t}\hat{j}+\frac{\mathrm{\Delta }{v}_z}{\mathrm{\Delta }t}\hat{k}$

${\overrightarrow{a}}_{med}=a_{med,x}\hat{i}+a_{med,y}\hat{j}+a_{med,z}\hat{k}$

$\overrightarrow{a}=\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{\Delta }\overrightarrow{v}}{\mathrm{\Delta }t}$

$\overrightarrow{a}=\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{\Delta }{v}_x}{\mathrm{\Delta }t}\hat{i}+\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{\Delta }{v}_y}{\mathrm{\Delta }t}\hat{j}+\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{\Delta }{v}_z}{\mathrm{\Delta }t}\hat{k}$

$\overrightarrow{a}=a_x\hat{i}+a_y\hat{j}+a_z\hat{k}$

Princípio da Independência dos Movimentos (Galileu)

Consideremos um bloco deslizando sobre um plano inclinado de maneira que sua aceleração é constante. Admitamos que em $t=0$ seu vetor velocidade inicial seja ${\overrightarrow{v}}_0$ .

Se orientarmos nosso eixo coordenado da maneira indicada na figura podemos usar tudo que vimos anteriormente sobre movimentos unidimensionais com aceleração constante. Isto é as equações que descrevem o movimento serão :

$Y=Y_0$ (a coordenada Y não varia )

$X=X_0+v_{0}t+\frac{a{t}^2}{2}$

$v=v_0+at$

Contudo não necessariamente precisamos usar o sistema $XY$ de eixos coordenados, poderiamos, por exemplo usar o sistema coordenado $xy$ mostrado na figura abaixo para descrever o mesmo movimento.

(vai a figura aqui)

A natureza física do problema não irá mudar pelo fato de termos mudado a orientação dos eixos coordenados para analisar o movimento ou seja, se em $XY$ tinhamos um movimento com aceleração constante em $xy$ também teremos. Contudo agora teremos que nos valer da descrição bidimensional do movimento, desta forma teremos as seguintes equações vetoriais para descrever o movimento:

$\overrightarrow{r}={\overrightarrow{r}}_0+{\overrightarrow{v}}_{0}t+\frac{\overrightarrow{a}{t}^2}{2}$

e

$\overrightarrow{v}={\overrightarrow{v}}_0+\overrightarrow{a}t$

Por termos um problema bidimensional (em $xy$) teremos as grandezas:

$\overrightarrow{r}=x\hat{i}+y\hat{j}$

${\overrightarrow{r}}_0=x_0\hat{i}+y_0\hat{j}$

${\overrightarrow{v}}_0=v_{0,x}\hat{i}+v_{0,y}\hat{j}$

$\overrightarrow{v}=v_x\hat{i}+v_y\hat{j}$

$\overrightarrow{a}=a_x\hat{i}+a_y\hat{j}$

Desta maneira teremos:

$\overrightarrow{r}={\overrightarrow{r}}_0+{\overrightarrow{v}}_{0}t+\frac{\overrightarrow{a}{t}^2}{2}$

$x\hat{i}+y\hat{j}=x_0\hat{i}+y_0\hat{j}+(v_{0,x}\hat{i}+v_{0,y}\hat{j})t+\frac{(a_x\hat{i}+a_y\hat{j})t^2}{2}$

$x\hat{i}+y\hat{j}=x_0\hat{i}+v_{0,x}t\hat{i}+\frac{a_x{t}^2}{2}\hat{i}+y_0\hat{j}+v_{0,y}t\hat{j}+\frac{a_y{t}^2}{2}\hat{j}$

$x\hat{i}+y\hat{j}=(x_0+v_{0,x}t+\frac{a_x{t}^2}{2})\hat{i}+(y_0+v_{0,y}+\frac{a_y{t}^2}{2})\hat{j}$

Logo :

$x=x_0+v_{0,x}t+\frac{a_x{t}^2}{2}$

$y=y_0+v_{0,y}t+\frac{a_y{t}^2}{2}$

da mesma forma para:

$\overrightarrow{v}={\overrightarrow{v}}_0+\overrightarrow{a}t$

teremos:

$v_x\hat{i}+v_y\hat{j}=v_{0,x}\hat{i}+v_{0,y}\hat{j}+(a_x\hat{i}+a_y\hat{j})t$

$v_x\hat{i}+v_y\hat{j}=v_{0,x}\hat{i}+a_{x}t\hat{i}+v_{0,y}\hat{j}+a_y\hat{j}t$

$v_x\hat{i}+v_y\hat{j}=(v_{0,x}+a_{x}t)\hat{i}+(v_{0,y}+a_{y}t)\hat{j}$

Logo:

$v_x=v_{0,x}+a_{x}t$

$v_y=v_{0,y}+a_{y}t$

Podemos generalizar para o caso em 3D:

$\overrightarrow{r}={\overrightarrow{r}}_0+{\overrightarrow{v}}_{0}t+\frac{\overrightarrow{a}{t}^2}{2}\Rightarrow \{\begin{array}{c}x=x_0+v_{0,x}t+\frac{a_x{t}^2}{2}\\ \\ y=y_0+v_{0,y}+\frac{a_y{t}^2}{2}\\ \\ z=z_0+v_{0,z}t+\frac{a_z{t}^2}{2}\end{array}$

e

$\overrightarrow{v}={\overrightarrow{v}}_0+\overrightarrow{a}t\Rightarrow \{\begin{array}{c}{v}_x=v_{0,x}+a_{x}t\\ \\ v_y=v_{0,y}+a_{y}t\\ \\ v_z=v_{0,z}+a_{z}t\end{array}$

Movimento Balístico

$\overrightarrow{a}=0\hat{i}+(-g)\hat{j}$

ONDE $g=9,8m/s^2$

$x=x_0+v_{0,x}t$ (1)

$y=y_0+v_{0,y}t-\frac{g{t}^2}{2}$

$v_x=v_{0,x}$

$v_y=v_{0,y}-gt$

onde:

$v_{0,y}=v_0\sin \theta$

$v_{0,x}=v_0\cos \theta$

Definimos como alcance $A$ do projétil o seu deslocamento na direção $x$, ou seja  :

$A=x_f-x_i$

e desta forma pela equação (1) temos:

$A=v_{0,x}{t}_v$

onde chamamos $t_v$ o tempo de voo da partícula ou seja o tempo que ela permanece em movimento no ar.

Equação da trajetória

$x=x_0+v_{0,x}t$

Isolando o tempo:

$t=\frac{x-x_0}{v_{0,x}}$

$t=\frac{x-x_0}{v_0\cos \theta }$

substituindo em :

$y=y_0+v_{0,y}t-\frac{g{t}^2}{2}$

$y=y_0+v_0\sin \theta t-\frac{g{t}^2}{2}$

temos:

$y=y_0+v_0\sin \theta \left(\frac{x-x_0}{v_0\cos \theta }\right)-\frac{g{\left(\frac{x-x_0}{v_0\cos \theta }\right)}^2}{2}$

$y=y_0+\tan \theta \left(x-x_0\right)-\frac{g}{{(2v_0\cos \theta )}^2}{(x-x_0)}^2$

UM CASO PARTICULAR: Lançamento num plano horizontal

Usando o sistema de eixos coordenados indicados na figura temos:

$x_0=0$

$y_0=0$

$y_f=0$

Nosso alcance será então $x_f=A$

Pelas equações anteriores:

$A=v_0\cos \theta t_v$

o tempo que o projétil permanece em movimento podemos calcular pela equação em $y$ , desta forma:

$y=y_0+v_0\sin \theta t-\frac{g{t}^2}{2}$

$0=0+v_0\sin \theta t_v-\frac{g{t}_v^2}{2}$

$\frac{g{t_v}^2}{2}=v_0\sin \theta t_v$

$\frac{g{t}_v}{2}=v_0\sin \theta$

$t_v=\frac{2v_0}{g}\sin \theta$

Substituindo na equação em $x$ teremos:

$A=v_0\cos \theta (\frac{2v_0}{g}\sin \theta )$

$A=\frac{v_0^2}{g}(2\sin \theta \cos \theta )$

Usando a identidade trigométrica:

$\sin (\alpha +\beta )=\sin (\alpha )\cos (\beta )+\cos (\alpha )\sin (\beta )$

No caso particular se $\alpha =\beta$ :

$\sin (\beta \pm \beta )=\sin (\beta )\cos (\beta )\pm \cos (\beta )\sin (\beta )$

$\sin (2\beta )=2\sin (\beta )\cos (\beta )$

Desta forma usando na equação para o alcance:

$A=\frac{v_0^2}{g}\sin (2\theta )$

Predefinição:AutoCat