Álgebra linear/Polinômios

Álgebra linear

Seja A, uma álgebra linear sobre o corpo K, então A é um espaço vetorial com uma operação extra, que é multiplicação de vetores, que onde dois vetores u, v de A são levados ao vetor uv de A, que é o produto dos vetores u e v. As propriedades desse produto são:

• multiplicação é associativa: u(vw) = (uv)w.
• multiplicação é distributiva em relação à adição: u(v + w) = uv + uw(à esquerda) e (u + v)w = uw + vw(à direita).
• multiplicação por escalar: k(uv) = (ku)v = u(kv).

Extensões de uma álgebra linear

• com elemento unidade: se existir um elemento i em A, tal que iu = ui = u, para todo u em A
• comutativa: se uv = vu para todo u,v em A

Álgebra dos polinômios

Seja P[x] o espaço dos polinômios finitos, gerados pelos vetores $1,x,x^2,...,x^n$, pata algum n inteiro qualquer. P[x] é um polinômio sobre o corpo K.

• Definição da elemento de P[x].
  • $p(x)=c_0{x}^0+c_1{x}^1+...+c_n{x}^n+0x^{n+1}+0x^{n+2}+...=c_0+c_{1}x+...+c_n{x}^n,$ onde $c_k=0,\mathrm{\forall }k>n$.

• grau de p(x) em P[x]:
  • $gr(p)=n$, usando o p definido acima.

• coeficientes de p(x):
  • $c_0,c_1,...,c_n$ são chamados os coeficientes do polinômio p(x).

• polinômio nulo:
  • $p(x)=0$.

• polinômio não-nulo:
  • $p(x)=0$.

• polinômio unitário:
  • Se $gr(p)=n,c_n=1$, então p(x) é unitário.

Teoremas

Propriedade do Grau do produto de polinômios

Sejam p, q em P[x]-{0} sobre K. Então:

• pq é um polinômio não-nulo.
• gr(pq)=gr(p)+gr(q).
• se p,q são unitários, então pq é unitário.
• pq é polinômio constante $\iff$ pq são polinômios constantes.

Ideais de polinômios

Lema

Sejam p,q em P[x]-{0} sobre K, onde $gr(q)\le gr(p)$. Logo existe r em P[x] tal que p-qr=0 ou gr(p-qr)<gr(p).