Matemática elementar/Função afim

Predefinição:TOC-direita Funções afim são as funções com domínio real e contradomínio real do tipo $f:ℝ\to ℝ;x\to f(x)=ax+b$, sendo que a e b são constantes. É uma função de primeiro grau, pois sobre a variável há o expoente 1 (implícito). Observe o exemplo abaixo: Predefinição:Ênfase Este exemplo pode ser resolvido por uma regra de três simples:

$\frac{1}{x}=\frac{4}{14}$

E facilmente descobre-se que o tempo necessário é igual a 3 horas e 30 minutos. Neste exemplo, observa-se que a produção está em função das horas, sendo que o tempo é proporcional à produção de sapatos. Assim, observa-se uma progressão aritmética de razão 4:

$\begin{array}{cc}\mathrm{h}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{s}& \mathrm{s}\mathrm{a}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{s}\\ 0& 0\\ 1& 4\\ 2& 8\\ 3& 12\end{array}$

A mesma pode ser representada em um gráfico no primeiro quadrante:

$\begin{array}{cccccc}y& & & & & \\ 14& & & & \bullet & & \\ 12& & & \bullet & & & \\ 8& & \bullet & & & & \\ 4& \bullet & & & & & \\ & 1& 2& 3& 4& x\end{array}$

Quando estes pontos são ligados, eles originam uma reta. A função da reta é bijetora e consequentemente é ímpar. Isto significa que para cada valor x haverá um valor y.

Classificação

A equação pode estar em duas formas:

• Reduzida - Apresenta-se na forma ax + b = y (o coeficiente de y é 1);
• Desenvolvida - Apresenta-se na forma ax + by + c = 0.

Deve-se observar que é possível toda equação desenvolvida tornar-se uma equação reduzida. Predefinição:Ênfase

A reta é classificada em:

• Crescente - os valores de y são proporcionais aos valores de x. Neste caso, a reta direciona-se do terceiro ao primeiro quadrante, e o coeficiente de x na equação reduzida é positivo;
• Decrescente - os valores de y são inversamente proporcionais aos valores de x. Desta forma, a reta direciona-se do quarto ao segundo quadrante, e o coeficiente de x na equação reduzida é negativo;
• Constante - o valor de y independe do valor de x. Assim, a reta direciona-se do quarto ao primeiro quadrante, ou do terceiro ao segundo quadrante. A reta pode, também, pertencer ao eixo das abcissas. Com a função constante, o coeficiente de x na equação reduzida é zero.

Exemplo de reta crescente.

Exemplo de reta decrescente.

Exemplo de reta constante.

Características

Coeficientes

Sendo a expressão geral f(x) = ax + b, dizemos que a é o coeficiente angular, e b o coeficiente linear.

O coeficiente angular, como se descreve, determina o ângulo entre a reta e o eixo das abcissas (α):

$a=\tan \alpha$

Já o coeficiente linear é o ponto em y em que a reta intercepta o eixo das ordenadas. Predefinição:Ênfase

Reta dados dois pontos

Dados dois pontos quaisquer, há apenas uma função afim que passa por estes. Sendo (x₁; y₁) e (x₂; y₂) estes pontos, esta função pode ser determinada por um sistema de equações ou pelo determinante de uma matriz:

$f(x)=\{\begin{array}{c}a{x}_1+b=y_1\\ a{x}_2+b=y_2\end{array}$

$f(x)=\det \left|\begin{array}{ccc}{x}_1& y_1& 1\\ x_2& y_2& 1\\ x& y& 1\end{array}\right|$

$f(x)=\{\begin{array}{c}-a+b=0\\ 2a+b=3\end{array}$

$f(x)=\det \left|\begin{array}{ccc}-1& 0& 1\\ 2& 3& 1\\ x& y& 1\end{array}\right|$

Independentemente da forma em que for calculado, o resultado é a função x + 1 = y.

Raiz

Toda função afim tem uma raiz (zero) real. A raiz é obtida quando f(x) = 0. Para uma função afim qualquer, sua raiz x é o ponto (x, 0) do plano cartesiano, ou seja, o ponto x em que a reta cruza o eixo das abcissas. Exemplo:

• Iguala-se f(x) a zero:

$0=2x+4$

• Então:

$2x=-4\to x=-2$

Assim, a raiz de f(x) = 2x + 4 é -2.