Mecânica dos fluidos/Exercícios resolvidos/E7

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Enunciado

Deduzir a fórmula para a tensão nas paredes de um tubo onde ocorre escoamento turbulento com Número de Reynolds até 100000.

Solução

Neste caso, precisamos de uma fórmula para o fator de atrito, não sendo possível usar o Diagrama de Moody. Como N_Re ≤ 100000, podemos usar a fórmula de Blasius:

$N_f^{}=0.316N_{Re}^{-0.25}$

Como

$\mathrm{\Delta }H=\frac{\mathrm{\Delta }p}{{\rho }_0}\Rightarrow \mathrm{\Delta }p={\rho }_0\mathrm{\Delta }H=-{\rho }_0\frac{1}{2}{N}_f\frac{L}{D}{\overline{v}}^2$

$\mathrm{\Delta }p=-{\rho }_0\frac{1}{2}\cdot 0.316N_{Re}^{-0.25}\cdot \frac{L}{D}{\overline{v}}^2=-0.158{\rho }_0\frac{L}{D}{N}_{Re}^{-0.25}{\overline{v}}^2$

Assim, podemos escrever

$p=p(0)+\mathrm{\Delta }p(z)=p(0)-0.158{\rho }_0\frac{z}{D}{N}_{Re}^{-0.25}{\overline{v}}^2$

Mas a tensão na parede é dada por

${\tau }_w=-{{\tau }_{rz}|}_{r=R}$

o sinal negativo se justifica porque a tensão na parede tem a mesma intensidade e sentido contrário da tensão no fluido. Em um exercício resolvido, encontramos a fórmula para a tensão cisalhante em fluxo laminar

${\tau }_{rz}=\frac{r}{2}\frac{\partial p}{\partial z}$

Assim,

${\tau }_w=-\frac{R}{2}\frac{\partial p}{\partial z}=-\frac{D}{4}\frac{\partial }{\partial z}(p(0)-0.158{\rho }_0\frac{z}{D}{N}_{Re}^{-0.25}{\overline{v}}^2)$

${\tau }_w=\frac{D}{4}(0.158{\rho }_0\frac{1}{D}{N}_{Re}^{-0.25}{\overline{v}}^2)=0.0395{\rho }_0{N}_{Re}^{-0.25}{\overline{v}}^2$

Como sabemos, a teoria e a evidência experimental apontam para um escoamento nas paredes muito próximo ao laminar. Assim, a fórmula acima valeria também para o caso de escoamento turbulento examinado. Na prática, a expressão que se usa é ligeiramente diferente

${\tau }_w=0.0332{\rho }_0{N}_{Re}^{-0.25}{\overline{v}}^2$

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