Otimização/Conjuntos convexos

Intersecção de conjuntos convexos é convexo

Sejam $D_j\subset {ℝ}^n,j\in I_n,$ conjuntos convexos, onde $I_n=\{k\in \mathbb{N}/1\le k\le n,n\in \mathbb{N}\}$

Seja $D={\cap }_{j\in I_n}{D}_j$. Para quaisquer $x,y\in D$ temos que $x,y\in D_j$ para qualquer $j\in I_n$.

Como todo $D_j$ é convexo, para quaisquer $j\in I_n$ e $\lambda \in [0,1]$, $\lambda x+(1-\lambda )y\in D_j⟹\lambda x+(1-\lambda )y\in D$

A soma de convexos fechados é convexo e fechado

Sejam $D_j\subset {ℝ}^n,j=1,2$, conjuntos convexos e fechados. Um deles é limitado.

Teorema da combinação convexa

Um conjunto $D\in {ℝ}^n$ é convexo se, e somente se, a combinação convexa $\sum _{i=1}^p{\alpha }_i{x}_i\in D$, $\mathrm{\forall }p\in \mathbb{N},x^i\in D\wedge {\alpha }_i\in [0,1],i=1,...,p;\sum _{i=1}^p{\alpha }_i=1$,

Desigualdade de Jensen

Sejam $D\subset {ℝ}^n$ um conjunto convexo e $f:D\to ℝ$ uma função convexa, $\mathrm{\forall }p\in \mathbb{N},x^i\in D\wedge {\alpha }_i\in {ℝ}_{+},i=1,...,p;\sum _{i=1}^p{\alpha }_i=1$

Teorema de Carathéodory

Seja $x\in {ℝ}^n$ uma combinação convexa de pontos do conjunto $D\subset {ℝ}^n$.

Fecho convexo

Corolário de um fecho convexo

Se $D\subset {ℝ}^n$

Corolário da compacidade do conv D

Seja $D\subset {ℝ}^n$ compacto