Otimização/Situação inicial

Fonte: testwiki
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Embora se possa trabalhar com mínimos e máximos, ao longo dos próximos capítulos só trabalharemos com mínimos, pois achar o máximo de uma função f é equivalente a achar o mínimo da função −f.

Mínimo global

Sejam D⊂ℝn e f:D→ℝ. Para encontrarmos o mínimo global, devemos encontrar o min⁡f(x),∀x∈D.

Predefinição:Definição

Máximo global

Seja D⊂ℝn e f:D→ℝ. Para encontrarmos o máximo global, devemos encontrar o max⁡f(x),∀x∈D.

Predefinição:Definição

Mínimo local

Seja D⊂ℝn e f:D→ℝ. Para encontrarmos o mínimo local, devemos encontrar o min⁡f(x),∀x∈D∩Bϵ(x¯).

Predefinição:Definição

Máximo local

Seja D⊂ℝn e f:D→ℝ. Para encontrarmos o máximo local, devemos encontrar o max⁡f(x),∀x∈D∩Bϵ(x¯).

Predefinição:Definição

Exemplos

Seja f:ℝn→ℝ;D1,D2⊂ℝ, tais que D2⊂D1.

Exemplo 1

Mostrar que infx∈D1f(x)≤infx∈D2f(x).

Afirmação: f(y)=infx∈D1f(x)⇒f(y)≤f(x),∀x∈D1 e f(z)=infx∈D2f(x)⇒f(z)≤f(x),∀x∈D2.

Prova1: Tome t∈D2⊂D1⇒t∈D1⇒f(y)≤f(t),∀t∈D2⇒f(y)≤f(z).

Prova2: Suponha por contradição que infx∈D2f(x)<infx∈D1f(x)⇒f(z)<f(y). Mas z∈D2⊂D1⇒z∈D1⇒f(y)≤f(z). Logo f(z)<f(y)≤f(z). Contradição! A contradição foi supor que infx∈D2f(x)<infx∈D1f(x).

Portanto, infx∈D1f(x)≤infx∈D2f(x).

Exemplo 2

Seja f:ℝn→ℝ;D1,D2⊂ℝ, tais que x¯∈D2⊂D1. Seja f(x¯)≤f(x),∀x∈D1.

Mostrar que f(x¯)≤f(x),∀x∈D2.

Suponha por contradição que ∃z∈D2 tal que f(z)<f(x¯). Por z∈D2⊂D1⇒f(x¯)≤f(z). Logo f(z)<f(x¯)≤f(z). Contradição! A contradição foi supor que ∃z∈D2 tal que f(z)<f(x¯). Portanto f(x¯)≤f(x),∀x∈D2.


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